第17章 电力网络的数学模型

第17章电力网络的数学模型,本章提示17.1代数方程组的解法17.2电力网络的基本方程式17.3节点导纳矩阵及其算法17.4节点阻抗矩阵及其算法17.5节点编号顺序优化及其程序小结,本章提示因子表法与高斯消去法的区别和联系；节点导纳矩阵的特点、形成原理；节点阻抗矩阵的特点、形成原理；节点编号顺序优化方案的选择。,17.1代数方程组的解法,17.1.1因子表法高斯消去法的变态形式17.1.2因子表的形成过程17.1.3利用因子表的前代过程17.1.4利用因子表的回代过程,直接法（又称精确法），直接法经过有限次算术运算，就可得出解答，运算次数与采用的计算方法和方程组的阶数及结构有关。直接法常用于系统计算中求解线性方程组。间接法（又称迭代法），迭代解法是从某一初值出发，经过若干次迭代逐步逼近真解。迭代法主要用于解非线性方程组。,17.1代数方程组的解法,代数方程组的解法有两种：,17.1.1因子表法高斯消去法的变化形式,线性方程组,（17.1）,用矩阵形式表示：AX=B(17.2),将常数项矩阵作为系数矩阵的第n+1列，形成增广矩阵：,(17.3),式中,以按行消去过程为例，当经过i-1步消去运算后，矩阵化为：,（17.4）,17.1.1因子表法高斯消去法的变化形式,第i步是对的第i行作消去运算，即用前i-1行依次消去该行对角元素左方的i-1个元素。,消去的结果使增广矩阵化为：,(17.6),与之对应的方程组为：,（17.7）,按行回代的计算公式如下：,通过回代过程即可求出方程组的全部解。,（17.8）,17.1.1因子表法高斯消去法的变化形式,17.1.2因子表的形成过程,以按行消去过程为例，可将对系数矩阵和对常数项的消去及规格化分开写：,将及逐行保存在下三角部分，并与式(17.6)系数矩阵的上三角矩阵元素合在一起，就得到了因子表：,利用因子表的下三角及对角元素可对常数项进行消去运算，并利用上三角元素则可进行回代运算。,(17.11),17.1.2因子表的形成过程,例：17.1求以下系数矩阵的因子表,答案：,形成因子表的框图（图17.1）及程序清单如下：需要说明的是，本框图及程序采用的是按列消去的方法。,17.1.2因子表的形成过程,图17.1形成因子表的框图,17.1.2因子表的形成过程,A=input(请输入矩阵A=);n,m=size(A);fori=1:nA(i,i)=1./A(i,i);forj=i+1:nA(i,j)=A(i,j)*A(i,i);endfork=i+1:nforj=i+1:nA(k,j)=A(k,j)-A(k,i)*A(i,j);endendenddisp(矩阵A的因子表为：);disp(A),本程序的功能是形成因子表,17.1.2因子表的形成过程,以例17.1为例输入数据为：,请输入矩阵A=1560;5270;6738;0084结果：矩阵A的因子表为：1.00005.00006.000005.0000-0.04351.000006.0000-23.0000-0.1000-0.8000008.00000.0962,17.1.2因子表的形成过程,17.1.3利用因子表的前代过程,四阶线性方程组，其系数矩阵消去运算后得到如下的因子表：,对常数项的前代只需取用下三角矩阵的元素，将因子表下三角及常数项排列成如下形式：,第一步，对第一行常数项b1进行规格化，由于D11正是第一行对角元素的倒数，因此规格化运算是,第二步，对b2进行消去运算，要用到运算因子L21，消去以后的b2变为,第三步，将规格化,17.1.3利用因子表的前代过程,前代过程的步骤列成表17.1。表中表示按行取用因子表元素运算的次序，其中、对应规格化运算，其余对应消去运算，消去结束时已求出最后一个变量的值。