第1章时域离散信号和

第1章时域离散信号和时域离散系统,1.1引言1.2时域离散信号1.3时域离散系统1.4时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程1.5模拟信号数字处理方法,1.1引言,信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本书一般地把信号看作时间的函数。,本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示方法和典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性，以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法。最后介绍模拟信号数字处理方法。,1.2时域离散信号,区分模拟信号、连续时间信号、离散信号和数字信号对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到其中抽样频率Fs=1/T，单位：周期每秒。,离散时间信号的表示：1.x(n)表示一个离散时间信号（或序列），n取整数，取值范围：-n。当n为某个具体值时，表示序列的一个样本值。2、枚举法表示序列x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.13、图形表示4、公式,Matlab：xk=1,1,2,-1,1;k=-1,0,1,2,3,序列的基本知识点,1.实序列和复序列例如：2.离散时间信号分有限长序列和无限长序列（1）x(n),N1nN2，序列长度：N=？（2）补零或零填充：通过加入零值样本来延长序列的运算（3）无限长序列分：左边序列、右边序列和双边序列,理由：复杂信号常常是表示成基本信号的线性组合后再进行分析。是信号分析的基础。1.单位采样序列(n)它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t)在t=0时，取值无穷大，t0时取值为零，对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图所示。,1.2.1常用的典型序列,图单位采样序列和单位冲激信号(a)单位采样序列；(b)单位冲激信号,2.单位阶跃序列u(n)单位阶跃序列如图1.2.2所示。(n)与u(n)之间的关系如下式所示：(n)=u(n)-u(n-1),?用u(n)表示序列x(n)=1,图1.2.2单位阶跃序列,3.矩形序列RN(n)1,0nN-10，其它n上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图1.2.3所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：RN(n)=u(n)-u(n-N),RN(n)=,图1.2.3矩形序列,4.实指数序列x(n)=anu(n)，a为实数如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图1.2.4所示。,图1.2.4实指数序列,5.实正弦序列x(n)=Acos(n+)式中称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么xa(t)=sin(t)xa(t)|t=nT=sin(nT)x(n)=sin(n),因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为=T上式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：,6.复指数序列x(n)=e(+j)n式中为数字域频率，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：x(n)=ejnx(n)=cos(n)+jsin(n)由于n取整数，下面等式成立：ej(+2M)n=ejn,M=0,1,2,单频序列,角频率为w的模拟信号,数字信号角频率w=T，有时用0表示数字频率,给出了模拟角频率和数字角频率之间的关系式,常用序列的matlab产生,Program1-1：delta(n)Program1-2:u(n)Program1-3:Program1-4:,a=1.2,k=0.2,N=31a=0.9,k=20,N=31,a=-0.1,b=pi/3,k=1，N=40,正弦序列和复指数序列的特性,两个指数序列，当w满足一定条件时，不可区分两个正弦序列，当w满足一定条件时，不可区分,7.周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：x(n)=x(n+N),-n1，表示内插，可得到一个具有更高抽样率的序列，称为上抽样运算；R1，表示抽取，可得到一个具有更低抽样率的序列，称为下抽样运算；,3.序列的抽取与插值(抽样率变换运算),*序列的抽取：指将原来的序列每隔M个样点保留一个样点，去掉其中的M-1个样点形成的新序列。,y(n)=x(Mn),Program1-8,*序列的插值：指在原来序列的每两个样点之间等间隔的插入L个新的样点，从而变成一个具有更多样点的新序列。