3-2 初等矩阵.ppt

第二节初等矩阵,一、初等矩阵的概念,二、初等矩阵的应用,三、小结思考题,矩阵的初等变换和线性方程组,返回,上页,下页,定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.,一、初等矩阵的概念,对应三类初等行、列变换，,有三种类型的初等矩阵.,(1)对换变换；,(2)倍乘变换；,(3)倍加变换；,返回,上页,下页,(1),E,第i行,第j行,(初等对换矩阵),E(i,j),返回,上页,下页,第i行,(2),E,(初等倍乘矩阵),Ei(k),返回,上页,下页,第j行,第i行,(3),E,(初等倍加矩阵),Eij(k),返回,上页,下页,二、初等矩阵的应用,引例,返回,上页,下页,由引例可见，,用初等矩阵左乘矩阵A，,用初等矩阵右乘矩阵A，,结果是对A作相应的初等行变换；,结果是对A作相应的初等列变换.,返回,上页,下页,E(i,j)A表示A的第i,j行互换；,Ei(k)A表示A的第i行乘k；,可以验证，此结论对一般情形是正确的.,Eij(k)A表示A的第j行乘k加至第i行.,AE(i,j)表示A的第i,j列互换；,AEi(k)表示A的第i列乘k；,AEij(k)表示A的第i列乘k加至第j列.,返回,上页,下页,定理1设A是一个mn矩阵，,对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；,对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵；,根据上面的讨论，有如下定理：,返回,上页,下页,对初等矩阵再作一次同类型的初等变换，可将其还原为单位矩阵，,初等矩阵的行列式都不等于零，因此初等矩阵都是可逆矩阵.,初等矩阵的逆矩阵,返回,上页,下页,定理2方阵A可逆的充分必要条件是A可表示为若干个初等矩阵的乘积.,证,设A为n阶可逆矩阵，,A,F,初等变换,设初等行变换对应的初等矩阵依次为P1,P2,Ps，,初等列变换对应的初等矩阵依次为Q1,Q2,Pt，,于是有，,(PsP2P1)A(Q1Q2Qt)=F,A可逆,标准形F可逆,即，,将A化为标准形F，,必要性：,(初等矩阵皆可逆),(可逆矩阵的乘积亦可逆),返回,上页,下页,(初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵),A=若干初等矩阵的乘积.,充分性：,A=P1P2Ps,设A可表示为初等矩阵P1,P2,Ps的乘积，即,A可逆,证毕,返回,上页,下页,推论1方阵A可逆的充分必要条件是A可经过若干次初等行变换化为单位矩阵，即.,证,r,A可逆,(P1,P2,Ps为初等矩阵),(即E经过若干次初等行变换可化为矩阵A),证毕,必要性：,充分性：,r,(P1,P2,Ps为初等矩阵),返回,上页,下页,推论2设A,B皆为mn矩阵，则,AB的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B.,设初等行变换对应的初等矩阵依次为P1,P2,Ps，,初等列变换对应的初等矩阵依次为Q1,Q2,Pt，,AB,(PsP2P1)A(Q1Q2Qt)=B,于是有：,证,令(PsP2P1)=P，(Q1Q2Qt)=Q，,得PAQ=B,必要性：,由于初等矩阵皆可逆，故上式中的P,Q是可逆矩阵.,返回,上页,下页,根据此证明过程，不难进一步得出如下结论：,AB存在可逆矩阵P，使得PA=B,AB存在可逆矩阵Q，使得AQ=B,r,c,充分性：,若PAQ=B,(P,Q皆为可逆矩阵),P,Q皆为可逆,设P=(PsP2P1)，Q=(Q1Q2Qt)，,(Ps,P2,P1，Q1,Q2Qt皆为初等矩阵),于是有，(PsP2P1)A(Q1Q2Qt)=B,证毕,返回,上页,下页,推论3对可逆矩阵A和同阶单位矩阵E作同样的初等行变换，那么，当A变为E时，E就变为A1.,证,设A可逆,即，存在初等矩阵P1,P2,Ps，使得,右乘A-1，得,即，对A,E作同样的初等行变换，分别得E,A1.,证毕,返回,上页,下页,说明(1)同理还可证明：,初等列变换,(2)根据此推论，可利用初等变换求逆矩阵.,返回,上页,下页,解,例设，求A1.,返回,上页,下页,返回,上页,下页,于是，,返回,上页,下页,注意：若用初等行变换求逆阵，应始终用行变换；,若用初等列变换求逆阵，应始终用列变换.,初等列变换,注,本题亦可用如下方式求,返回,上页,下页,求逆矩阵的初等变换法可进一步推广：,设A为可逆矩阵，,返回,上页,下页,此结论可用于求解矩阵方程：,XA=B,若A可逆,唯一解,构造,构造,返回,上页,下页,例设,若A可逆，则有.,解,求矩阵X，使得AX=B，,返回,上页,下页,因此，,例3设n阶矩阵,求：A中所有元素的代数余子式之和.,返回,上页,下页,解一(利用代数余子式的性质),第一行元素的代数余子式之和为:,第i行元素(i1)的代数余子式之和为:,因此，所有元素的代数余子式之和等于1.,返回,上页,下页,下面求:,解二(求伴随矩阵A*，再计算其中所有元素之和),返回,上页,下页,因此，,A*的元素就是A中各元素的代数余子式，其总和等于1.,r,返回,上页,下页,三、分块矩阵的初等变换,分块矩阵的初等变换是矩阵运算的一个重要技巧.,对分块矩阵，可以同样地定义三类初等变换，并相应地定义三类分块初等矩阵.,(1)分块对换矩阵,这里仅就22矩阵进行讨论.,返回,上页,下页,(2)分块倍乘矩阵,或,(C1,C2是可逆矩阵),(3)分块倍加矩阵,或,分块初等矩阵自然是方阵，,用它们左乘或右乘一个,分块矩阵A(A不一定是方阵)，,其作用和前述初等矩阵左乘或右乘矩阵的作用相同.,在保证可乘的情况下，,返回,上页,下页,首先将Q化为上三角分块矩阵.,例3设分块矩阵，其中A,D分别是m,证明：,证,对Q的第一行左乘加至第二行，得,阶和n阶方阵，且A可逆，,即,(分块倍加矩阵),返回,上页,下页,两端取行列式，有,故,1,返回,上页,下页,三、小结,2.初等变换法求可逆矩阵A的逆矩阵：,返回,上页,下页,推广：,3.分块矩阵的初等变换,(