中科大量子力学 散射.ppt

1，第6章散射，散射，2，散射过程：目标粒子的位置称为散射中心。具有准直方向的均匀单能粒子从沿Z轴方向的一段距离发射到目标粒子。由于目标粒子的作用，它们分散在各个方向。这个过程称为散射过程。散射粒子可以用探测器测量。散射截面，3，散射角：由于目标粒子的势场，入射粒子的运动方向偏离入射方向的角度。弹性散射：如果入射粒子和目标粒子的内部状态在散射过程中没有变化，称为弹性散射，否则称为非弹性散射。入射粒子流密度n:垂直于单位时间内入射粒子运动方向的单位面积入射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，也称为入射粒子流强度。散射截面，散射截面(续1)，4，假设每单位时间散射到方向面积元素ds(在立体角d内)上的粒子数为dn，显然，它们的和为：或(1)，比例因子q的性质(续1)，入射粒子和目标粒子的性质(散射场)，它们之间的相互作用，以及入射粒子的动能，是， 散射截面(续2)，5，q(，)有面积的维度，所以q(，)被称为微分散射截面，即简单的截面或角分布。 如果横截面积q(，)是在垂直于入射粒子流的入射方向的方向上获得的，则在单位时间内通过该横截面的粒子数量将只是在(，)方向上分散到单位立体角中。(2)，散射截面(续3)，6，总散射截面：注，由公式(2)可知，因为n，可以通过实验确定，所以得到。量子力学的任务是进行理论计算，以便与实验进行比较，进而研究粒子之间的相互作用和其他问题。散射截面(续4)，7，2，散射振幅，现在考虑用量子力学描述散射系统。假设目标粒子的质量比散射粒子的质量大得多。在碰撞过程中，目标粒子可以被认为是静止的。将散射中心A作为坐标原点，散射粒子系统的定态薛定谔方程(4)被重写为，8，(5)。由于实验观察是在远离目标的地方进行的，从微观角度来看，可以认为，在计算中，只需要考虑该处散射粒子的行为，即只需要考虑该处散射系统的波函数。当方程(5)变为(6)、2时，散射振幅(续1)、9，方程(6)被写入，在这种情况下，该方程被简化为，该方程类似于一维波动方程。我们知道，对于一维势垒或势阱的散射情况，(8)，2，散射振幅(续2)，10，方程(8)有两个特殊解，其中入射波或透射波是散射波，波只在一个方向散射。对于三维情况，波可以向各个方向散射。当在三维空间中散射时，粒子在该位置的波函数应该是入射波和散射波的和。其次，散射振幅(续3)，11因此代表从散射中心向外传播的球形散射波，代表向散射中心会聚的球形波，不是散射波，并且应该被省略。散射粒子的波函数是入射平面波和球面散射波的和。即，(9)、2、散射振幅(续4)、12、散射波的概率电流密度、入射波的概率密度(即入射粒子电流的密度)。为方便起见，取入射平面波的系数，表示入射粒子束单位体积中的粒子数为1。(10)，2，散射振幅(续5)，13，每单位时间沿方向D在立体角上出现的粒子数为(13)，通过比较方程(1)和(12)，我们可以得到(12)、(11)、2，散射振幅(续6)和14。寻找散射振幅或s的两种方法2，散射振幅(续7)，15，以沿粒子入射方向的轴和通过散射中心为极轴z，显然与此无关。根据3.3中的讨论。对于具有一定能量的粒子，方程(3-1)的特殊解是讨论粒子在中心力场中的散射。(3-1)，束缚力场中粒子的势能是，状态方程，因为它现在是不相关的(m=0)，所以方程(1)的特殊解可以写成，三，波分裂法，16，方程(3-1)的一般解是所有特殊解的线性叠加，(3-2)，(3-2)被代入(3-1)，而径向方程是待定的径向波函数，每个特殊解称为一个偏波，称为第一个偏波，而通常称为偏波的是.波分裂，(3-3)，3，波分裂法(续1)，17，(3-4)，在考虑方程(3-4)的极限解的情况下，作出方程(3-4)的极限形式，从而得到：(3-5)，3，波分裂法(续2)，18。为了方便下文，这里引入了两个新的常数，并将(3-5)代入(3-2 ),以获得这种情况下方程(3-1)通解的渐近形式。