3.2.2 圆的切线的判定、性质和画法

点、直线与圆的位置关系，圆的切线,3.2,3.2.2圆的切线的判定、性质和画法,工人用砂轮磨一把锉刀，火花是顺着什么方向飞出去的？,画一个圆O和一条半径OA，,过点A作直线l与OA垂直，如图3-32.,图3-32,（1）圆心O到直线l的垂线段是什么？,垂线段是.,半径,（2）圆心O到直线l的距离等于多少？,距离等于.,半径,（3）直线l与圆O的位置关系怎样？,直线l是圆O的线.,切,切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,例2已知：如图3-33，AD是圆O的直径，直线BC经过点D，并且AB=AC，BAD=CAD.求证：直线BC是圆O的切线.,举例,图3-33,证明因为AB=AC，(已知),所以ABC是等腰三角形.,因为BAD=CAD，,所以AD是等腰三角形ABC的顶角平分线.,从而ADBC.(等腰三角形的性质定理),于是ODBC.,又因为OD是圆O的半径，,且BC经过点D，,所以直线BC是圆O的切线.(切线的判定定理),1.垂直于半径的直线一定是圆的切线吗？,答：不一定.如图,2.经过半径外端的直线一定是圆的切线吗？,答：不一定，如图,3.已知：如图3-34，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，AC=BC.求证：直线AB是圆O的切线.,答：连接OC，,由OACOBC,得ACO=BCO=90，,OCAB于C.,直线AB是圆O的切线(切线的判定定理).,如图3-35，直线l是圆O的切线，切点为A，圆O的半径为r.,（1）圆心O到切线l的垂线段的长度等于什么？,圆心O到切线l的垂线段的长度是圆心O到切线l的距离d，从而它等于半径r.,（2）由于圆心O到切线l的垂线段的长度等于半径OA的长度，且点A在切线l上，因此圆心O到切线l的垂线段就是.,圆的半径,切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.,例3如图3-36，直线l是圆O的切线，切点为A，OBA=40，求AOB.,举例,解由于线段OA是过切点的半径，,因此OAl，,从而OAB=90，,于是AOB=90-OBA,=90-40,=50.,图3-36,例4求证：经过直径两端点的切线互相平行.已知：如图3-37，AB是圆O的直径，l1，l2分别是经过点A，B的切线求证：.,举例,证明因为OA是圆O的半径，,l1是过点A的切线，,所以l1OA.(),同理l2OB.,从而l1AB，且l2AB.,因此l1l2.(),图3-37,l1l2,切线性质定理,在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行,例5过圆O上一点A画圆O的切线.,举例,分析过圆O上一点A的切线l与半径OA有什么关系？,作法：（1）连结OA；,据切线的性质定理，lOA，,由此受到启发，过点A作一条直线l与OA垂直，据切线的判定定理，l就是圆O的切线,（2）过点A作直线l与OA垂直.,直线l就是所求作的切线，如图.,A,1.图3-39是某手表的圆形表盘的示意图，两个圆的圆心都是O，大圆的弦AB所在直线是小圆的切线，切点为C.求证：C是线段AB的中点.,答：连接OA，OB，OC，,则OA=OB.,AB是小圆的切线，,OCAB.,AC=BC.(等腰三角形性质定理).,2.证明：圆心到圆的割线的距离小于半径.,答：已知：如图，,直线PAB是圆O的割线，OCPB，垂足为C.求证：OCO