,表17.1利用因子表下三角对常数项的消去过程,17.1.3利用因子表的前代过程,A=input(请输入矩阵：A=);B=input(请输入常数项矩阵：B=);n,m=size(A);fori=1:nA(i,i)=1/A(i,i);forj=i+1:n+A(i,j)=A(i,j)*A(i,i);endfork=i+1:nforj=i+1:nA(k,j)=A(k,j)-A(k,i)*A(i,j);endendendfori=1:nB(i)=B(i)*A(i,i);forj=i+1:nB(j)=B(j)-A(j,i)*B(i);endenddisp(利用因子表对常数项进行前代的结果为：B=);disp(B),本程序功能是利用因子表对常数项进行前代,例17.2在例17.1因子表的基础上进行前代,输入数据为：请输入矩阵A=1560;5270;6738;0084输入常数项矩阵B=1；2；3；4结果：利用因子表对常数项进行前代的结果为：B=1.00000.130400.3846,17.1.3利用因子表的前代过程,17.1.4利用因子表的回代过程,利用因子表对常数项进行前代运算以后，常数项发生了变化,和,将前代以后的线性方程组写成以下矩阵形式：,为了节省内存单元，不必增加存放未知数结果的数组，直接将结果放在常数项B单元中。回代自下而上进行，其步骤如下：,17.1.4利用因子表的回代过程,回代步骤可用表17.2表示,表17.2利用因子表的按行回代过程,表中表示按行倒取因子表中上三角元素（对角元素均看作1）运算的次序。,6,5,4,3,2,1,17.1.4利用因子表的回代过程,（采用按列回代法）,A=input(请输入矩阵A=);B=input(请输入常数项矩阵B=);n,m=size(A);fori=1:nA(i,i)=1/A(i,i);forj=i+1:nA(i,j)=A(i,j)*A(i,i);endfork=i+1:nforj=i+1:nA(k,j)=A(k,j)-A(k,i)*A(i,j);endendend,17.1.4利用因子表的回代过程,本程序功能是利用因子表对常数项进行回代,disp(矩阵A的因子表为：);disp(A)fori=1:nB(i)=B(i)*A(i,i);forj=i+1:nB(j)=B(j)-A(j,i)*B(i);endendfori=n-1:-1:1forj=i+1:-1:2B(j-1)=B(j-1)-A(j-1,i+1)*B(i+1);endenddisp(在因子表的基础上求解线性方程组的解为：x=);disp(B),17.1.4利用因子表的回代过程,例17.3求例17.2线性方程组的解。输入数据为：请输入矩阵A=1560;5270;6738;0084请输入常数项矩阵B=1；2；3；4结果：矩阵A的因子表为：1.00005.00006.000005.0000-0.04351.000006.0000-23.0000-0.1000-0.8000008.00000.0962在因子表的基础上求解线性方程组的解为：x=0.0401-0.17730.30770.3846,17.1.4利用因子表的回代过程,求因子表的程序也可以用于复数运算。例如对下列节点导纳矩阵求因子表。,输入数据为：请输入矩阵A=-6.961i01.961i0;0-1.945i1.695i0;1.961i1.695i-4.355i0.699i;000.699i-0.699i结果:矩阵A的因子表为：0+0.1437i0-0.2817000+0.5141i-0.871500+1.9610i0+1.6950i0+0.4300i-0.3006000+0.6990i0+2.0455i,17.1.4利用因子表的回代过程,17.2电力网络的基本方程式,电力网络可以用节点方程式或回路方程式表示出来。电力系统的基础网络方程式一般都用节点方程式表示。