大学文科数学张国楚定积分PPT课件

.,1,第六章定积分,求总量的问题,.,2,（一）教学目标,教学目标：要求学生掌握定积分的概念、微积分基本定理、非正常积分、定积分的应用；要求理解定积分的概念，会求定积分与非正常，能利用定积分解决一些几何问题；理解李善兰对我国近代数学发展所起的作用。,.,3,（二）教学重点,教学重点：定积分的概念和性质、微积分基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法、定积分在几何学中的应用。,.,4,（三）教学难点、教学时数,教学难点：定积分的概念、定积分的换元积分法和分部积分法、非正常积分、微元法、定积分在几何学中的应用。教学时数：本章总教学时数为10学时。,.,5,（四）教学内容,1特殊和式的极限定积分的概念2计算定积分的一般方法微积分基本定理3定积分的拓展非正常积分4定积分的魅力显示在若干学科中的应用数学家启示录,.,6,1.1抽象定积分概念的两个现实原型,原型求曲边梯形的面积设f(x)为闭区间a,b上的连续函数，且f(x)0.由曲线y=f(x),直线x=a、x=b以及x轴所围成的平面图形(图6.1)称为f(x)在a,b上的曲边梯形的面积s.,.,7,设质点m受力F的作用沿x轴由点a移动至点b,并设F平行于x轴(图6.2).,如果F是常量,则它对质点所作的功为W=F(b-a)如果力F不是常量,而是质点所在位置x的连续函数那么F对质点m所作的功W应如何计算呢?我们仍按求曲边梯形面积的思想方法来进行.,原型求变力所作的功,.,8,定义设f(x)是定义在区间a,b上的有界函数,用点将区间a,b任意分割成n个子区间xi-1,xi(i=1,2,n)这些子区间及其长度均记作xi=xi-xi-1(i=1,2,n).在每个子区间xi上任取一点,作n个乘积f()xi的和式,如果当,同时最大子区间的长度时,和式的极限存在,并且其极限与区间a,b的分割法以及的取法无关,则该极限值称为函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作即,1.2定积分的概念,.,9,在连续变力F(x)作用下,质点m沿x轴从点a位移到点b所作的功为F(x)在a,b上的定积分,即,定积分存在称为可积,否则称为不可积.,原型和的问题可以简洁地表述为:,连续曲线y=f(x)0在a,b上构成的曲边梯形的面积为函数y=f(x)在a,b上的定积分,即,.,10,定积分的几何意义,当f（x）0时，定积分的几何意义就是以曲线y=f（x），直线x=a、x=b以及x轴为边的曲边梯形的面积S；但若f（x）0，由定积分的意义可知，这时S为负值。对于一般函数f（x）而言，定积分S的值则是曲线在x轴上方部分的正面积与下方部分的负面积的代数和。,如图6.3所示,.,11,1.3求定积分过程中的辨证思维,无论是求曲边梯形的面积,还是求变力作功,初等数学都无法解决,而高等数学可迎刃而解.定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、变与不变等矛盾的对立双方相互转化，从而化未知为已知，体现了对立统一法则。同时也体现了否定之否定法则。,.,12,1.4可积条件,定理1（可积的必要条件）若函数f（x）在a，b上可积，则f（x）在a，b上有界。定理2（可积的充分条件）若f（x）是闭区间a，b上的连续函数，或者是闭区间a，b上的单调函数，或者是a，b上只有有限个间断点的有界函数，则f（x）在a，b上可积。,.,13,定理3（对积分区间的可加性）有界函数f（x）在a，c、c，b上都可积的充要条件是f（x）在a，b上可积，且,定理2若f（x）、g（x）在a，b上可积，则f（x）g（x）在a，b上也可积，且,定理1若f（x）在a，b上可积，k为常数，则kf（x）在a，b上也可积，且,1.5定积分的性质,.,14,定理5（有界性）设m，M分别是f（x）在a，b上的最小值和最大值。若f（x）在a，b上可积，则,定理4（保序性）设f（x）与g（x）为定义在a，b上的两个可积函数。若f（x）g（x）,则,.,15,定理6（定积分的绝对值不等式）若f（x）在a，b上可积，则在a，b上也可积，且,定理7（积分中值定理）若函数f（x）在a，b上连续，则在a，b上至少存在一点，使得,.,16,作业必作题：用定积分的定义计算选作题：习题6第一题。思考题定积分的定义中主要体现的数学思想是什么？,.,17,定理1若函数f（x）在a，b上连续，则由变上限定积分定义的函数在a，b上可导，且,2.1微积分基本定理,即函数是被积函数f（x）在a，b上的一个原函数。,.,18,也是f(x)的一个原函数,而这两个原函数之差为某个常数，所以,证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据定理1，,在上式中令x=b，就得到所要证明的公式,得C=F(a).于是,定理2设f(x)在a,b上连续,若F(x)是f(x)在a,b上的一个原函数，则,(6.7),公式(6.7)称为牛顿莱布尼茨公式,若令x=a，则因,.,19,由于是的一个原函数,应用公式(6.7)有,例1计算,解,.,20,2.1定积分的换元积分法和分部积分法,定理1（定积分换元积分法）若函数f(x)在a,b上连续，函数满足下列条件：,（2）在上有连续导数则有定积分换元公式,（1）,.,21,x=asint，t0，则dx=acostdt当t从0变到时，x从0递增到a，故取应用公式（6.8）,并注意到在第一象限中cost0,则有,例2计算,解令,.,22,解令u=sint,则du=costdt.