2011专科组c题数学建模论文 企业退休职工养老金制度微观预测

企业退休职工养老金制度微观预测摘要随着老年化人口的逐渐增加，退休职工养老金是一个急需解决的问题。我们对养老金制度进行微观分析，（1）根据山东省1978年至2010的平均工资表，对数据进行散点图分析，最后选择用指数增长模型对2011年至2035年平均工资进行预测；（2）我们对个人账户养老金进行了精算，把年利率精确到月利率，从而得到关于第年底个人账户累积储存额，进而计算出养老金；根据模型一的平均增长率，得出退休前的平均工资，从而计算出替代率；（3）运用微观的思想对个人的养老金的收支缺口情况进行分析得到养老金收支平衡条件；4）对影响养老金缺口的因素进行分析，得到如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，可以采取延长退休年龄，提高个人账户的缴费率和收益率等措施。关键词:养老金、工资预测、缴费指数、替代率、收支平衡1.问题重述本篇论文讨论的是企业退休职工养老金制度改革的问题。养老金由基础养老金和个人账户养老金两部分组成。企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户，个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息（3%），这两个账户的和也就是我们所谓的养老保险基金。职工退休后每个月领取到的养老保险金与缴费指数和退休前一年的社会平均工资有关。 根据山东省各年的平均工资统计表（附件1），以及该省一个代表企业2009年的各年龄段工资分布表（附件2），本文解决了如下问题： 问题一：对未来中国经济和工资增长进行合理的假设，预测了在2011年至2035年的年山东省职工的年平均工资。问题二：在分析2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比的基础上。计算出该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），各种情况下的养老金替代率。问题三：以该企业某年龄段员工为例，假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。分析养老保险基金的缺口情况。问题四：从微观角度出发，分析了如果在达到目标替代率的前提下，可以采取延长退休年龄，提高个人账户投资收益率和缴费率等措施来维持养老保险基金的收支平衡。2.问题分析对于问题一，近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。而从2011年至2035年，我国还未达到中等发达国家水平，所以这时工资增长仍然较快。根据题中给的1978年到2010年给的数据，运用Matlab软件编程，得到一个关于1978年到2010年的职工平均工资散点图1（代码见附件程序一）： 图1 1978年到2010年各年工资散点图从图1我们可以看出1978年到2010年的职工平均工资是呈现增长趋势的，而且是类似指数函数，所以，我们对这些数据进行拟合，运用指数增长模型，求出平均增长率r和初始时刻工资。从而预测出2011年至2035年的职工平均工资。对于问题二，根据该企业2009年各年龄段职工的平均工资和该企业的平均工资之比，得到职工工资缴费指数。再根据模型一求出的平均工资增长率r，求出30岁、40岁开始缴费，一直退休（55岁，60岁，65岁）前的平均工资，由养老金公式得出退休时领取的养老金，两者之比得出替代率。对于问题三,养老基金的缺口，意味着资金入不敷出时的收支之差。从微观角度出发，收支平衡就是职工个人所缴纳养老基金本息总和等于其从退休到死亡所领取的所有退休金的总和。根据这一条件我们进行分析，得到收支平衡的条件。 对于问题四，提高养老金的替代率就要增加养老金储存金额，从微观角度出发，如果在达到目标替代率的前提下，可以采取延长退休年龄，提高个人账户投资收益率和缴费率等措施来维持养老保险基金的收支平衡，。3、 符号说明年份时的工资n年底个人账户储存额初始年份的工资开始缴费时该企业职工年龄工资增长率退休时该企业职工年龄月份职工缴纳基本养老费的年数:第个收入范围对应的第个区间的人数 （）: 月收入范围的中值 （）:第个年龄段的平均工资 （）：第个年龄段的缴费指数 （）缴费率养老金2000年该企业30岁职工的平均工资替代率年存款利率2009年该企业职工平均工资2000年山东省职工平均工资2000年该企业职工平均工资2009年山东省职工平均工资2009年该企业30岁职工的平均工资企业平均工资月利率（近似=R/12）领取月限基础养老金个人账户养老金计发月数本人指数化月平均缴费工资职工缴纳基本养老费的年数(): 统筹比例：第n年底的社会统筹累计储存额：第n年底个人所有基金总和:领取养老金第K个月的基金余额4、模型假设1) 假设附件所列工资皆为缴费前工资。2) 假设平均工资增长率r不变。3) 假设该企业职工开始至退休缴费不中断。4) 假设账户储存额一年期存款利率不变为3%。5) 假设职工所交统筹基金账户总额和个人账户基金总额按照年利率增长。6) 假设该企业的平均工资增长水平与山东省平均水平一致，具有典型性。5、模型的建立与求解5.1问题一：指数增长模型求职工工资记第年职工平均工资为,将视为连续可微的函数。记初始年份(=0)的职工平均工资为,假设职工平均工资增长率为常数，考虑到+时间内的职工平均工资增量，得到： 令0,得到满足微分方程 ， 由这个方程解出 (1)利用简单的线性最小二乘法，将(1)式取对数，可得 (2)以1978年至2010年的数据拟合(2)式，用MATLAB软件（见附件程序二）可得r=0.13191/年，= 419.8074，图像如下所示：图2：指数增长模型拟合图形用上面得到的参数r和 带入（1）式，将计算结果与实际数据作比较得到误差（表2所示）（见附件程序三），从图2发现，指数拟合数据图像和实际数据图像比较吻合；从表2可以发现预测工资的相对误差比较小，所以我们认为本题中的工资增长模型符合指数增长模型。