苏科版九年级下第五章《二次函数》解答题专题训练(一)含答案

二次函数解答题专题训练（ 1） 1如图，已知抛物线 y= x2+ 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为（ 3， 0） （ 1）求 m 的值及抛物线的顶点坐标 （ 2）点 P 是抛物线对称轴 l 上的一个动点，当 C 的值最小时，求点 P 的坐标 2某班 “数学兴趣小组 ”对函数 y=2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整 （ 1）自变量 x 的取值范围是全体实数， x 与 y 的几组对应值列表如下： x 3 2 1 0 1 2 3 y 3 m 1 0 1 0 3 其中， m= 24 （ 2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分 w （ 3）观察函数图象，写出两条函数的性质 t （ 4）进一步探究函数图象发现： h 函数图象与 x 轴有 个交点，所以对应的方程 2|x|=0 有 个实数根； Y 方程 2|x|=2 有 个实数根； 6 关于 x 的方程 2|x|=a 有 4 个实数根时， a 的取值范围是 O 3我们规定：若 =（ a， b）， =（ c， d），则 =ac+ =（ 1， 2）， =（ 3， 5），则 =1 3+2 5=13 5 （ 1）已知 =（ 2， 4）， =（ 2， 3），求 ； I （ 2）已知 =（ x a， 1）， =（ x a， x+1），求 y= ，问 y= 的函数图象与一次函数y=x 1 的图象是否相交，请说明理由 a 4如图，已知点 A（ 0， 2）， B（ 2， 2）， C（ 1， 2），抛物线 F： y=2mx+2 与直线 x= 2 交于点 P h （ 1）当抛物线 F 经过点 C 时，求它的表达式； P （ 2）设点 P 的纵坐标为 最小值，此时抛物线 F 上有两点（ （ 且 2，比较 大小； 6 （ 3）当抛物线 F 与线段 公共点时，直接写出 m 的取值范围 y 5已知抛物线 y= x2+bx+c 与直线 y= 4x+m 相交于第一象限不同的两点， A（ 5， n）， B（ e， f） 6 （ 1）若点 B 的坐标为（ 3， 9），求此抛物线的解析式； 8 （ 2）将此抛物线平移，设平移后的抛物线为 y= x2+px+q，过点 A 与点（ 1， 2），且 m q=25，在平移过程中，若抛物线 y= x2+bx+c 向下平移了 S（ S 0）个单位长度，求 S 的取值范围 Z 6在平面直角坐标系 ，抛物线 y= 过 B（ 2， 6）， C（ 2， 2）两点 k （ 1）试求抛物线的解析式； 4 （ 2）记抛物线顶点为 D，求 面积； 0 （ 3）若直线 y= x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 括端点 B、 C）部分有两个交点，求 b 的取值范围 A 7如图 1，抛物线 y=b 的顶点坐标为（ 0， 1），且经过点 A（ 2， 0） f （ 1）求抛物线的解析式； A （ 2）若将抛物线 y=b 中在 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方， x 轴上方的图象保持不变，就得到了函数 y=|b|图象上的任意一点，直线 l 是经过（ 0， 1）且平行与 x 轴的直线，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 D，猜想并探究： 差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由 = （注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料） = 附阅读材料： 1在平面直角坐标系中，若 A、 B 两点的坐标分别为 A（ B（ 则 A， ，这个公式叫两点间距离公式 例如：已知 A， B 两点的坐标分别为（ 1， 2），（ 2， 2），则 A， B 两点间的距离为| =5 2 因式分解 ： x2+2 8如图，二次函数 y=图象经过点 A（ 2， 4）与 B（ 6， 0） （ 1）求 a， b 的值； （ 2）点 C 是该二次函数图象上 A， B 两点之间的一动点，横坐标为 x（ 2 x 6），写出四边形 面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值 9如图，抛物线 y= 与 x 轴仅有一个公共点 A，经过点 A 的直线交该抛物线于点B，交 y 轴于点 C，且点 C 是线段 中点 （ 1）求这条抛物线对应的函数解析式； （ 2）求直线 应的函数解析 式 10已知二次函数 y=2ax+c（ a 0）的图象与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，它的顶点为 P，直线 过点 B 且垂直于 x 轴的直线交于点 D，且： 3 （ 1）求 A、 B 两点的坐标； （ 2）若 ，求这个二次函数的关系式 11如图，抛物线 y=3x+ 与 x 轴相交于 A、 B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 D 是直线方抛物线上一点，过点 D 作 y 轴的平行线，与直线 交于点 E （ 1）求直线 解析式； （ 2）当线段 长度最大时，求点 D 的坐 标 12在平面直角坐标系 ，抛物线 y=2mx+m 1（ m 0）与 x 轴的交点为 A， B （ 1）求抛物线的顶点坐标； （ 2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点 当 m=1 时，求线段 整点的个数； 若抛物线在点 A， B 之间的部分与线段 围成的区域内（包括边界）恰有 6 个整点，结合函数的图象，求 m 的取值范围 13如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+bx+c 经过点（ 1， 8）并与 x 轴交于点 A，B 两点，且点 B 坐标为（ 3， 0） （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）若抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为点 P，求 面积 注：抛物线 y=bx+c（ a 0）的顶点坐标是（， ） 14已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 y 轴交于点 C（ 0， 6），与 x 轴的一个交点坐标是A（ 2， 0） （ 1）求二次函数的解析式，并写出顶点 D 的坐标； （ 2）将二次函数的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度，当 y 0 时，求 x 的取值范围 15如图，二次函数 y=（ x+2） 2+m 的图象与 y 轴交于点 C，点 B 在抛物线上，且与点 C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点 A（ 1，0）及点 B （ 1）求二次函数与一次函数的解析式； （ 2）根据图象，写出满足（ x+2） 2+m kx+b 的 x 的取值范围 16九年级（ 3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第 x 天（ 1 x 90，且 售价与销售量的相关信息如下已知商品的进价为 30 元 /件，设该商品的售价为y（单位：元 /件），每天的销售量为 p（单位：件），每天的销售利润为 w（单位：元） 时间 x（天） 1 30 60 90 每天销售量 p（件） 198 140 80 20 （ 1）求出 w 与 x 的函数关系式； （ 2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润； （ 3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于 5600 元？