,图17.2简化的有源电力网络接线图,网络方程组可以表示为,(17.13),或者写成YU(17.15),其中,17.2电力网络的基本方程式,式(17.14)可化为UZI(17.18),17.3节点导纳矩阵及其算法,17.3.1节点导纳矩阵17.3.2节点导纳矩阵的计算方法17.3.3形成节点导纳矩阵的程序,17.3.1节点导纳矩阵,1.自导纳定义：节点i的自导纳Yii是当节点i以外的所有节点都接地，而在节点i加上单位大小的电压(=1单位电压)时，由节点i流向网络的电流就等于i节点的自导纳。,更具体地说,Yii就等于与节点i连接的所有支路导纳的和。,图17.3电力网络接线图,17.3.1节点导纳矩阵,2.互导纳,定义：节点j以外的节点全接地,而在节点j加以单位电压时，由节点i流向j的电流加上负号就是互导纳Yij。,17.3.1节点导纳矩阵,更具体地说，Yij是连接节点j和节点i支路的导纳再加上负号而得。,图17.4电力网络接线图,在图17.3中节点1,2间的互导纳Y12为:,=-=j0.1677(s),如图17.4，节点i,j间有阻抗分别为和的两条并联输电线时，互导纳为:,=-(1/+1/),17.3.1节点导纳矩阵,例:17.4求图17.5的系统的导纳矩阵(所给数字是标幺阻抗),图17.5例17.4图,17.3.1节点导纳矩阵,解:用上面讲的方法,节点i的自导纳为,=+=0.9346-j4.2616,互导纳为:,Y=-=-0.4808+j2.4038,对其它节点进行同样的计算,则依次得到,17.3.1节点导纳矩阵,3.非标准变比变压器,非标准变比变压器是指变压器的线圈匝数比不等于标准变比。,(17.24),由上式解出,（17.25）,17.3.1节点导纳矩阵,在图17.6(c)中，由节点1，即变压器的接入端来看自导纳Y11为,(17.27),变压器接入端的对侧来看的自导纳为,(17.28),17.3.1节点导纳矩阵,当有非标准变比变压器时，可按如下次序形成导纳矩阵。先不考虑非标准变比(认为K=1)求导纳矩阵；再把接入非标准变比变压器的节点的自导纳加上(K-1)Y，其中Y是从变压器相连结的另一端节点来看变压器的漏抗与两节点输电线的阻抗之和的倒数；由接入非标准变比变压器的对端节点来看自导纳不变；变压器两节点间的互导纳加上-(K-1)Y。,17.3.1节点导纳矩阵,例:17.5利用例17.4的结果计算图17.7(a)的节点导纳矩阵。,图17.7例17.5的附图,17.3.1节点导纳矩阵,解:将3、4节点间用形等值电路表示如图17.7(b)则导纳矩阵的变化项只是Y、Y(=Y),其修改量分别为,所以导纳矩阵为,Y=(K-1)Y=(1.1-1)=-j0.7000,Y=-(K-1)Y=-(1.1-1)=j0.3333,17.3.1节点导纳矩阵,4.系统变更时的修正(1)增加新的节点和新的支路如图17.8(a)所示，新节点编号为j，节点i、j间支路阻抗为z。,特点：导纳矩阵Y的阶次增加一阶；除节点i以外的原有节点和新增节点间互导纳为零，节点i的自导纳由变成，还要新增加互导纳、节点j的自导纳为Yjj。,17.3.1节点导纳矩阵,（2）在原有节点i和j间增加阻抗为z的新支路，如图17.8（b）所示。特点：导纳矩阵Y阶次不变，节点的自导纳Yii、Yjj和互导纳Yij分别变化为,（3）在上式中把前面的互导纳Yij置零，就是附加的新支路如图17.8（c）。,（17.31）,17.3.1节点导纳矩阵,图17.8系统变更的几种情况,5.消去浮动节点既不接负荷也不接发电机的节点，这样的节点称为浮动节点（或称浮节点）。这样的节点既可以作为节点注入电流为零节点来处理，也可以不作为节点来处理，而归并到图17.2的输电系统Net中。如果不作为节点来处理，则节点导纳矩阵可降低阶次。,（4）变压器变比由K变成K时,17.3.1节点导纳矩阵,17.3.2节点导纳矩阵的计算方法,导纳矩阵的阶数等于电力系统网络的节点数；导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于对应节点所连的不接地支路数；导纳矩阵的对角元素即，各节点的自导纳等于相应节点所连支路的导纳之和。