非常全面的《概率论与数理统计》复习材料

概率论与数理统计审核大纲第一章随机事件和概率基本概念随机测试E -指在相同条件下可以重复进行的测试，测试结果有多种可能性(每次测试只有一个结果，所有可能的测试结果都是预先知道的，但每次测试的确切结果无法预测)。样本点w -随机测试的所有可能结果样本空间W -随机测试的所有样本点随机事件样本空间中几个样本点的集合，即随机事件是样本空间的子集。不可避免的事件每次测试中必须发生的事件。不可能的事件在每次测试中不能发生的事件。事件之间的关系包括AB相等A=B相反的事件，也称为逆事件互斥事件AB=也称为不兼容事件A，B相互独立P(AB)=P(A)P(B)例1事件A和事件B彼此相反。事件相当于(d)a，a，b是相互不相容的b，a，b是相互独立的c，a b=d，a，b构成样本空间的一个细分例2如果P(A)=0，B是任何事件，那么(c)A，A=B，AB C，A和B相互独立，A和B相互不相容。事件之间的操作事件AB或AB的交集例1假设事件a和b满足a ,因此(d)不能推导出来甲、乙、丙、甲乙=丁、甲乙=乙例2如果事件b和a满足ba=b，则必须有(b)A、A=B、AB=C、A=D、B=事件的联合AB注：A-B=a=a-ab=(a b)-bA1，A2，安构成一个完整的事件组(或部分排斥)，这意味着A1，A2，两者互不兼容，人工智能=W算法交换定律a b=b a b=b a有约束力的法律(ab)c=ac；(bc)(abc=ac)分布律(abc=(AC)BC(ab)c=(ac)bc)对偶定律=。维恩图事件与集合论对应表标记概率论集合论W样本空间，不可避免的事件全集不可能事件空集w基本事件元素A事件一个完整集合的子集相反的事件a的补语AB事件a的发生导致事件b的发生。a是b的子集。甲=乙事件a等于事件b。a等于b。AB事件A和事件B中至少有一个发生a和b的结合AB事件a与事件b同时发生。a和b的交点A-B事件a发生，但事件b不发生a和b的差集AB=事件A和事件B不兼容(互斥)a和b没有相同的元素。经典概率模型经典概率的前提是w=w1，w2，w3，wn)是有限的正整数，并且每个采样点wi出现的概率相等。例1:将3个球随机放入4个杯子中，并询问事件A1和事件A2的概率，事件A1的杯子中的球数最大，事件A2的杯子中的球数最大。【解决方法】:每个球有4种插入方式，3个球有43种插入方式，所以|W|=43=64。(1)当一个杯子中的球数最多为1时，相当于从4个杯子中取出3个杯子，每个杯子正好有一个球，因此|A1|=C3！=24；那么P(A1)=24/64=3/8。(2)当一个杯子中的球数最多为2时，相当于一个杯子正好有2个球(CC)，另一个杯子正好有1个球(CC)，因此| A2 | A2 |=CCCC=36；那么P(A2)=36/64=9/16实施例2从1，2，9，取这九个数字中的任何三个，并找出：(1)P1概率，这三个数字之和是10；(2)三个数的乘积是21的倍数的概率p2。解决方法: P1=，P2=P(A)=概率的几何模型前提是，如果在某个区域W中取任意一个点，并且取的点落入在W中具有相等度量的任意两个子区域中，则可能性是相同的。如果啊，那么P(A)=实施例1将长度为A的杆任意折叠成三段，并计算它们形成三角形的概率。解决方法:如果三段的折叠长度分别为x、y和a-x-y，则样本空间S=(x，y)|0xa，0ya，0a-x-ya。然而，对应于随机事件A的区域G:“三段形成一个三角形”应该满足两条边的和大于第三条边的原则，以获得联立方程。00)P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)(其中P(A)0，P(B)0)一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)(其中P(AB)0)全概率公式：P(B)=P(B|Ai)P(Ai)，其中a1，a2，w的部分排斥力。贝叶斯公式：P(Ak|B)=申请问题例1让两个独立的事件A、B和C满足以下条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)1/2并且是已知的P(ABC)=9/16，然后P(A)=。解决方案: p(abc)=p(a)p(b)p(c)-(p(ab)p(AC)p(BC)p(ABC)，如果P(A)=x，则3x3 x2=9/16 16 x2-16 x3=0 x=1/4或3/4(省略)，则P(A)=1/4一个射击队有20名射击运动员，包括4名一级射击运动员，8名二级射击运动员，7名三级射击运动员和1名四级射击运动员。一级、二级、三级和四级射手参加正式比赛的概率分别为0.9、0.7、0.5和0.2。请找出任何一名选手能参加正式比赛的可能性。解决方案:设置Ak=选择K级玩家，K=1，2，3，4，b=进入正式比赛。从已知的p (a1)=1/5，p (a2)=2/5，p (a3)=7/20，p(a4)=1/20；P(B|A1)=0.9，P(B|A2)=0.7，P(B|A3)=0.5，P(B|A4)=0.2。P(B)=P(A1)P(B | A1)P(A2)P(B | A2)P(A3)P(B | A3)P(A4)P(B | A4)=1/50.9 2/50.7 7/200.5 1/200.2=0.645例3假设每箱包含0个和1个缺陷项目的概率分别为0.8和0.2，一个项目以每箱20件出售。当顾客购买时，他可以打开箱子，从箱子里取出任何三件物品进行检查。当所有三个项目都合格时，顾客将只购买盒子，否则退货。试着找出：(1)顾客购买盒子a的概率；(2)顾客购买了盒子，并询问盒子中没有次品的概率B。解决方案:将事件A0-0缺陷物品放入盒子，A1-1缺陷物品放入盒子，事件B-购买盒子。通过知道P(A0)=0.8，P(A1)=0.2，P(B|A0)=1，P(B|A1)=19/20 18/19 17/18=17/20，(1)a=P(B)=P(A0)P(B | A0)P(A1)P(B | A1)=0.81 0.27/20=0.97；(2)B=P(A0 | B)=P(A0B)/P(B)=P(A0)P(B | A0)/P(B)=0.8/0.97=0.8247事件的独立性如果事件A和事件B满足P(AB)=P(A)P(B)，则事件A和事件B被称为彼此独立。结论：1 .如果P(A)0，事件A和B是独立的P(B|A)=P(B)2.事件a独立于事件b事件和事件B独立事件和事件独立事件a1，a2，an彼此独立-任何k事件ai1，ai2，aik满足p(ai1ai2aik)=p (ai1) p (ai2).p (aik)，其中k=2，3，n .可靠性部件的可靠性P(A)=r系统可靠性：串联模式p(a1a2an)=rn并联模式p (a1 a2 an)=1-(1-r) n，伯努利型指在相同条件下进行的N次试验。每个测试的结果都是并且只有两种A和；每个测试都是相互独立的。每个测试结果的概率是相同的p (a)=p，p ()=1-p。二项式概率在N个独立测试中，事件A发生K次的概率是b(K；不，p)，那么b(k );n，p)=Cpk(1-p)n-k (k=0，1，2，3，n).第二章随机变量和概率分布随机变量的分布函数分配函数的定义：F(x)=Pxx，-a=1-F(a)，Pxa=1-F(a-0)，例1。如果随机变量x的分布函数是F(x)=那么Pxp/4=(选择c是因为Pxp/4=F(p/4)=sinp/4)甲、乙0、丙1/2、丁2、丁1例2。假设随机变量x1和x2的分布函数分别是F1(x)和F2