习题题解与违背直觉的数学【PPT课件】

1.5 习题题解与违背直觉的数学,林阳斌(),维空间中两个平面的交,先考察2维空间中两个1维平面的交，显然是一个点，即0维的平面再考察3维空间中两个2维平面的交，是一条直线，即1维的平面因此，我们可以猜测在维空间中两个平面的交为一个2维的平面（即1维空间中的平面）,维空间中两个平面的交,给定维空间中的两个平面，它们的交即为下面这个方程组的解 1 1 + 2 2 + = 1 1 1 + 2 2 + = 2 采用消元法，将方程变形为： 1 1 + 2 2 + = 1 1 1 + 2 2 + = 2 ,维空间中两个平面的交,将方程上下相减得： 1 1 1 + 2 2 2 + 1 1 1 = 1 2 显然，这是一个在1维空间中的平面,维空间中个平面的交,那么对于维空间中个平面的交呢？这实际上就是由个元一次方程构成的方程组： 11 1 + 12 2 + 1 = 1 21 1 + 22 2 + 2 = 2 1 1 + 2 2 + = ,维空间中个平面的交,我们还可以用矩阵来表示这个方程组，即=其中， 所以，维空间中1个平面构成的交就是解方程=，采用高斯消元法消掉1个自由变元之后，方程的解是一条1维的直线。同样的，维空间中个平面的交就是一个点这里，我们考虑个平面之间都是线性无关的,数学的严谨性,在数学上一些直观的想法是很容易错误的不少同学的“证明”思路是这样的：两个1维平面的交集是一个点（0维平面）两个2维平面的交集是一条线（1维平面）所以，两个维平面的交集是1维平面,数学的严谨性,然而，1维、2维和维之间并没有必然的联系，这并不是证明，这只是在陈述你的猜测而这种直觉一般的猜测在数学中是很不可靠的,数学的严谨性,我们来看一些有趣的例子，在2维空间中有没有办法让一个圆分解成若干个有限的集合，然后再把这些集合拼成两个圆，使得这两个圆的半径和原来的圆相等,巴拿赫-塔斯基定理,这显然不可能。,巴拿赫-塔斯基定理,但是，在 (3)中这是可以做到的！,巴拿赫-塔斯基定理,对的，你没有听错，巴拿赫和塔斯基于1924年证明了这一定理：可以将一个三维实心球分成有限部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。,具体证明过程超出本课程范畴，有兴趣的同学请自行研究,挂谷问题,一名武士在上厕所时遇到了袭击，于是他拔出他那把长度为一米的剑。可是厕所实在是太狭窄了，于是武士施展了他的最终奥义Kakeya剑法。这个奥义可以使得剑转动180度（允许平移）且扫过的面积最小。,挂谷问题,那么，问题来了！请问，这个最小的面积值是多少呢？作为提示，一个最简单的剑法是考虑剑柄位置为A，然后旋转剑身画出一个完美的弧形，这样剑扫过的面积为 2 ，那么是否有比这个更好的答案呢？,挂谷问题,显然，我们还可以握住剑的中点，旋转180度，这样剑扫过的面积为/4,挂谷问题,更好的答案，看好了！三角斩！剑身可以划出个等边三角形，这个等边三角形的面积为1/ 3,挂谷问题,还没到！看看下图的内摆线,挂谷问题,不错，由内摆线构成的剑法划过的面积为/8这显然更小了。挂谷宗一以及其他许多数学家都认为这就是最小面积了。,挂谷问题,那么，/8真的是最小的面积吗？看看下面这个：,挂谷问题,想象一个高为1的等边三角形，把它平分，再把两个直角三角形稍微叠在一起现在重新开始，把三角形平均分为 8 个，把它们两两叠在一起，再两两叠在一起，这种图形就叫做 Perron树。,挂谷问题,如果我们重复这个步骤，把三角形分为 16个、32个、