,分解过程如下：,Program1-9,方波信号的产生,利用基本运算，可产生较为复杂的信号例如：x1(n)=sin(0.05*2*n)x2(n)=sin(0.15*2*n)x3(n)=sin(0.25*2*n)合成新信号:x(n)=x1(n)+x2(n)/3+x3(n)/5Program_1_10,1.3时域离散系统,功能：对一个给定的输入序列进行处理得到一个输出序列。设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示：y(n)=Tx(n)(1.3.1)其框图如图1.3.1所示。,图1.3.1时域离散系统,离散时间系统通常称为数字滤波器。,常见离散时间系统,所有的基本运算都可以看做是一个基本离散时间系统；复杂的离散时间系统是由两个或两个以上的基本离散时间系统组合得到。例1：累加器（由多个加法器组成）,例2：M点滑动平均滤波器。这种系统通常用于平滑数据中的随机噪声。若信号s(n)在n0时被噪声d(n)污染，其观察数据为x(n)=s(n)+d(n)。假定未污染的原始信号为：s(n)=2n(0.9)nProgram-1-11:举例：M=3;M=5观察图形，有延时，M点滑动平均滤波器的延时为（M-1)/2Program-1-12:从混合信号中滤除高频分量(举例：M=2;M=3)s1(n)=cos(2*0.05n)s2(n)=cos(2*0.47n)x(n)=s1(n)+s2(n),例3：线性内插器,L,离散时间系统,x(n),x1(n),y(n),因子为L的内插器,分两步：1，x1(n)是x(n)序列两个样点间插入L个零形成的序列2，离散时间系统对x1(n)中的零值重新“填入”，填入的数据是根据x1(n)中非插入零的样本值计算的线性内插器。例如：因子为2和3时的内插器的输入输出关系分别为：y(n)=x1(n)+0.5(x1(n-1)+x1(n+1)y(n)=x1(n)+2/3(x1(n-1)+x1(n+1)+1/3(x1(n-2)+x1(n+2)Program1-13,线性系统：最广泛使用的一种离散时间系统。满足叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n)那么线性系统一定满足下面两个公式：Tx1(n)+x2(n)=y1(n)+y2(n)Tax1(n)=ay1(n),离散时间系统分类-线性系统,满足(1.3.2)式称为线性系统的可加性；满足(1.3.3)式称为线性系统的比列性或齐次性，式中a是常数。将以上两个公式结合起来，可表示成：y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n)上式中，a和b均是常数。,例1：证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的系统是非线性系统。证明y1(n)=Tx1(n)=ax1(n)+by2(n)=Tx2(n)=ax2(n)+by(n)=Tx1(n)+x2(n)=ax1(n)+ax2(n)+by(n)y1(n)+y2(n)因此，该系统不是线性系统。用同样方法可以证明所代表的系统是线性系统。,例2：y(n)=x2(n)例3：y(n)=x2(n)-x(n-1)x(n+1)例4：y(n)-0.4y(n-1)+0.75y(n-2)=2.2403x(n)+2.4908x(n-1)+2.2403x(n-2)Program2-16,如果系统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：y(n)=Tx(n)y(n-n0)=Tx(n-n0),时不变系统,例1:检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变系统，上式中a和b是常数。解y(n)=ax(n)+by(n-n0)=ax(n-n0)+by(n-n0)=Tx(n-n0)因此该系统是时不变系统。,例2:检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。解y(n)=nx(n)y(n-n0)=(n-n0)x(n-n0)Tx(n-n0)=nx(n-n0)y(n-n0)Tx(n-n0)因此该系统不是时不变系统。同样方法可以证明所代表的系统不是时不变系统。,例3：y(n)=x(Mn)例4：y(n)=x(n/L),n=kL,k为任意整数；其他时y(n)=0例5：y(n)-0.4y(n-1)+0.75y(n-2)=2.2403x(n)+2.4908x(n-1)+2.2403x(n-2)Program-1-15,设系统的输入x(n)=(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应，用h(n)表示。换句话说，单位取样响应即是系统对于(n)的零状态响应。用公式表示为h(n)=T(n)h(n)和模拟系统中的h(t)单位冲激响应相类似，都代表系统的时域特征。,线性时不变系统输入与输出之间的关系,h(n)的求解,例1：LTI系统的输入输出关系为：y(n)=a1x(n)+a2x(n-1)+a3x(n-2)+a4x(n-3)求h(n).例2：求累加器的h(n).例3：求线性内插器对应的h(n)。例4：,y(n)=x1(n)+0.5(x1(n-1)+x1(n+1),求y(n)-0.4y(n-1)+0.75y(n-2)=2.2403x(n)+2.4908x(n-1)+2.2403x(n-2)的h(n).,LTI离散时间系统的时域特性,LTI系统同时满足线性和时不变性。