05级《近世代数》考试卷

浙江师范大学05级近世代数考试卷(20072008学年第二学期)考试类别 考试 使用学生数理学院数学05级 初阳综合理科05级 考试时间150分钟 出卷时间 2008 年 6 月 10 日说明：考生应将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。一、选择题 ( 每小题2分，共20分 )1设Aa，b，c，在下列运算表所给出的A的代数运算中，不满足结合律的是 ( )。abcaaaabaaacaaaabcaabcbabccabcabcacbbbaaccbccabcaabcbbcaccab A B C D 2设A，B是两个集合，且 | A |4，| B |3，那么， | 2AB | ( )。A12 B48 C64 D813设S是一个半群，那么，在下列关于半群S的叙述中，正确的是 ( )。AS必定有左单位元eL或者有右单位元eRBS中消去律必定成立C如果S是一个交换半群，那么，S一定存在单位元D如果S至少有两个不同的左单位元，那么，S必定没有右单位元4设G1，G2是两个循环群，且G1(a)，G2(b)，那么，下列结论成立的是 ( )。A必存在G1到G2的同态映射f B必存在G1到G2的同态满射fC必存在G1到G2的同态单射f D必存在G1到G2的同构映射f5设G是一个群，H1，H2是G的两个子群，在下列各式中一定成立的是 ( )。AH1H2H1 BH1H2H1H2CH1H2H1H2 DH1H1H16设G是一个有限群，H是G的一个不变子群，在下列叙述中，正确的是 ( )。Aa，bG，有aba1HBaH，bG，有aba1HCaG，bH，有aba1HD如果aHbH，则ab1b1a 7设R是一个环，a，bR，nZ，在下列等式恒成立的是 ( )。An(ab)(na)ba(nb) B(ab)2a22abb2C(ab)2a2b2 D(ab)(ab)a2b28设Z15是以15为模的剩余类环，那么，Z15的子环共有 ( ) 个。A2 B4 C6 D15 9设R是一个环，X是环R的一个非空子集， X 表示由子集X生成的子环，( X )表示由子集X生成的理想，那么，下列集合之间的关系一定成立的是 ( )。A X ( X ) B X ( X ) C X ( X ) D X ( X )10设R是一个环，I是R的一个理想，在下列关于环的叙述中，正确的是 ( )。A如果I是R的一个素理想，则I必定是R的一个极大理想B如果I是R的一个极大理想，则I必定是R的一个素理想C如果R是一个无零因子环，则零理想0是R的一个素理想D如果R是一个无零因子环，则零理想0是R的一个极大理想二、填空题 ( 空格2分，共24分。答题时请写清题号 )1设集合Aa，b，c，记AA为A与A的积集合，2A为A的幂集合。那么，AA ，2A 。2设A1，2，3，4，S1，2，3，4，那么，由集合A的分类S所确定的等价关系E (写成AA的子集的形式)。3设G是一个不可交换群，那么，G最少含有 个元素，试给出一个你所熟悉的最小的不可交换群： 。4设3次对称群S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，子群H(1)，(23)，那么，S3的两个左陪集 (12)H与 (13)H的积(12)H(13)H ，且求S3关于子群H的左陪集分解 。5记以30为模的剩余类加群Z30，以10为模的剩余类加群Z100，1，2，9，作群同态映射：f：Z30 Z10， 2k，Z30，那么，同态映射f的象Im f ，f的同态核Ker f 。6设R是一个环，aR，记 (a) 为由元素a生成的主理想。当R是一个有单位元的环时，则 (a) ；当R是交换环时，则 (a) ；7设R是一个环，I，K是R的两个理想，那么，(IK) / I 。 三、计算题 ( 每小题8分，共16分。要求写出计算的过程或计算的理由)1在7次对称群S7中计算：(1) 将(1357)1 (345) (1357) 表示成若干个互不相交的循环置换之积；(2) 设k是一个自然数，计算：(1357)1 (345) (1357)k。2设Z12为以12为模的剩余类环，(1) 求出Z12的所有理想；(2) 试给出Z12的所有极大理想与素理想。四、证明题 ( 每小题10分，共40分 )1设G1，G2是两个群，记GG1G2(a，b) | aG1，bG2，规定G的代数运算“”：(a，b)(c，d)(ac，bd)， (a，b)，(c，d)G。(1) 验证G关于代数运算“”作成一个群；(2) 如果G1，G2分别为m，n阶的循环群，证明G是mn阶的循环群。2设G是一个群，H是G的一个不变子群，规定商集合G / H的运算：(aH)(bH)(ab)H， aH，bHG / H，证明：以上所规定的代数运算是合理的，即与代表元的取法无关。3设Zab | a，bZ，p为某个固定的素数，验证Z关于数的加法与乘法作成一个整环。4设Rx为实数域R上的一元多项环，p(x)为Rx上的一个不可约多项式。 (1) 证明：由多项式p(x)生成的理想(p(x)是Rx上的一个极大理想。