数论及其猜想的意义

.,第八章,数论及其猜想的意义,.,数论的定义,所谓数论，就是以整数为研究对象，用数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其他数来表示的观点来研究数的一门数学科学。因此可以说数论是研究整数按一定形式构成的数系的科学。数论是雅俗共赏的数学分支。,.,1、数论发展简介,从研究方法划分，数论可分为初等数论、解析数论、代数数论、几何数论和超越数论。,.,初等数论（1）,初等数论的历史悠久，毕达哥拉斯曾对数的整除性做过系统的研究，研究成果被欧几里得记载于几何原本第7、8、9篇里，欧几里得还证明了算术基本定理；数学史上第一本数论典籍算术入门是尼可马修斯（Nicomachus，公元1世纪，古希腊）写的；,.,初等数论（2）,丢番图写的算术中，也有许多关于数论的命题。同余是数论的重要概念商高知道x2+y2=z2至少有一组正整数解（3，4，5），九章算术则给出了8组勾股数1640年，费马给出了费马小定理：如果是p质数，且整数a与p互质，则ap-a是p的倍数。欧拉1736年首先证明了这个命题，1760年又将它推广到合数的情形。,.,初等数论（3）,1772年拉哥朗日证明了费马给出的又一定理：每一个正整数都能够表示成4个整数的平方和；1798年，勒让德的第一部数论的教科书出版；1801年高斯著名的算术探讨一书问世；,.,初等数论（4）,数学家们研究数论，方法争奇斗艳，异彩纷呈。但初等数论一般不借助于其他数学分支知识，只依靠算术方法对整数性质进行研究。,.,解析数论,解析数论是用数学分析作工具来研究数论的。18世纪欧拉用无穷级数知识证明“质数有无穷多个”。不久，他又提出母函数法，利用幂级数来研究整数分析，导致了圆法及指数和方法的产生。1837年、1837年狄里赫利两次用分析方法创立了被人们公认的狄里赫利（剩余）特征、狄里赫利L函数，从而奠定了解析数论的基础。20世纪30年代，维诺格拉托夫（1891-1983，苏）提出“三角和方法”-一个重要的方法。,.,代数数论,代数数论是以代数整数（或代数数域）为研究对象的，不少整数问题的解决要借助于或归结为代数整数的研究。因此，代数数论是整数研究的发展。它主要起源于对费马猜想的研究。库麦（1810-1893，德）在探求解决费马猜想时引进了“理想数”的概念，随后他证明了每个“理想数”可以唯一地分解成质因子的乘积。因而建立了分圆域上的数论，为代数数论奠定了基础。高斯为代数数论的发展作出了积极的贡献。,.,几何数论（1）,几何数论又叫数的几何，是应用几何方法研究数论问题的。17-18世纪，高斯与拉格朗日已经用几何观点研究二次型的算术性质。1891年闵可夫斯基（1864-1909，德）发表了几何数论的第一篇论文，并于1896年出版了数的几何一书，为几何数论奠定了基础。,.,几何数论（2）,几何数论所研究的“空间格网”是：在给定的直角坐标系中，坐标全是整数的点，叫做整点，全部整点构成的组叫做空间格网。这种研究可以解决用离散量去逼近连续量或反过来可以用连续量去估计离散的量。,.,超越数论（1）,超越数论是以超越数为研究对象的。1744年欧拉证明了自然对数的底是无理数。1761年兰伯特证明了圆周率是无理数。刘维尔在对超越数的研究中，发现无理代数数的有理逼近的精密性有一个限度，借此他于1844年构造出历史上第一批超越数。例如都是超越数。1822年林德曼证明了是超越数。,.,超越数论（2）,19世纪超越数论的最高成就是林德曼维尔斯特拉斯定理：如果a1，a2，an是不同的实的或复的代数数，B1，B2，Bn是非零代数数，则由此导出一个重要结果之后就能推出许多超越数。,.,2、费马及费马猜想,费马是业余数学家他近岁才在公务之余认真研究数学“近代数论之父”他和笛卡儿分享着创立解析几何的荣誉他和帕斯卡一起奠定了古典概率论的基础费马谦虚、好静，生前很少发表自己的著作，其成果主要写在阅读过的数学书的边沿和空白处或写在给朋友的信件中，也有一些散落在旧纸堆中。,.,费马猜想,费马猜想（或称费马最后定理，费马大定理）：xn+yn=zn，n2没有整数解。这个猜想大约在1637年写在丢番图所著算术第二卷命题8“将一个平方数分成两个平方数之和”的旁边。