当t由0变到时,u从0递增到1.应用换元公式(6.8)有,例3计算,.,23,定理2（定积分分部积分法）若u，v是a，b上具有连续导数的函数，则,.,24,例5计算,例4计算,解,解,.,25,作业必作题习题6第二题、第四题、第五题。选作题习题6第三题。思考题1、定积分的换元积分法中应注意的事项？2、微积分的基本定理主要解决了定积分的什么问题？,.,26,定义：设函数f(x)定义在无穷区间a,+上，且在任何有限区间a，A上可积，如果存在极限则称此极限J为函数f（x）在a,+上的无穷限反常积分，简称无穷限积分，记作J=,3定积分的拓展非正常积分,并称收敛。如果极限不存在,则称无穷限积分发散.,.,27,无穷限积分的几何意义,若f(x)0,则无穷限积分收敛的几何意义是,图(6.7)中介于曲线y=f(x)、直线x=a及x轴之间向右无限延伸的阴影区域有面积,并以极限的值作为它的面积.,.,28,解任取实数a,讨论如下两个无穷限积分：,例讨论积分,由于,因此,该积分收敛,且,与,的敛散性,.,29,作业选作题习题六第六题。思考题检查下面计算过程对不对？为什么？请给出正确解法。,.,30,4.1微元法,定积分的所有问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤把所求量表示为定积分的形式。但为简洁求实用，常常简化为“微元法”。,.,31,并且f（x）dx就是总量Q的微元（即Q的微分）dQ，即dQ（x）=f（x）dx其次，把总量Q的微元dQ（x）=f（x）dx在区间a，b上求和，写出定积分，即求得所求的总量Q，即,上述求总量Q的方法称为微元法。,.,32,4.2在几何学中的应用,平面图形的面积由截面面积求立体体积,.,33,平面图形的面积,一般地，求由两条连续曲线y=f（x）（x0）及直线x=a，x=b（ab）所围成的平面图形的面积，如图（图6.8）所示,可在区间a，b内任取两点x，x+dx,作出图中的阴影矩形,则面积微元为,于是所求面积为,.,34,例1求由正弦曲线y=sinx与直线x=0，y=0及x=所围成图形的面积.,首先画草图(图6.9),解,其面积为,.,35,例2求抛物线与直线x-2y-3=0所围的平面图形的面积.,求出抛物线与直线的交点P（1，-10与Q（9，3）,把平面图形分成两部分,解,首先画草图(图6.10),则有,于是,.,36,由截面面积求立体体积,设为一空间立体,它夹在垂直于x轴的两平面x=a及x=b之间（ab）(图6.11),求其体积V.现用微元法导出由截面面积函数求空间立体体积的公式.,在a，b内任取相邻两点x与x+dx,过这两点分别作垂直于x轴的平面,则从上截出一薄片.设x处截面面积函数为A(x),由于A(x)的连续性,当dx很小时,以底面积为A(x),高为dx的薄柱体体积就是体积微元dV=A（x）dx.,.,37,它是薄片的体积V的近似值,即VdV=A(x)dx,从而有,.,38,例3求椭圆绕x轴旋转一周所形成的椭球的体积V.,解,由椭圆方程,则,得,当a=b=R时,得半径为R的球体体积公式,.,39,4.3在物理学中的应用变力作功,设物体在变力y=f(x)作用下,沿x轴正向从点a移动到点b,求它所作的功W.在a,b上任取相邻两点x和x+dx,则力f(x)所作的微功为dW=f(x)dx,于是得,.,40,例4根据虎克定律,弹簧的弹力与形变的长度成正比.已知汽车车厢下的减震弹簧压缩1cm需力14000N,求弹簧压缩2cm时所作的功.,解由题意,弹簧的弹力为f（x）=kx(k为比例常数),当x=0.01m时,f(0.01)=k0.01=1.410000N,由此知k=14000000,故弹力为f(x)=1400000 x.,于是,即弹簧压缩2cm时所作的功为280J.,.,41,作业必作题习题六第七题、第八题第一小题。选作题第八题第二小题。思考题微元法体现的辨证思想方法是什么？,.,42,微积分学在中国的最早传播人李善兰,李善兰（18111882）是我国清代数学家，原名心兰，字壬叔，号秋纫，浙江海宁县硖石镇人.他曾任苏州府幕僚,1868年被清政府谕召到北京认同文馆数学教授,执教13年.李善兰对尖锥求积术、三角函数与对数的幂级数展开式、高阶等差级数求和等都有突出的研究；在素数论方面也有杰出成就，提出了判别素数的重要法则。他对有关二项式定理系数的恒等式也进行了深入研究，曾取各家级数论之长，归纳出以他的名字命名的“李善兰恒等式”。,.,43,李善兰一生著作颇丰，主要论著有方圆阐幽、弧矢启秘、对数探源、垛积比类、四元解、麟德术解、椭圆正术解、椭圆新术、椭圆拾遗、火器真诀、对数尖锥变法释、级数回求和天算或问等。,.,44,李善兰不仅在数学研究上有很深造诣，而且在代数学、微积分学的传播上作出了不朽的贡献。1852年至1859年间，他与英国传教士伟烈亚力合作翻译出版了三部著作：几何原本后9卷，英国数学家德摩根代数拾级18卷、谈天18卷。与英人艾约瑟合作翻译了圆锥曲线说3