请直接写出结果 17自主学习，请阅读下列解题过程 解一元二次不等式： 5x 0 解：设 5x=0，解得： ， ，则抛物线 y=5x 与 x 轴的交点坐标为（ 0， 0）和（ 5， 0）画出二次函数 y=5x 的大致图象（如图所示），由图象可知：当 x 0，或 x 5时函数图象位于 x 轴上方，此时 y 0，即 5x 0，所以，一元二次不等式 5x 0 的解集为： x 0，或 x 5 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （ 1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 （只填序号） 转化思想 分类讨论思想 数形结合思想 （ 2）一元二次不等式 5x 0 的解集为 （ 3）用类似的方法解一元二次不等式： 2x 3 0 18某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过 30 人时，人均收费 120 元；超过 30人且不超过 m（ 30 m 100）人时，每增加 1 人，人均收费降低 1 元；超过 m 人时，人 均收费都按照 m 人时的标准设景点接待有 x 名游客的某团队，收取总费用为 y 元 （ 1）求 y 关于 x 的函数表达式； （ 2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求 m 的取值范围 19某果园有 100 颗橙子树，平均每颗树结 600 个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子，假设果园多种了 x 棵橙子 树 （ 1）直接写出平均每棵树结的橙子个数 y（个）与 x 之间的关系； （ 2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？ 20某网店销售某款童装，每件售价 60 元，每星期可卖 300 件，为了促销，该网店决定降价销售市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖 30 件已知该款童装每件成本价 40元，设该款童装每件售价 x 元，每星期的销售量为 y 件 （ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （ 2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ （ 3）若该网店每星期想要获得不低于 6480 元的利润，每星 期至少要销售该款童装多少件？ 21 2016 年 3 月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为 10 元，当售价每个为 12 元时，销售量为 180 个，若售价每提高 1元，销售量就会减少 10 个，请回答以下问题： （ 1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量 y（个）与售价 x（元）之间的函数关系（ 12 x 30）； （ 2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得 840 元利润，售价应定为多少？ （ 3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？ 22草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水 果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克 20 元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克 40 元，经试销发现，销售量 y（千克）与销售单价 x（元）符合一次函数关系，如图是 y 与 x 的函数关系图象 （ 1）求 y 与 x 的函数解析式（也称关系式）； （ 2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为 W 元，求 W 的最大值 23如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用 y=a 0）表示已知抛物线上 B， C 两点到地面的距离均为 m，到墙边似的距离分别为 m， m （ 1）求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离； （ 2）若该墙的长度为 10m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？ 24科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园 如图所示，图中点的横坐标 x 表示科技馆从 8： 30 开门后经过的时间（分钟），纵坐标 y 表示到达科技馆的总人数图中曲线对应的函数解析式为 y= ，10： 00 之后来的游客较少可忽略不计 （ 1）请写出图中曲线对应的函数解析式； （ 2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过 684 人，后来的人在馆外休息区等待从 10： 30 开始到 12： 00 馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆 4 人，直到馆内人数减少到 624 人时，馆外等待的游客可全部进入请问馆外游客最多等待多少分钟？ 25某进口专营店销售一种 “特产 ”，其成本价是 20 元 /千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克 /天）与售价 x（元 /千克）的关系，如图所示 （ 1）试求出 y 与 x 之间的一个函数关系式； （ 2）利用（ 1）的结论： 求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润 进口产品检验、运输等过程需耗时 5 天，该 “特产 ”最长的保存期为一个月（ 30 天），若售价不低于 30 元 /千克， 则一次进货最多只能多少千克？ 26凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价 12 元，售价 20 元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买 10 只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价 ，例如：某人买 18 只计算器，于是每只降价 （ 18 10） =），因此所买的 18 只计算器都按每只 的价格购买，但是每只计算器的最低售价为 16 元 （ 1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？ （ 2）求写出该文具店一次销售 x（ x 10）只时，所获利润 y（元）与 x（只）之间的函数关系式，并写出自变 量 x 的取值范围； （ 3）一天，甲顾客购买了 46 只，乙顾客购买了 50 只，店主发现卖 46 只赚的钱反而比卖50 只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当 10 x 50 时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？ 27某文具店购进一批纪念册，每本进价为 20 元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于 20 元且不高于 28 元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本）与每本纪念册的售价 x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为 22 元时，销售量为 36 本；当销售单价为 24 元时，销售量为 32 本 （ 1）请直 接写出 y 与 x 的函数关系式； （ 2）当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （ 3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 28某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销 x 件已知产销两种产品的有关信息如表： 产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件） 甲 6 a 20 200 乙 20 10 40+0 其中 a 为常数，且 3 a 5 （ 1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为 元、 元，直接写出 x 的函数关系式； （ 2）分别求出产销两种产品的最大年利润； （ 3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由 29某宾馆拥有客房 100 间，经营中发现：每天入住的客房数 y（间）与其价格 x（元）（ 180 x 300）满足一次函数关系，部分对应值如表： x（元） 180 260 280 300 y（间） 100 60 50 40 （ 1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （ 2）已知每间入 住的客房，宾馆每日需支出各种费用 100 元；每日空置的客房需支出各种费用 60 元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值（宾馆当日利润 =当日房费收入当日支出） 30小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度 v（ m/s）与时间 t（ s）的关系如图 1 中的实线所示，行驶路程 s（ m）与时间 t（ s）的关系如图 2 所示，在加速过程中， s 与 t 满足表达式 s= 1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求 a 的值； （ 2）求图 2 中 A 点的纵坐标 h，并说明它的实际意义； （ 3）爸爸在乙处等代理 7 秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度 v（ m/s）与时间 t（ s）的关系如图 1 中的折线 O B C 所示，行驶路程 s（ m）与时间 t（ s）的关系也满足 s=她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度 31有一家苗圃计划植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润 元）与投资成本 x（万元）满足如图 所示的二次函数 y1=植柏树的利润 元）与投资成本 x（万元）满足如图 所示的正比例函数 y2= （ 1）分别求出利润 元）和利润 元）关于投资成本 x（万元）的函数关系式； （ 2）如果这家苗圃以 10 万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于 2 万元且不高于 8 万元，苗圃至少获得多少利润？最多能获得多少利润？ 32课本中有一个例题： 有一个窗户形状如图 1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为 6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 ，透光面积最大值约为 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图 2，材料总长仍为6m，利用图 3，解答下列问题： （ 1）若 1m，求此时窗户的透光面积？ （ 2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明 33旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金 x（元）是 5 的倍数发现每天的营运规律如下：当 x 不超过 100 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时，每辆车的日租金每增加 5 元，租出 去的观光车就会减少 1 辆已知所有观光车每天的管理费是 1100 元 （ 1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入 =租车收入管理费） （ 2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 34已知，点 M 是二次函数 y=a 0）图象上的一点，点 F 的坐标为（ 0， ），直角坐标系中的坐标原点 O 与点 M， F 在同一个圆上，圆心 Q 的纵坐标为 （ 1）求 a 的值； （ 2）当 O， Q， M 三点在同一条直线上时，求点 M 和点 Q 的坐标； （ 3）当点 M 在第一象限时，过点 M 作 x 轴，垂足为点 N，求证： N+ 35某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间定价 120 元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用，设每个房间定价增加 10x 元（ x 为整数） （ 1）直接写出每天游客居住的房间数量 y 与 x 的函数关系式 （ 2）设宾馆每天的利润为 W 元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？ （ 3）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息： 当日所获利润不 低于 5000 元，宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过 600 元， 每个房间刚好住满 2 人问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？ 