(3-6)，3，波分裂法(续3)，19，另一方面，根据前面一节的讨论，粒子的波函数远离散射中心，(3-7)，(3-8)，其中jl(kr)是球形贝塞尔函数，平面波被扩展为球形波，(3-9)，3，波分裂法(续4)，20，使用(3-8)，(3-9)，可以写成(3-7)，(3-10)，右侧的(3 即，分别比较方程的两侧和前侧的系数，以获得三种波分裂方法(续5)、21、(3-12)、(3-11)，这可以通过乘以(12)、积分从属、并利用Legradrer多项式的正交性将结果代入(3-11)、(3-14)方程来获得，三种波分裂方法(续6)、22，即(3-13)、第三种波分裂方法(续7)、23， 可以看出，寻找散射振幅f()的问题归结为寻找特定值的关键是求解径向波函数的方程(3-3 ),该方程从(3-8)和(3-9)中已知为入射平面波的第一分量的相位。 从(3-6)可知，它是散射波的第一个分量的相位。因此，它是入射波散射后第一部分波的相移(相移)。物理意义：3，波分裂法(续8)，24，微分散射截面，(3-15)，总散射截面，3，波分裂法(续9)，25，即(3-16)，其中(3-17)是第一波的散射截面。从上面可以看出，寻找散射振幅的问题归结为寻找相移。为了找到相移，需要根据具体情况求解径向方程(3-3)，然后取其渐近解，记为，3，波分裂法(续10)和26。可以获得第一波分量的相移。因为每个波分量都会产生相移，所以必须找到每个波分量的相移来计算散射截面。这种方法被称为波分裂法。光学定理，(见后面的证明)，3，波分裂法(续11)，27，散射截面是一个无穷级数问题。原则上，波分裂法是散射问题的常用方法。但事实上，这是相当复杂的，有时不可能计算项目在序列中轮流，所以只有第一个项目在序列中可以计算在一定的条件下，以达到一定的准确性。波分裂法的应用范围，散射主要发生在势场范围内，如果散射中心被取为中心，而球体的半径代表这个范围，那么散射效应可以忽略。入射波的第一分量的径向函数的第一最大值位于附近，并且该值越大，该值越快，并且如果第一最大值位于附近，则该值越小。换句话说，势场对第一部分波的影响很小，散射效应可以忽略。必须只考虑第一部分波之前的部分波。因此，我们写了波分裂法的适用条件。波分裂法(续13)和29，以及较小的th在原子核和基本粒子的情况下，力是不清楚的，即具体的形式是未知的。在这种情况下，我们可以先通过实验确定散射截面和相移，然后再确定势场和力的形式和性质。这是研究原子核和基本粒子的常用方法。3.波分(续15) 31。思考问题：什么是波分？分裂波方法意味着入射平面波eikz被球面波展开，展开中的每一项都称为分裂波。每个分裂波在中心力场的影响下产生一个相移。然而，径向方程必须根据特定的形式来求解。3.波分裂法(续16)和32。然后获得渐近解，并写成，以获得第一波分裂的相移。因为每个波分裂都会产生相移，所以在计算散射截面时必须找到每个波分裂的相移。这种方法被称为波分裂法。3.波分裂法(续17)，33。波分裂法的应用实例。球形势阱和球形势垒的低能散射。粒子的势能：是势阱或势垒的深度或高度。如果入射粒子的能量非常小，并且其德布罗意波长远大于势场的作用范围(质子和中子的低能散射可以近似归因于这种情况)，则计算粒子的散射截面。解：粒子的径向方程，(1)，3，波分裂法(续18)，34，其中，(2)对于球形正方形势阱，它是粒子的能量和粒子在目标粒子的中心力场中的势能。(2)由于粒子的波长，只需要讨论s波的散射。根据这个和等式(2)，等式(1)可以写成，3，波分裂方法(续19)，35，其中，(4)，(3)，顺序，然后(3)，(4)可以写成，(5)，3，波分裂方法(续20)，36，(6)，其解是，(7)，(8)，然后，(9)，(10)，由于有限的位置，因此，必须有，3，波分裂方法(续21)，37，at，并且因此，连续地，并且连续地at。从等式(7)和(8)中，获得总散射截面(11)和(12)，从中获得相移，即在非常低的粒子能量条件下的波分裂方法(续22)和38。