他写到：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或一般地将一个高于二次的幂分为两个同次幂，这是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下”。但是他的儿子在他去世后，翻箱倒柜，也没有找出这个“美妙”的证明。,.,有关费马猜想的证明（1）,费马猜想从1670年发表到1840年拉梅证明n=7情形为止的170年中，费马猜想的证明进展非常缓慢；1779年，欧拉证明n=3，不久，又证明n=4；1823年，勒让德证明n=5；1840年，拉梅证明了n=7；19世纪20年代，自学成才的法国妇女索菲亚证明了：在假定x、y、z与n互质的情况下，n为小于100的所有奇素数时，费马猜想成立。,.,有关费马猜想的证明（2）,1849年，德国数论专家库麦创造了“分圆整数的数系”理论，设计了一套精妙的方法，一举证明了当n为不大于100（除37、59、67三个质数外）的奇素数时费马猜想成立。1850年、1853年法国科学院两度悬赏两千金法郎1922年英国数论专家莫德尔给最终证明费马猜想带来了希望的曙光。,.,有关费马猜想的证明（3）,在证明费马猜想的征程中，“分圆整数的数系”理论，现代代数数理论，理想数论等一些新颖绝妙的方法都迅猛神奇般地发展起来。希尔伯特声称：他已找到一把神秘的钥匙，可以解开这一雄视世界三百多年的“猜想之谜”，但为了“不要轻易杀掉这只能为人类生出金蛋的母鸡！”所以他守口如瓶，秘而不宣。,.,有关费马猜想的证明（4）,解决费马猜想的时刻终于在350多年后到来。1993年6月该猜想已被普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯博士和剑桥大学的理查德.泰勒博士证明。但“母鸡”没有死，“金蛋”仍在不停地下！,.,3、哥德巴赫猜想和筛法,1742年6月德国一位中学教师哥德巴赫（C.Goldbach，1690-1764）在与欧拉通信中提出一个估计：“任何大于2的偶数都是两个素数的和。”二百多年来，围绕这个估计，很多数学家前赴后继，不懈地钻研，谋求解决，但全都力不从心，皆未获得成功。因此，人们就把这个估计称为“哥德巴赫猜想”。,.,23个问题的第8个问题,1900年希尔伯特把这个猜想与“黎曼猜想”、“孪生素数猜想”作为23个问题的第8个问题介绍给20世纪的数学家。殆素数：素因数的个数不超过某一固定常数的自然数称为“殆素数”。（c）（a+b）,.,哥德巴赫猜想的研究进展(1),数学家哈代和李特尔伍德(英国,1923年)在广义黎曼猜想正确的前提下，有条件地证明了每个充分大的奇数都是三个奇素数之和以及几乎所有偶数都是两个奇素数之和。维诺格拉多夫(1937年),无条件地证明了奇数哥德巴赫猜想，即每个充分大的奇数都是三个奇素数之和布朗(挪威1919年)证明了：每个大偶数都是两个素因子个数均不超过9的整数之和（记为9+9，记号a+b表示大偶数分解为不超过a个奇素数的积与不超过b个奇素数的积之和，下同）,.,哥德巴赫猜想的研究进展(2),1924年，德国数学家拉德马哈证明了（）；1932年英国数学家爱斯特曼证明了(6+6);1938年与1940年苏联数学家布赫斯塔勃连续证明了(5+5)与(4+4)；1956年苏联数论英雄维诺格拉托夫证明了（3+3）；1957年中国数学家王元证明了（2+3）、（2+2）；包围圈越来越向（1+1）靠近！（附：库恩的a+b(a+b6)(1954)）,.,哥德巴赫猜想的研究进展(3),早在1948年，匈牙利数学家别开生面，开辟了“第二战场”，设置下新的包围圈，成功地证明了（1+6）；1962年我国数学家、山东大学讲师潘承洞证明了（1+5）；同年又与王元合作证明了（1+4）；1965年5月苏联的布赫斯塔勃、维诺格拉托夫和意大利数学家庞皮艾黎都证明了（1+3）；,.,哥德巴赫猜想的研究进展(4),1966年5月，中国青年数学家陈景润在向“哥德巴赫猜想”顶峰攀登中，迈出了重要的一步，他对“筛法”改进，成功地证明了（1+2）（1973年发表详细证明）。这个震惊中外的“陈景润定理”受到国际数学界的称赞，把“陈氏定理”誉为“杰出的成就”、“光辉的顶点”，说“陈氏定理推动了群山”。