matlab定积分的近似计算PPT课件

-,1,MATLAB数学建模与仿真,定积分的近似计算,-,2,定积分计算的基本公式是牛顿莱布尼兹公式。但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。,本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法和抛物线法。同时介绍Matlab计算定积分的相关函数。,问题背景和实验目的,定积分的近似计算,-,3,1.极限和连续数列极限:0,N0，使当nN时有xn-a0,函数在x0点附近是上升的；当f(x0)0)，则f(x)在x0点达到局部极大（或局部极小）,-,5,当n=0得，微分中值定理f(x)-f(x0)=f()(x-x0)其中是x0与x之间某个值,Taylor公式:当f(x)在含有x0某个开区间内具有直到n+1阶的导数，,-,6,3.多元函数微分学,设f(x,y)在点(x0,y0)附近有定义，当(x,y)以任何方式趋向于(x0,y0)时，f(x,y)趋向于一个确定的常数A，则,若A=f(x0,y0),称f(x,y)在(x0,y0)点连续,f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数分别定义为,-,7,4.积分函数f(x)在区间a,b上的积分定义为,其中a=x0x1,例：用梯形法计算下面定积分(取n=100)，并计算相对误差,梯形法举例,a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2),相对误差：,-,18,2n等分区间a,b，得,用抛物线代替该直线，计算精度是否会更好？,计算每个节点上的函数值：,抛物线法,在区间x0,x2上，用过以下三点,的抛物线来近似原函数f(x)。,-,19,设过以上三点的抛物线方程为：,则在区间x0,x2上，有,y=x2+x+=p1(x),抛物线法,-,20,同理可得：,相加即得：,抛物线法,-,21,整理后可得：,或,辛卜生(Simpson)公式,抛物线法公式,抛物线法,fuluC.m,-,22,=,例：用抛物线法计算下面定积分(取n=100)，并计算相对误差,解：,a=0,b=1,n=100,yi=f(xi)=1/(1+xi2),抛物线法,相对误差：,-,23,矩形法梯形法抛物线法,数值积分的常见算法,Matlab函数,Matlab求积分函数,数值积分函数：trapz、quad、dblquad符号积分函数：int,-,24,矩形法,总结,Matlab数值积分函数：trapz、quad、dblquad,梯形法,抛物线法,-,25,trapz(x,y)x为分割点（节点）组成的向量，y为被积函数在节点上的函数值组成的向量。,trapz,trapz,-,26,前面的做法,例：用梯形法计算下面定积分(取n=100),解：,a=0,b=1,n=100,yi=f(xi)=1/(1+xi2),x=0:1/100:1;y=1./(1+x.2);trapz(x,y),trapz函数,trapz(x,1./(1+x.2),trapz举例,-,27,quad(f,a,b,tol)f=f(x)为被积函数，a,b为积分区间，tol为计算精度,将自变量看成是向量,不用自己分割积分区间可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是10-6精度越高，函数运行的时间越长此处的函数f是数值形式，应该使用数组运算，即：.*./.,quad,quad,-,28,解：,quad(1./(1+x.2),0,1),quad(1./(1+x.2),0,1,1e-10),quad(1./(1+x.2),0,1,1e-16),函数表达式一定要用单引号括起来！涉及的运算一定要用数组运算！,例：用quad计算定积分：,quad举例,-,29,抛物线法计算二重积分：dblquad,dblquad(f,a,b,c,d,tol),tol为计算精度，若不指定，则缺省精度为10-6f可以是：字符串；inline定义的内联函数；函数句柄a,b是第一积分变量的积分区间，c,d是第二积分变量的积分区间,按字母顺序，大写字母排在小写字母的前面,dblquad,-,30,f=inline(4*x*y+3*y2);I=dblquad(f,-1,1,0,2),f中关于第一自变量的运算是数组运算，即把x看成是向量，y看成是标量。也可以全部采用数组运算,例：计算二重积分,dblquad(inline(4*x*y+3*x2),-1,1,0,2),dblquad(inline(4*x*y+3*x.2),-1,1,0,2),X,例：计算二重积分,dblquad举例,-,31,例：计算二重积分,dblquad(x,y)4*x*y+3*x.2,-1,1,0,2),指定x、y分别是第一和第二积分变量,dblquad(inline(4*x*y+3*x.2),-1,1,0,2),被积函数f(x,y)的另一种定义方法：匿名函数,dblquad举例,-,32,int(f,a,b)计算f关于默认自变量的定积分，积分区间为a,b。,int(f)计算f关于默认自变量的不定积分。,int(f,v,a,b)计算函数f关于自变量v的定积分，积分区间为a,b,int(f,v)计算函数f关于自变量v的不定积分,findsym(f,1),int,符号积分：int,-,33,例：用int函数计算定积分：,解：,symsx;f=1/(1+x2);int(f,x,0,1),f=sym(1/(1+x2);int(f,x,0,1),int(1/(1+x2),x,0,1),或,int(1/(1+x2),0,1),或,或,int举例,-,34,double(a)将a转化为双精度型，若a是字符，则取对应的ASCII码,a=3;double(a)double(a),例：,ans=3,ans=97,相关函数,-,35,x=1:0.001:2;y=exp(x.(-2);trapz(x,y),梯形法：,抛物线法：,quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10),符号积分法：,symsxint(exp(x(-2),x,1,2),例：用Matlab函数近似计算定积分,数值实验,-,36,抛物线法：,dblquad(inline(x+y2),0,2,-1,1),符号积分法：,f=int(x+y2,y,-1,1);int(f,x,0,2),数值实验,例：用Matlab函数近似计算二重积分,-,37,1.导数、单调性与极值当f(x0)0,函数在x0点附近是上升的，f(x0)0)考虑函数f(x)=x2cos(x2+3x-4)在-2,2内的图象特征。,建模实验：奶油蛋糕,-,38,2奶油蛋糕,某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日。为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型，学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数r=2-(exp(2h)+exp(-2h)/5,0h1(单位：米)。问如何计算重量？,-,39,解设高为H，半径r,比重为k若蛋糕是单层圆盘的，则蛋糕的重量为：W=kHr2,若蛋糕是双层的，每层高H/2，下层半径r1,上层半径r2，则W=kH(r12+r22)/2如果蛋糕是n层的，每层高H/n，半径分别r1,rn,则,-,40,若蛋糕边缘是曲线r=r(h),0hH，各层半径近似为ri=r(i-1/2)H/n),i=1,n,那么当n，,-,41,3一半径为5m的球形水罐充满了水，底部有一半径为b=0.1m的小孔漏水，问多少时间以后，水面下降至离底部0.5m?,解水从孔漏出的速度由下列能量方程决定g(z+R)=u2/2，u是速度,z表示从球心测量的水面高度,g为重力加速度。,-,42,考虑在时间dt内水面变化dz，漏水的体积为uAdt=-x2dz其中x为高度