故用指数增长模型来估算出2011年至2035年的平均工资。，如表3所示（见附件程序四）：年份1978197919801981198219831984198519861987平均工资566632745755769789985111013131428预测工资4795476247128129261057120613761570误差87851214343137729663142误差率15.42%13.45%16.24%5.70%5.59%17.36%7.31%8.65%4.80%9.94%年份1988198919901991199219931994199519961997平均工资1782192021502292260131494338514558096241预测工资1791204423322661303634643952451051465871误差9124182369435315386635663370误差率0.51%6.46%8.47%16.10%16.72%10.00%8.90%12.34%11.41%5.93%年份1998199920002001200220032004200520062007平均工资68547656877210007113741256714332166141922822844预测工资6699764387219951113541295414781168651924321956误差1551351562038744925115888误差率2.26%0.17%0.58%0.56%0.18%3.08%3.13%1.51%0.08%3.89%年份200820092010平均工资264042968832074预测工资250522858432641误差13521104-567误差率5.12%3.72%1.77%表2年份20112012201320142015201620172018预测工资3720042460484505528063070719608211093690年份20192020202120222023202420252026预测工资106890121970139160158780181170206710235860269120年份20272028202920302031203220332034预测工资307060350350399750456110520420593800677520773050年份2035预测工资882040表35.2 问题二：缴费指数的求解对每一个月收入范围分别取一个中值,();第个收入范围对应的第个年龄区间的人数 ();则企业平均工资, 第个年龄段的平均工资 （），第个年龄段的缴费指数，（）;（见表4）年龄段20-24岁25-29岁30-34岁35-39岁40-44岁45-49岁50-54岁55-59岁各年龄段平均工资1726.952076.102534.712751.333023.083263.403115.562976.78企业平均工资2048.622048.622048.622048.622048.622048.622048.622048.62缴费指数0.8431.0131.2371.3431.4761.5931.5211.453 各年龄段的缴费指数 表4 替代率的求解养老金=基础养老金+个人账户养老金 个人账户养老金=个人账户储存额计发月数 基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资） 本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资本人平均缴费指数其中，为参保人员维修前1年、2年、.、年本人缴费工资额；为参保人员退休前1年、2年、.、年全省平均工资；为企业和职工实际缴纳基金养老保险的月数合计，是退休前第年的缴费指数，；逐一代入，则缴费期间各人账户金额的记账公式为:个人账户累计存储金额 = 个人账户上年底累计储存额（1+年度记账利率）+当年存入个人账户的金额当年存入个人账号金额的利息。其中，当年存入各人账号金额的利息为： （为本年度存入个人金额账户的月份，112）。假设该企业职工从2000年岁开始按月为个人账户缴费，至岁退休，缴费年限为-（-）。：2000年该企业30岁员工的平均工资水平。则2000年存入个人账户的利息为： 该企业岁职工2000年缴费至本年底累计储存额： (3)该企业职工2001年第二年缴费至本年底累计储存额为: （4）以此类推，可计算出该企业员工至第n年底个人账户累计储存额为: (5)工资替代率： （6）其中为退休前一年月平均工资 。 根据假设，令该企业的平均工资水平和山东省平均工资水平成比例，记、 分别为2000年、2009年的30岁员工的平均工资水平, （7） （8）模型计算：（1） 计算30岁开始缴养老保险金至退休55岁，60岁，65岁的情况： 已知,可知：为30岁的缴费指数，代入（7）（8）可得2000年该企业30岁职工月平均工资=730元。由模型一可知山东省平均工资增长率r=0.1319，年记账利率为3%，缴费率为8%。