典型的混沌系统

典型的混沌系统11.1 一维混沌系统11.1.1 Logistic映射11.1.2 Chebyshev映射21.1.3 Logistic映射与Chebyshev映射21.1.4 概率密度函数PDF的作用31.2二维混沌系统(超混沌系统)31.2.1 Henon映射4典型的混沌系统混沌现象是在非线性动力系统中表现的确定性、类随机的过程，这种过程既非周期又不收敛，并且对于初始值具有敏感的依赖性。按照动力学系统的性质，混沌可以分成四种类型： 时间混沌； 空间混沌； 时空混沌； 功能混沌；1.1 一维混沌系统一个一维离散时间非线性动力学系统定义如下： 其中，xk V ， k=0,1,2,3，我们称之为状态。 而t: VV 是一个映射，将当前状态xk映射到下一个状态xk+1。如果我们从一个初始值x0 开始，反复应用 t ， 就得到一个序列 xk ; k=0,1,2,3.。这一序列称为该离散时间动力系统的一条轨迹。原始的虫口模型方程是（37文）：体现了两代虫子的数量关系。 将此方程推导一下，可以得到如下方程：可以得到第n代虫子和第0代虫子的数量关系。但是，从中不能表现自然的虫子变换关系，因为虫子的增长变化不是恒定的（考虑到很多负面影响，如虫子太多时，由于食物有限和生存空间有限，还由于疾病等多种原因，使得虫口数量减少），所以这个线性模型完全不能反映虫口的变化规律。1.1.1 Logistic映射一类非常简单却被广泛研究的动力系统是logistic映射，它起源于虫口模型。其定义有多种形式。1形式一其中，混沌域为(0,1)，0 m 4 称为分枝参数，xk (0,1)。混沌动力系统的研究工作指出，当3.56994562），它可能出现不稳定的程度越高。不失一般性，二维混沌离散系统有如下形式：其中式中ai （i=1,2,12）式均为待定常系数。采用高维系统产生超混沌，由于系统比低维情况复杂，产生超混沌时序的时间增长，将有可能直接影响保密通讯实时性的要求。因此，如何在系统状态变量个数尽可能少而正性李氏指数又尽可能多的条件下，寻找到非线性形式简单的系统，是十分实际而又有意义的工作。为了寻找简单形式饿二维离散超混沌系统，需要进一步简化：使部分非线性项前面的系数为零，然后通过计算该系统的李氏指数，即有两个或两个以上大于零的李氏指数，可认为该系统是超混沌特性的二维离散系统。通过计算，得到一些形式简单且具有超混沌特性的二维离散系统，如下表：系统序号二维离散方程参数值Lyapunov指数1a 4=1.55 a 5=-1.3a 8=-1.1 a 10=0.10,2380.1662a 5=1.3 a 7=-1.05a 8=1.15 a 10=-0.20.2110.0463a 2=-0.95 a 4=1.55a 7=-0.45 a 9=2.4a 10=1.050.3020.2404a 4=-0.95 a 6=-1.1a 7=0.55 a 8=1.55a 10=-1.80.1750.0651.2.1 Heno