使用时，球侧挡板有(13)、(14)。在这种情况下，代替上述讨论中的(16)，当粒子能量非常低时，(13)变为，(15)，3，波分裂方法(续23)，39和(14)被写成，(16)。这时，由于(16)的替代，得到了被无限高势垒场散射的低能粒子的散射截面等于具有半径的球面面积，这不同于经典情况。在经典情况下，总散射截面是以半径为散射中心的硬球的最大截面面积，这是量子力学计算的结果。分裂波法(续24)，40，4。玻恩近似。分裂波法仅适用于讨论低能粒子的散射问题。当入射粒子的能量很高时，用分裂波法计算散射截面是不合适的。对于高能入射粒子，势能可以看作是微扰，系统的哈密顿算符是粒子的动能(自由粒子的哈密顿量)，其本征函数取用盒子归一化的动量本征函数41，即粒子与散射力场之间的相互作用能。因此，入射粒子流的密度、每单位时间散射到定向立体角中的粒子数，(1)另一方面，由于目标粒子力场的扰动，入射粒子从初始动量状态转变到最终动量状态，即4。玻恩近似(续1)，42，对于弹性散射，动能守恒，单位时间内固体动量角和方向内粒子从初始状态过渡到所有最终状态的概率，即过渡概率，过渡矩阵元素，(2)、(3)和(4)玻恩近似(续2)和(43)是最终状态的数量(密度o矢量的引入，其中散射角是由散射引起的动量变化，因此，(8)，(4)玻恩近似(续4)和(45)，把球面坐标的极轴方向作为方位角，简化了积分，(9)，因此，(10)，这个表达式是玻恩近似表达式。如果势能已知，积分计算后即可得到微分散射截面。因此，在用玻恩近似法计算微分散射截面时，主要困难在于给出具体形式后如何计算积分。玻恩近似(续5)，46，几个常见的和更复杂的势能和相应的积分公式如下。4.玻恩近似(续6)，47。玻恩近似的应用实例，例1，玻恩近似的应用范围：玻恩近似仅适用于粒子的高能散射，它补充了波分裂(适用于低能散射)作为解决散射问题的两种主要方法。计算了高速带电粒子被屏蔽在中性原子内部的库仑场散射，并计算了散射截面。求解：高速带电粒子属于高能粒子，所以，4。玻恩近似(续7)，48。当入射粒子的能量大且散射角大时，(1)、(3)，上述公式可以近似写成，4。玻恩近似(续8)，49，(4)，这个公式叫做卢瑟福散射公式。首先，卢瑟福用经典方法计算库仑散射，没有考虑屏蔽效应。这表明方程(3)是经典力学方法的适用条件。方程(4)表明散射角相对较大，能量相对较大。此时，散射发生在原子核附近，即入射粒子穿透到原子内部，因此原子核外的电子不具有屏蔽效应。当角度很小时，条件(3)不能满足，卢瑟福公式不能成立。此时，需要公式(1)。玻恩近似(续9)，50，例2，求解为一般起见，首先考虑部分波的相移，然后在特殊情况下取部分波的相移。粒子被具有势能的场散射，并计算出S分量波的微分散射截面。根据边界条件，(1)求解径向函数所满足的径向方程，从而得到，4。玻恩近似(续10)，51，以致(2)可以被写，以致(3)可以被再写，(3)，顺序，四。玻恩近似(续11)，52，上面的公式是贝塞尔方程的阶，它的解是，因此，但当时，所以附近，由、(4)，四。玻恩近似(续12)、53、(5)，比较等式(1)和(5)，有四个玻恩近似(续13)和54。S分波的微分散射截面可以通过用该值代替微分散射截面的表达式立即得到。因此，S部分波散射截面，四个玻恩近似(续14)，55，例3，慢粒子被具有势能的场散射，如果，获得散射截面。径向波函数所满足的径向方程，在当时，(1)阶，(2) SOLVE :只需要考虑低能散射的部分波，因为它是慢粒子散射。玻恩近似(续15)，56，将代入上述方程，(3)，并作(4)、(6)、(5)，4。玻恩近似(续16)，57，当被限制时，那么，at和continuous，这两种形式是分开的，所以，4。玻恩近似(续17)，58，总散射截面，(7)，讨论：当粒子的能量，如果粒子的能量很低，4。玻恩近似(续18)，59，如果，那么，在这种情况下，总散射截面等于具有半径的球面面积。它不同于经典案例。在经典情况下，四个玻恩近似(续19)，60，例4只考