所得参数计入表53055653%0.13197308% 表5将表5参数代入公式（3）（4）（5）(6)，计算结果如表6退休年份退休年龄计发月份退休前个人账户储存额个人账户养老金基础养老金退休前月平均工资个人账户工资替代率202555170143720845.41 2316.9614279.61 22.15%2026561641642001001.22 2748.6516163.09 23.20%2027571581874401186.33 3390.3718295.00 25.02%2028581522137801406.45 3851.6820708.11 25.39%2029591452436001680.00 4550.4623439.51 26.58%2030601392775101996.47 5369.6426531.18 27.76%2031611323158802393.03 6329.2830030.64 29.04%2032621253593802875.04 7452.6333991.69 30.38%2033631174086603492.82 8772.2738475.19 31.88%2034641094645004261.47 10303.5443550.07 33.44%2035651015277605225.35 12098.8849294.32 35.14% 表6 同上计算方法可得从40岁开始缴养老保险金至55岁，60岁，65岁情况：计算结果如表7退休年份退休年龄计发月数退休前个人账户储存额个人账户养老金基础养老金退休前月平均工资个人账户工资替代率20155517058400343.53386.245963.3412.24%20165616467800413.41469.996749.9013.09%20175715878480496.71569.697640.2213.96%20185815290620596.18688.198647.9614.85%201959145104420720.14828.789788.6315.82%202060139120090863.96995.2111079.7516.78%2021611321378901044.621192.2512541.1717.84%2022621251581001264.801424.9114195.3518.95%2023631171810301547.261699.5216067.7120.21%2024641092070401899.452023.2818187.0421.57%2025651112365602131.172404.4420585.9122.03%表75.4问题三：养老保险金的缺口情况和职工收支平衡时的年龄缺口：个人缴存的养老金总和至死亡前总共领取的养老金总额的差值。第n年底的社会统筹基金累计储存额为： 第n年底养老基金总和： 退休后，每个月拿的养老金固定不变，个人账户所有基金总和按养老金在不断支出，考虑到存款存入银行有年利率，则支出后的金额会以3%年利率生成利息，每月领取A元，K月领取完。假设月末领取工资；建立一个差分方程: 令： (9) (10) (10)-(9)可得： , 当全部领取完时，即, 得： 已只,可以计算出K个月后，个人账户的所有基金总和被完全支出， 计算数据，如表8年龄退休前个人账户存额退休前的社会统筹基金个人账户基金的所有总和养老金可领取月数K可领取年数(K/12)需领年数(75-年龄)达到收支平衡时的年龄(K/12)+年龄551437203458004895203162.3719616.332071.33561642003956005598003749.8718715.581971.58571874404521006395404576.4172.114.341871.34582137805162007299805258.13170.714.231772.23592436005888008324006230.46162.713.561672.56602775106712009487107366.11155.612.971572.976131588076460010804808722.31148.412.371473.3762359380870400122978010327.67141.511.791373.7963408660990400139906012265.09134.411.201274.20644645001126300159080014565.01127.710.641174.64655277601280300180806017324.2312110.081075.08 表8从表8中可以看出，55岁64岁退休的员工，一直领到75岁，他们需要领取的年数都大于可领取的年数，则可以看出剩余的年数是国家填补的，即出现了缺口；65岁的退休的员工需要领取的年数小于可领取年数，即国家不需要补给；当可领年数需领年数，则没有缺口。由表8和表9可以得出：若该职工55岁退休，当他活到71.33岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡，但活到75岁时，国家人均缺口139144.28元；若该职工60岁退休，当活到72.97岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡，当活到75岁时，国家人均缺口179733.08元；若该职工65岁退休，他缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间不会达到收支平衡（如表9） 年龄个人缴存的养老金总和与领取的养老金的差值55-139144.2856-153744.6757-200903.9658-175095.7359-182552.4860-179733.0861-170957.2862-149751.2263-117744.8664-62920.8465 16613.3根据表9的数据，我们可以看出，随着退休年龄的增长，缺口金额会先增长后减小，当在57岁退休时，缺口金额达到一个最高值，根据表的数据，在（56，61）这段区间里的缺口金额相当大，我们可以尽量避免企业员工在这个年龄段退休，让他们提前退休或延后退休，如56岁到58岁退休人员可在55岁退休，58岁到61岁退休人员可延后到62岁，甚至更晚退休。 