导纳矩阵非对角元素Yij等于节点i与节点j之间的导纳的负数。,17.3.3形成节点导纳矩阵的程序,1.形成节点导纳矩阵的原始数据网络接线由节点及连结两个节点的支路确定的，只要输入了各支路两端的节点号，就相当于输入了系统的接线图。一条支路一般需要输入六个数据,即i,j,z,bc,t,it，其中i,j是支路两端节点号，z为支路的阻抗，bc为线路电纳，t为变压器支路的变比。在程序中用矩阵B来进行输入(其中矩阵的行数为支路数，列数为上述六个数据)。当支路为变压器支路时，t为实际的变比值，当支路为线路时t为1，当支路为接地支路时，t为0。程序根据t是否为零作为区分接地支路与不接地支路的标志，或者把接地支路作为节点注入电流源的已知量来输入。矩阵X是由各节点的节点号与该节点的接地阻抗构成。,图17.9形成节点导纳矩阵的程序框图,2.形成节点导纳矩阵的程序框图及清单,由框图可编写程序如下：%本程序的功能是形成节点导纳矩阵n=input(请输入节点数:n=);nl=input(请输入支路数:nl=);B=input(请输入由支路参数形成的矩阵:B=);X=input(请输入由节点号及其对地阻抗形成的矩阵:X=);Y=zeros(n);fori=1:nifX(i,2)=0;p=X(i,1);Y(p,p)=1./X(i,2);endend,fori=1:nlifB(i,6)=0p=B(i,1);q=B(i,2);elsep=B(i,2);q=B(i,1);endY(p,q)=Y(p,q)-1./(B(i,3)*B(i,5);Y(q,p)=Y(p,q);Y(q,q)=Y(q,q)+1./(B(i,3)*B(i,5)2)+B(i,4)./2;Y(p,p)=Y(p,p)+1./B(i,3)+B(i,4)./2;enddisp(导纳矩阵Y=:);disp(Y),例17.6用节点导纳矩阵的程序求图17.10所示的节点网络的导纳矩阵。,图17.10例17.6的附图,解：输入数据：请输入节点数:n=5请输入支路数:nl=5请输入由支路参数形成的矩阵:B=120.03i01.050;230.08+0.3i0.5i10;340.015i01.051;250.1+0.35i010;350.04+0.25i0.5i10请输入由节点号及其对地阻抗形成的矩阵:X=10;20;30;40;50,结果：导纳矩阵Y=0-33.3333i0+31.7460i0000+31.7460i1.5846-35.7379i-0.8299+3.1120i0-0.7547+2.6415i0-0.8299+3.1120i1.4539-66.9808i0+63.4921i-0.6240+3.9002i000+63.4921i0-66.6667i00-0.7547+2.6415i-0.6240+3.9002i01.3787-6.2917i,17.4节点阻抗矩阵及其算法,17.4.1节点阻抗矩阵17.4.2自阻抗和互阻抗17.4.3阻抗矩阵的计算方法,17.4.1节点阻抗矩阵,将式（17.18）展开写成,（17.38）,式中系数矩阵为节点阻抗矩阵:,(17.40),自阻抗和互相抗之间的关系，可以形象地用图来表示，把总阻抗看成是Zii，而互阻抗Zij则是其中抽出的一部分。,图17.11自阻抗和互阻抗的关系,17.4.2自阻抗和互阻抗,(17.42),在节点i上注入一单位电流，而其他各节点均开路(即注入电流为零)时，节点i上的电压即是自阻抗，而节点j(j=1,2,n,ji)上的电压即是节点j和节点i之间的互阻抗。即,阻抗矩阵是对称矩阵；阻抗矩阵是满矩阵；迭代计算时收敛性能较好；阻抗矩阵不能从系统网络接线图直观地求出，因此必须寻找其他求阻抗矩阵的方法。