留数定理PPT课件

.,1,第五章留数定理,1留数定理2留数在定积分计算上的应用（一）3留数在定积分计算上的应用（二）,.,2,如果函数f(z)在z0的邻域内解析,根据柯西积分定理,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0|z-z0|R内，包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分,一般就不等于零。,思考：积分等于多少?,1留数定理,.,3,结论：从上面的讨论可知,积分的计算可转化为求被积函数的罗朗展开式中z-z0的负一次幂项的系数c-1。,或,思路一将f(z)在此邻域内展开为罗朗级数f(z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.后,两端沿C逐项积分,右端各项积分除留下c-1(z-z0)-1的一项等于2ic-1外，其余各项积分都等于零，所以,若令n=-1,得,思路二由罗朗级数系数公式,.,4,为函数f(z)在z0的留数(Residue)，记作Resf(z),z0。,一、留数的定义,定义若f(z)在去心邻域内解析，z0是f(z)的孤立奇点，C是内包围z0的任意一条正向简单闭曲线，定义积分,即,.,5,留数定理：如果函数f(z)在一条正向简单闭曲线C上连续，在C的内部除有限个孤立奇点z1,z2,.,zn外处处解析。则,二、留数定理,证把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据多连通域的柯西积分定理有,根据留数的定义，有,.,6,讨论问题：柯西积分定理、柯西积分公式与留数定理的关系如何？,意义：把计算沿路径积分的整体问题化为计算各孤立奇点留数的局部问题。,.,7,2、求罗朗级数中c-1(z-z0)-1项的系数c-1。,三、留数的计算,1、留数只对孤立奇点而言才有意义。,2）如果z0是f(z)本性奇点,将f(z)在其z0的去心邻域中展开为罗朗级数，求c-1;,如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利。,1）如z0是f(z)的可去奇点,则Resf(z),z0=0;,3）如果z0是f(z)的极点,则可以利用以下的规则：,.,8,（极点留数的计算规则）,规则2如果z0为f(z)的m级极点，则,规则1如果z0为f(z)的一级极点,则,规则3设,P(z)及Q(z)在z0都解析,如果P(z0)0,Q(z0)=0,Q(z0)0,则z0为f(z)的一级极点,且,注意规则3的应用条件,.,9,例2:计算,z=0是本性奇点,例1:,.,10,.,11,由规则1,得,.,12,我们也可以用规则III来求留数：,这比用规则1要简单些，但要注意应用的条件。,.,13,.,14,.,15,如果函数f(z)的极点z0的级数不是m,它的实际级数要比m低,这时表达式,的系数c-m，c-m+1，中可能有一个或几个等于零,显然规则2的公式仍然有效。,一般说来,在应用规则2时,为了计算方便不要将m取得比实际的级数高。,注意：在应用规则2时，为了计算方便，可以将m取得比实际的级数高。,.,16,方法一、首先应定出极点z=0的级数。由于,因此z=0是z-sinz的三级零点，也就是f(z)的三级极点。,例6：计算在z=0处的留数.,应用公式得,由此可见,二阶导数的计算过程将十分繁杂。,.,17,.,18,方法三用洛朗展开式求c-1就比较方便，因为,所以,考虑：多值函数的留数计算。,.,19,1.定义：设函数f(z)在圆环域R|z|内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，则积分,称其为f(z)在点的留数，记作,这里积分路径的方向是顺时针方向，这个方向很自然地可以看作是围绕无穷远点的正向。,四、无穷远点的留数及计算方法,.,20,将f(z)在R|z|+内的罗朗展式为,则,即f(z)在点的留数等于函数f(z)在点的罗朗级数中z-1项的系数c-1的变号。,注意：有限可去奇点的留数为0，z=既便是f(z)的可去奇点，f(z)在z=的留数也未必是0，为什么？,.,21,另：由于f(z)在R|z|+内解析，所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数,C为R|z|+内绕原点任何一条简单正向闭曲线。,考虑n=-1的情况,因此Resf(z),=-c-1,.,22,2、无穷远点留数的计算方法,方法2z=是f(z)的可去奇点，并且则f(z)在z=的留数,.,23,例设f(z)=z5/(1+z6),求z=的留数,解：（方法一）由于f(z)在1|z|+内解析，所以,z=是可去奇点，z=的留数为,Resf(z),=-C-1=-1（0）,（方法二）z=是可去奇点，并且,则Resf(z),.,24,定理：如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.,证除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n)。又设C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线，则根据留数定理与在无穷远点的留数定义，有,.,25,留数定理提供了计算实变函数定积分的一种方法。,2留数在计算实积分上的应用(一）,两个条件：1）将实变函数推广为复变函数。2）将定积分变为回路积分中的一部分。,如图，对于实积分，变量x定义在闭区间a,b(线段)，此区间应是回路的一部分。实积分要变为回路积分，则实函数必须推广到复平面上包含回路的一个区域中，而实积分成为回路积分的一部分：,.,26,1.形如的积分为cos与sin的有理函数，且在0，2上连续。,从而，积分化为沿正向单位圆周的积分：,令z=ei，那么,dz=ieid,d=dz/iz,其中zk(k=1,2,n)为包含在单位圆周内的f(z)的孤立奇点。,.,27,注意：1）f(z)为z的有理函数；,2）R(cos,sin)在0，2,则f(z)在单位圆周上无奇点；,3）积分限可以为-，。,4）若R(cos,sin)为偶函数，则,例1：计算,.,28,例2计算的值.,解：令,.,29,例3计算积分,解,则,.,30,.,31,例4计算,解,令,.,32,极点为:,(在单位圆内),(在单位圆外),.,33,例5计算的值.,解由于00，当r充分小时，有即可。,因为,.,55,.,56,(1)Q(z)比P(z)至少高一次；(2)R(z)在实轴上有有限个单极点x1,x2,，xm(3)0;,其中zk为R(z)在复平面上半平面的奇点。