这类系统容易用数学形式分析和描述，因而比较容易设计。LTI特性使得LTI离散时间系统可由它的h(n)完全描述：即若知道了h(n),就可得到系统对任意输入的输出响应。设系统的输入用x(n)表示，可表示成单位采样序列移位加权和为,例：x(n)=-2(n+2)+0.5(n+1)+2(n)+(n-1)+1.5(n-2)-(n-4)+2(n-5)+(n-6),计算该信号通过线性时不变系统h(n)的响应。,根据线性系统的叠加性质,又根据时不变性质,例：已知x1n*x2n=yn，试求y1n=x1n-k*x2n-m。,结论：y1n=yn-(m+k),例：xn非零范围为N1nN2，hn的非零范围为N3nN4求：yn=xn*hn的非零范围。,结论：N1+N3nN4+N2,例：若系统为h(n)，当输入为x(n)时，输出为y(n)。当输入为x(n)，系统为h(n-m)时，求输出。,有限长序列的卷积和求解：公式法、图解法、列表法例：设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解：因为上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非零值区间为：0m3，R4(n-m)的非零值区间为：0n-m3，其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式：,0m3n-3mn因此，,当,当,卷积过程以及y(n)波形如图1.3.2所示，y(n)用公式表示为n+10n3y(n)=7-n4n60其它,图1.3.2例1线性卷积,列表法：Program-1-16:conv用来求两个有限长序列的卷积和。,x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n),卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积。设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为(N+M-1)。线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：x(n)*h(n)=h(n)*x(n)(1.3.8)x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)(1.3.9)x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)(1.3.10),图1.3.3卷积的结合律和分配律,例1.3.5在图1.3.4中，h1(n)系统与h2(n)系统级联，设x(n)=u(n)h1(n)=(n)-(n-4)h2(n)=anu(n)，|a|1求系统的输出y(n)。,图1.3.4例1.3.5框图,解先求第一级的输出m(n)，再求y(n)。m(n)=x(n)*h1(n)=u(n)*(n)-(n-4)=u(n)*(n)-u(n)*(n-4)=u(n)-u(n-4)=R4(n)y(n)=m(n)*h2(n)=R4(n)*anu(n),=anu(n)*(n)+(n-1)+(n-2)+(n-3)=anu(n)+an-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)还可以将y(n)用下式表示y(n)=(n)+(1+a)(n-1)+(1+a+a2)(n-2)+u(n-3),信号的相关,实际应用中，有时需要将一个或多个信号与参考信号做比较，确定每对信号之间的相似性并根据相似性提取额外的信息。例如：数字通信中例如：雷达和声纳应用中序列x(n)和y(n)的相似性度量用rxy(l)表示，其中l表示延时。可正可负。下标xy表示x(n)为参考序列，y(n)做平移。,序列x(n)的自相关序列为：用Matlab进行相关计算。x(n)=13-212-1442,y(n)=2-141-23。求两序列的互相关序列.Program_1_17.说明：（1）求自相关序列。（2）令y(n)=x(n-4)，求互相关；（3）对x(n)加随机噪声，rand，求自相关。（4）matlab中函数xcorr可以用来计算相关。,用matlab计算周期序列的相关性并定出周期例：x(n)=cos(0.25n),0n95,该信号受到在区间-0.5,0.5内均匀分布的加性随机噪声的干扰，如何根据受干扰的信号确定序列的周期？Program_1_18,1.3.4系统的因果性和稳定性如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：h(n)=0，n0,满足(1.3.13)式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位取样响应必然是因果序列。因果性系统的条件(1.3.13)式从概念上也容易理解，因为单位取样响应是输入为(n)的零状态响应，在n=0时刻以前即n0时，没有加入信号，输出只能等于零，因此得到因果性条件(1.3.13)式。,图1.3.5非因果系统的延时实现,所谓稳定系统，是指系统有界输入，系统输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为,证明先证明充分性。,因为输入序列x(n)有界，即|x(n)|B,-n，B为任意常数如果系统的单位取样响应h(n)满足(1.3.14)式，那么输出y(n)一定也是有界的，即|y(n)|,下面用反证法证明其必要性。