,阻抗阵的特点：,17.4.2自阻抗和互阻抗,17.4.3阻抗矩阵的计算方法,主要有两种：一种是用导纳矩阵求逆，间接求出阻抗矩阵；另一种是用支路追加法，直接形成节点阻抗矩阵。,支路追加法特点：矩阵形成的规律性很强，易于理解和记忆，且编程方便。追加线路的类型：追加接地树支，追加树支，追加接地连支，追加连支。假设网络有三个独立节点，节点的电压、电流关系为：,图17.12原始网络,（1）追加接地树支(0,4),结论：原有矩阵的各元素均不变，新增的行、列元素均为零，只有新增的对角元素为z。,特点：原网络矩阵增加一阶，新增了一个方程，其中z是新增支路的阻抗。,图17.13追加接地树支,17.4.3阻抗矩阵的计算方法,（2）追加树支(2,4),图17.14追加树支,特点：矩阵增加一阶，节点2的注入电流变为，且新增了一个方程：,17.4.3阻抗矩阵的计算方法,写成矩阵形式为,=,结论：原有矩阵的各元素均不变，新增的行、列元素分别等于树支所接的原网络节点2所对应的行、列元素，新对角元素等于树支所结的节点2的对角元素加上新增支路的阻抗值。,17.4.3阻抗矩阵的计算方法,(3)追加接地连支(0,2),图17.15追加接地连支,特点：矩阵的阶次不变。对原网络来说，节点2的注入电流变为其它节点注入电流不变。,则各节点电压方程变为：,17.4.3阻抗矩阵的计算方法,写成矩阵形式为：,结论：矩阵可暂时增加一阶，原矩阵元素不变，暂时增加的行、列元素分别等于该追加连支的非零节点所对应的行、列元素的负值；新对角元素等于该点的自阻抗加上连支阻抗z。,形成了暂时增加一阶的节点阻抗矩阵以后，用高斯消去法消去矩阵的暂增行与列，原矩阵的元素为：,17.4.3阻抗矩阵的计算方法,图17.16追加连支,(4)追加连支(2,3)特点：矩阵阶次不变，设连支电流由节点3流向节点2，节点2的注入电流变为()，节点3的注入电流变为()。则节点电压方程的矩阵形式为：,17.4.3阻抗矩阵的计算方法,结论：矩阵可暂时增加一阶，原矩阵的元素不变，暂时增加的行、列元素分别等于该追加连支的两个节点所对应的行元素之差和列元素之差；新增对角元为这两个节点的自阻抗之和减去相互间的互阻抗之和再加上该连支阻抗。形成了暂时增加一阶的节点阻抗矩阵之后，用高斯消去法消去暂增行、列，即得追加连支的节点阻抗矩阵，消元公式同公式(17.46)。,17.4.3阻抗矩阵的计算方法,2.追加变压器支路对于变压器支路,若变压器变比等于1，则与一般支路的处理方法相同；若变压器变比不等于1时，如果采用变压器的形等值电路当成三条支路进行追加，显然是增加了运算量。下面讨论一种不用变压器型等值电路，直接追加变压器支路的方法。类型：追加变压器树支，追加变压器连支。,（1）追加变压器树支,图17.17追加变压器树支,节点2的注入电流为(+k),17.4.3阻抗矩阵的计算方法,整理后有:,=,另外还有=K(+Kz,),=K(Z+Z(+K)+Z)+Kz,结论：追加变压器树支和追加普通树支支路相似，只是在新增行、列的元素，分别乘以变比K，新对角元乘以变比K。,17.4.3阻抗矩阵的计算方法,图17.18追加变压器连支,（2）追加变压器连支节点2的注入电流变为()，节点3的注入电流变为()，则:,另有:即:,17.4.3阻抗矩阵的计算方法,把、代入整理后得:,所以得:,=,前面我们讨论的都是变压器的漏抗归算至低压侧，如果变压器的漏抗归算至高压侧，则只需将变比变为1/k即可，即在程序中令,TN=T(K)或令:TN=1/T(K),17.4.3阻抗矩阵的计算方法,图17.19用支路追加法形成节点阻抗矩阵框图,3程序框图及程序清单,17.4.3阻抗矩阵的计算方法,程序中:n-为独立节点数nl-为支路数p-追加支路的起始节点q-追加支路的终止节点B-由支路参数形成的矩阵,17.4.3阻抗矩阵的计算方法,%本程序的功能是用支路追加法求阻抗矩阵n=input(请输入节点数:n=);nl=input(请