表95.5问题四：既要达到目标替代率，又要维持基金收支平衡所采取的措施1延长退休年龄从表7可知，从40岁开始缴养老保险金15年至55岁退休的企业职工，可领取月养老金730.77元，替代率为12.24%；而交养老保险金30年至60岁退休的话，可领取养老保险金1858.96元，两种情况替代率相差不到一倍，但是所领养老金相差两倍多，可见缴费时间越长，退休越晚，个人所领养老金越多。虽然现在我国劳动力过剩，很难大面积延长退休年龄，从长远来看，随着1980年计划生育的实施，我国老龄化会日益加剧，劳动力过剩的局面将会逐渐的转变, 因此选择合适的时间提高劳动者的退休年龄,不仅能够增加社会经济发展所需的劳动力, 而且能够延长个人账户积累时间, 减少个人账户的支出时间, 有效提高劳动者养老保险个人账户的目标工资替代率,维持养老保险金收支平衡 保证老年人退休生活得合理质量。2适时提高个人账户的缴费率由题目所给背景可知，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%，由表6可见从30岁开始参保缴费的职工在其65岁退休时个人账户的工资替代率可以达到35.14%。这个替代率水平初步达到了国家的预期设想,在其它条件不变的情况下, 如果将个人账户缴费率适当提高，则将会得到有效的提高个人账户储存额和目标替代率，因为个人缴费的增加，有利于维持养老保险基金的收支平衡。3提高个人账户投资收益率建立国家强制的私有化程度较高的个人积累储蓄养老保险体制。由经过批准的私人管理经营的养老基金进行管理，但要政府对个人账户的建立、缴费标准的确定、经营、管理和最低收益具有绝对的限制权，由于较高的投资回报率，能迅速提高养老金替代率。智利和哈萨克斯养老金保障系统就是采取这种新制度。经过多年的改革和完善，新制度不但减轻了人口老龄化带来的压力和政府财政负担，增加了国内储蓄，而且巨额竞争性养老基金进入资本市场有力的推动了国内资本市场的发展与完善。总而言之要达到目标替代率又要维持养老保险基金收支平衡的措施有: 提高个人账户投资收益率，提高职工的法定退休年龄, 大力发展补充养老保险为适当降低基础养老金支出提供可能性, 以及小幅度有步骤地调高缴费率。并且, 我国可以在社会保险管理局下特设精算办公室, 对养老金的缴纳、支出情况作出预测, 预测未来国家经济和人口变化, 以此作为决策的依据, 并结合上述途径,缩减精算债务, 以减轻将来我国步入人口老龄化高峰时国家、社会与个人的沉重负担。6. 模型的优缺点分析优点：对个人账户基金总额进行精算，运用微观的思想对个人的养老金的收支缺口情况进行分析得到养老金收支平衡条件。把理论和数据、图表相结合，把结果直观的表示出来。缺点： （1）对于模型一，我们根据1978年至2010年的数据，拟合出一个散点图和运用指数增长模型预测图进行比较，预测与实际数据差距不大。则把平均工资增长率当成定值，预测2011年至2035年的平均工资。我们对增长率进行初略的比较，发现不是一成不变的，随着国家的不断发展进步，会逐渐减小。图3、4是每年增长率的变化图 图3 图4散点图和曲线图，我们可以看出此时变化很大，我们无法看出趋势，若以5年为一区间进行分析，则可以得到每五年的平均增长率的散点图（如图5），我们可以看出增长率还是又增有减，还是难以看出， 图5我们再以10年为一个区间进行分析，则可以得到每十年的平均增长率的散点图和曲线 图（如图6、图7），我们可以大致看出增长率先逐渐增大，达到最高时，有逐渐下降， 图6 图7可以看出增长率不是恒定不变的，在逐渐减小，由于分析数据有限，我们只是对增长率做粗略的估计。 （2）在求2000年各阶段的员工的平均工资水平时，只考虑平均工资增长率对其的影响，没有考虑企业内部职员的升迁问题和年龄阶段对工资的影响。8 参考文献1姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京，高等教育出版社，20032熊启才，张东升.数学模型方法及应用.重庆：重庆大学出版社，20053秦新强，赵凤群.线性代数学习指导.北京：机械工业出版社，20064刘卫国.MATLAB程序设计与应用.北京：高等教育出版社，20065邬学军，周凯.数学建模竞赛铺导教程.杭州：浙江大学出版社，20096吉祥,王裕明,张翠云, 上海市城镇职工个人账户养老金精算研究,华东经济管理，第23卷第10期， 2009，697 刘海宁，张颖，智利、哈萨克斯坦养老金改革体制启示，辽宁工程技术大学学报（社会科学版），第5卷第6期,2003，56589.附件表一：山东省职工历年平均工资统计表山东省职工历年平均工资统计表年份平均工资1978566 1979632 1980745 1981755 1982769 1983789 1984985 19851110 19861313 19871428 19881782 19891920 19902150 19912292 19922601 19933149 19944338 19955145 19965809 19976241 19986854 19997656 20008772 200110007 200211374 200312567 200414332 200516614 200619228 200722844 200826404 200929688 201032074 程序一：t=1978:1:2010;x=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074; scatter(t,x) 程序二：t=1:1:33;x=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;