如果h(n)不满足(1.3.14)式，即，那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出，例如：,x(n)=,令n=0,例1.3.6设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解由于n0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。,只有当|a|1时,因此系统稳定的条件是|a|0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n0，求输出序列y(n)。解n=1时，n=0时，n=-1时，n=-n时，y(n-1)=a-1(y(n)-(n)y(0)=a-1(y(1)-(1)=0y(-1)=a-1(y(0)-(0)=-a-1y(-2)=a-1(y(-1)-(-1)=-a-2y(n-1)=-an-1将n-1用n代替，得到y(n)=-anu(-n-1),matlab求解线性时不变系统的响应,函数(1)y=filter(p,d,x)(2)y,sf=filter(p,d,x,si)含义：假设在零初始条件下，p代表的是输入有关的系数向量，d代表与输出有关的系数向量，x代表输入。x和y的长度相同。例如：y(n)+0.7y(n-1)-0.45y(n-2)-0.6y(n-3)=0.8x(n)-0.44x(n-1)+0.36x(n-2)+0.02x(n-3)，求h(n).Program_1_19:h(n)的计算说明：（1）求h(n)也可以用impz。（2）如何求出阶跃响应。x=ones(1,N)stepz(p,d,N),x=ones(1,N),N=40,滤波概念的解释,两个系统y(n)=0.5x(n)+0.27x(n-1)+0.77x(n-2)y(n)=0.45x(n)+0.5x(n-1)+0.45x(n-2)+0.53y(n-1)-0.46y(n-2)系统输入为x(n)=cos(20n/256)+cos(200n/256),0n299Program-1-20,什么是信号抽样为什么要进行抽样抽样定理的理论推导抽样定理内容抽样定理的应用,1.5连续时间信号的时域抽样,什么是信号抽样？,播放音乐信号,什么是信号抽样？,x(n)=x(t)|t=nT,2.为什么要进行信号抽样？,离散信号与系统的主要优点：1）信号稳定性好：数据用二进制表示，受外界影响小；2）信号可靠性高：存储无损耗，传输抗干扰3）信号处理简便：压缩、编码、加密等4）系统精度高：改变字长可改变系统的精度；5）系统灵活性高：改变系统的系数可使系统完成不同的任务,图1.5.1模拟信号数字处理框图,要理解该系统的工作条件，必须分析下图中的每个接口电路。,3.如何进行信号抽样？,如何进行信号抽样？,2.同一音乐信号不同抽样的效果比较,例：以10Hz的抽样率分别对频率为3Hz,7Hz和13Hz三个余弦函数均匀抽样产生三个序列。即，得到三个序列,下图给出了原连续信号和离散信号的波形。t=0:0.01:1;x1=cos(6*pi*t);x2=cos(14*pi*t);x3=cos(26*pi*t);n=0:10;xn=cos(0.6*pi*n);plot(t,x1);holdonplot(t,x2,-.);holdonplot(t,x3,-.);holdonstem(0.1*n,xn),结论：不同的连续时间信号可以抽样得到相同的序列。,上例中的三个序列整理后其实是同一个序列。在一定条件下，一个给定的离散时间序列和一个特定的连续时间信号可以建立一一对应的关系，并且可以从对应的抽样信号中恢复出原始的连续时间信号。采样定理就是条件。,3.如何进行信号抽样？,x(n)=x(t)|t=nT如何选取抽样周期T?,4.抽样理论推导,图1.5.2对模拟信号进行采样,4.抽样理论推导|理想抽样模型,常用函数的傅里叶变换,周期为T的单位冲激周期函数T(t)=,4.信号抽样理论的推导,信号时域的离散化会导致其频域的周期化,抽样T与频谱之间的关系,x(n)的频谱与T间的关系,Fs=2Hz,Fs=2/3Hz,5.信号抽样定理的内容,若带限信号x(t)的最高频率为m，则在满足一定条件下，信号x(t)可以用等间隔T的抽样值唯一表示。抽样频率满足：Fs大于等于2fm,6.信号抽样的物理实现,例1：已知实信号x(t)的最高频率为fm(Hz),请计算对各信号x(2t),x(t)*x(2t),x(t)x(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。,解：,例:已知某带限信号抽样信号x(t)的频谱如图所示，试分别抽样角频率sam=2.5m,2m,1.6m抽样时，抽样后离散序列xn的频谱。,解：,解：,抽样,国家电工电子教学基地信号与系统系列课程组,例：已知x(t)=Sa(pf0t),试确定频谱不混叠最大抽样间隔T及抽样后的序列xn。,解：,所以sam=2pf0，即T=1/f0。,若信号x(t)以T为抽样间隔抽样后的序列为dn，则称该信号Nyquist-T信号。,在所有的Nyquist-T信号中，只有x(t)=Sa(pf0t)是带限的。,抽样,国家电工电子教学基地信号与系统系列课程组,例：已知连续带通信号x(t)的频谱如下图所示,试分别画出sam1=0.5m及sam2=0.8m时，抽样后离散序列的频谱。,解：,sam1=0.5m,T1=2p/sam1=4p/m,sam2=0.8