输入支路数:nl=);B=input(请输入由支路参数形成的矩阵:B=);m=0;Z=zeros(n);fork1=1:nlp=B(k1,1);q=B(k1,2);ifB(k1,6)=0l=1./B(k1,5);elsel=B(k1,5);endifp=0ifqm%追加接地树支Z(q,q)=B(k1,3);m=m+1;else%追加接地连支fork=1:m,Z(k,m+1)=-Z(k,q);Z(m+1,k)=-Z(q,k);end,17.4.3阻抗矩阵的计算方法,Z(m+1,m+1)=Z(q,q)+B(k1,3);forl1=1:mfork=1:mZ(l1,k)=Z(l1,k)-Z(l1,m+1)*Z(m+1,k)./Z(m+1,m+1);endZ(l1,m+1)=0;endfork=1:m+1Z(m+1,k)=0;endendelseifqm%追加不接地树支fork=1:mZ(k,q)=Z(k,p)*l;Z(q,k)=Z(p,k)*l;endZ(q,q)=l2*Z(p,p)+l2*B(k1,3);m=m+1;else,17.4.3阻抗矩阵的计算方法,fork=1:m%追加不接地连支Z(k,m+1)=l*Z(k,p)-Z(k,q);Z(m+1,k)=l*Z(p,k)-Z(q,k);endZ(m+1,m+1)=l2*Z(p,p)+Z(q,q)-2*l*Z(p,q)+l2*B(k1,3);forl1=1:mfork=1:mZ(l1,k)=Z(l1,k)-Z(l1,m+1)*Z(m+1,k)./Z(m+1,m+1);endZ(l1,m+1)=0;endfork=1:m+1Z(m+1,k)=0;endendendenddisp(阻抗矩阵Z=);disp(Z),17.4.3阻抗矩阵的计算方法,解：输入数据如下:请输入节点数:n=3请输入支路数:nl=6请输入由支路参数形成的矩阵:B=012i010;024i010;122i010;0320i010;238i010;135i010结果：阻抗矩阵Z=0+1.4124i0+0.9605i0+1.0734i0+0.9605i0+1.8531i0+1.1299i0+1.0734i0+1.1299i0+3.6158i,例17.7形成如图17.20所示网络的阻抗阵。,图17.20例17.6的附图,17.4.3阻抗矩阵的计算方法,17.5节点编号顺序优化及其程序,1.节点编号顺序优化三种方案:静态优化：节点关联度少的编号在前，多的在后，一次完成编号顺序。半动态优化：节点关联度少的优先编号，并消去该节点；消去后,重新统计节点的关联度，再取关联度少的编号，并消去之，反复进行。动态优化：按消元后增加新支路数（从星网变换看问题）最少的节点优先编号，并消去该节点，消去后，重新选取增加新支路数最少的节点，再消去之，反复进行。在这三种节点编号顺序优化方案中静态优化法最简单，但优化的效果很粗糙；动态优化法优化的效果最好，但计算工作量也最大，所以一般都采用半动态节点编号优化的方法。,2.半动态节点编号优化的程序清单及打印结果：fork=1:n-1low=in(k);k2=k;nbb=k+1;forl=nbbifin(l)lowlow=in(l);k2=l;endendforl=1:nlifA(l,1)=kA(l,1)=k2;ifA(l,2)=k2A(l,2)=k;endelseifA(l,1)=k2A(l,1)=k;elseifA(l,2)=kA(l,2)=k2;elseifA(l,2)=k2A(l,2)=k;endend,17.5节点编号顺序优化及其程序,endendendfork1=1:nlks(k1)=kin(k2,k1);kin(k2,k1)=kin(k,k1);kin(k,k1)=ks(k1);endld=in(k2);in(k2)=in(k);in(k)=ld;ncb=in(k)-1;forl=1:ncbk2