陈氏定理（1+2）数学皇冠上的明珠,.,陈景润（19331996）简介,华罗庚（右）与陈景润（左）,.,筛法,“筛法”最早是毕达哥拉斯学派的尼可马修斯在算术入门一书中提出来的，其理论基础是这样一个定理：n为不大于N的合数，则n必有一个不大于的素因子。用“筛法”求100以内的素数，因为100以内的每个合数都必有=10以内的素因子，而10以内的素数为2、3、5、7，所以，只要从100以内去掉2、3、5、7的倍数，余下的就是100以内的全部素数。“筛法”在证明“哥德巴赫猜想”中起了重要的作用。,.,4、黎曼猜想和孪生素数猜想,1859年，黎曼发表了论小于给定数的素数个数，在这篇光辉的论文中，他一口气提出了6个猜想，从那时起到1894年，数学家们证明了其中5个，从而已成为定理，现在只剩下了一个，被称为“黎曼猜想”。其内容如下。,.,黎曼猜想的内容,.,孪生素数猜想,“孪生素数猜想”指的是：存在无穷多对素数，它们的差为2，这样的素数对，称为孪生素数。这个猜想与哥德巴赫猜想一样，至今仍没有得到解决。,.,、梁定祥猜想和角谷猜想,1、梁定祥猜想：20世纪90年代中国农民梁定祥提出了一个猜想：6的任何倍数的平方，恰好是两对孪生素数之和。例如：62=36=18+18=（13+5）+（11+7）；122=144=72+72=（61+11）+（59+13）182=324=162+162=（151+11）+（149+13）242=576=288+288=（271+17）+（269+19）302=900=450+450=（349+101）+（347+103）-梁定祥猜想的内涵比哥德巴赫猜想的内涵更加丰富华丽！（100多项-梁定祥，600多项-中科院武汉数学物理研究所）,.,2、角谷猜想,“角谷猜想”又称“冰雹猜想”。它首先流传于美国，不久便传到欧洲，20世纪80年代，一位名叫角谷的日本人将其带到亚洲，后来传入中国，因而人们就顺势把它叫做“角谷猜想”。其实，叫它为“冰雹猜想”更为形象，也更恰当。因为在猜想的运算过程中，算来算去，数字上上下下，最后一下子像冰雹似地掉下来，变成了一个数字：“1”！（1、4、2、1）,.,角谷猜想的内容,任意给一个自然数N，如果它是偶数，就将它除以2，即将它变成N/2，如果它是奇数，就将它乘以3再加1，即变成3N+1。对任意一个自然数施行这种演算手续，经有限步骤，最后结果必然是：最小的自然数1！（1、4、2、1）“死循环”！,.,1：4，2，1，-2：1，4，2，1，-3：10，5，16，8，4，2，1，-4：2，1，-5：16，8，4，2，1，-6：3，10，5，16，8，4，2，1，-7：22，11，34，17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1，-8：4，2，1，-9：28，14，7，22，11，34，17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1，-,.,路径长度,经过19个回合（这叫“路径长度”），最后变成了“1”。假如N是2的正整数方幂，则不论这个数字多么庞大，它都将“一落千丈”，很快跌落到1，例如：,N=65536=216则有65536-32768-16384-8192-4096-2048-1024-512-256-128-64-32-16-8-4-2-1；它的路径长度为16，比9的还要小些。至今，人们并没有证明角谷猜想。,.,5、数学猜想的意义（1）,数学猜想五彩缤纷，除上述猜想外，还有许多其他猜想，徐本顺的数学猜想集就列有61个数学猜想；丰富了数学内容；“数学猜想”大都是经过对大量事实的观察、验证、归纳、概括而提出出来的。这种从特殊到一般，从个性中发现共性的方法是数学研究的重要动力。数学猜想的提出与研究，生动地体现了辩证法在数学中的应用。推动了数学方法论的研究。,.,数学猜想的意义（2）,“数学猜想”往往成为数学发展水平的一项重要标志。费马猜想产生了代数数论；哥德巴赫猜想促进了筛法的发展；黎曼猜想使素数定理得到证明；“四色猜想”通过电子计算机解决了，从而开辟了机器证明的新时代。从这个意义上讲，“数学猜想”不仅是一颗颗璀璨的宝石，而且是一只只“能生金蛋的母鸡”。推动数学发展。,.,数学猜想的两个显著特征,一