36某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出据市场调查，若按每个玩具 280 元销售时，每月可销售 300 个若销售单价每降低 1元，每月可多售出 2 个据统计，每个玩具的固定成本 Q（元）与月产销量 y（个）满足如下关系： 月产销量 y（个） 160 200 240 300 每个玩具的固定成本 Q（元） 60 48 40 32 （ 1）写出月产销量 y（个）与销售单价 x （元）之间的函数关系式； （ 2）求每个玩具的固定成本 Q（元）与月产销量 y（个）之间的函数关系式； （ 3）若每个玩具的固定成本为 30 元，则它占销售单价的几分之几？ （ 4）若该厂这种玩具的月产销量不超过 400 个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？ 37某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30 米的篱笆围成，已知墙长为 18 米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 （ 1）若苗圃园的面积为 72 平方米，求 x； （ 2）若平行与墙的一边长不小于 8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； （ 3）当这个苗圃园的面积不小于 100 平方米时，直接写出 x 的取值范围 38天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在 19 天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只 4 元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第 x 天生产的粽子数量为 y 只， y 与 x 满足如下关系： y= （ 1）李红第几天生产的粽子数量为 260 只？ （ 2）如图，设第 x 天生产的每只粽子的成本是 p 元， p 与 x 之间的关系可用图 中的函数图象来刻画，若李红第 x 天创造的利润为 w 元，求 w 与 x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润 =出厂价成本） 39如图 1，地面 两根等长立柱 间悬挂一根近似成抛物线 y= x+3的绳子 （ 1）求绳子最低点离地面的距离； （ 2）因实际需要，在离 3 米的位置处用一根立柱 起绳子（如图 2），使左边抛物线 最低点距 1 米，离地面 ，求 长； （ 3）将立柱 长度提升为 3 米，通过调整 位置，使抛物线 应函数的二次项系数 始终为 ，设 距离为 m，抛物线 顶点离地面距离为 k，当 2 k，求 m 的取值范围 40某公司研发了一款成本为 60 元的保温饭盒，投放市场进行试销售，按物价部门规定，其销售单价不低于成本，但销售利润不高于 65%，市场调研发现，保温饭盒每天的销售数量 y（个）与销售单价 x（元）满足一次函数关系；当销售单价为 70 元时，销售数量为 160个；当销售单价为 80 元时，销售数量为 140 个（利润率 = ） （ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （ 2）当销售单价定为多少元时，公司每天获得利润最大，最大利润为多少元 ？ 41东坡商贸公司购进某种水果的成本为 20 元 /过市场调研发现，这种水果在未来 48天的销售单价 p（元 /时间 t（天）之间的函数关系式为p= ，且其日销售量 y（ 时间 t（天）的关系如表： 时间 t（天） 1 3 6 10 20 40 日销售量 y（ 118 114 108 100 80 40 （ 1）已知 y 与 t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第 30 天的日销售量是多少？ （ 2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （ 3）在实际销售的前 24 天中，公司决定每销售 1果就捐赠 n 元利润（ n 9）给 “精准扶贫 ”对象现发现：在前 24 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大，求 n 的取值范围 42襄阳市某企业积极响应政府 “创新发展 ”的号召，研发了一种新产品已知研发、生产这种产品的成本为 30 元 /件，且年销售量 y（万件）关于售价 x（元 /件）的函数解析式为：y= （ 1）若企业销售该产品获得的年利润为 W（万元），请直接写出年利润 W（万元）关于售价 x（元 /件）的函数解析式； （ 2）当该产品的售价 x（元 /件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多 少？ （ 3）若企业销售该产品的年利润不少于 750 万元，试确定该产品的售价 x（元 /件）的取值范围 43为备战 2016 年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度 18 米，位于球场中线处球网的高度 ，一队员站在点 O 处发球，排球从点 O 的正上方 的 C 点向正前方飞出，当排球运行至离点 O 的水平距离 7米时，到达最高点 G 建立如图所示的平面直角坐标系 （ 1）当球上升的最大高度为 时，求排球飞行的高度 y（单位：米）与水平距离 x（单位：米）的函数关系式（不要 求写自变量 x 的取值范围） （ 2）在（ 1）的条件下，对方距球网 的点 F 处有一队员，他起跳后的最大高度为 这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明 （ 3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度 h 的取值范围是多少？（排球压线属于没出界） 44如图 1，在平面直角坐标系 ，抛物线 y= 经过点 A（ 4， 3），顶点为点 B，点 P 为抛物线上的一个动点， l 是过点（ 0， 2）且垂直于 y 轴的直线，过 P 作 l，垂足为 H，连接 （ 1）求抛物线的解析式，并写出其顶点 B 的坐标； （ 2） 当 P 点运动到 A 点处时，计算： ， ，由此发现， “ ”、“ ”或 “=”）； 当 P 点在抛物线上运动时，猜想 什么数量关系，并证明你的猜想； （ 3）如图 2，设点 C（ 1， 2），问是否存在点 P，使得以 P， O， H 为顶点的三角形与 似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 45在平面直角坐标系中，平行四边形 图放置，点 A、 C 的坐标分别是（ 0， 4）、（ 1， 0），将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90，得到平行四边形 AB （ 1）若抛物线经过点 C、 A、 A，求此抛物线的解析式； （ 2）点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 M 在何处时， 面积最大？最大面积是多少？并求出此时 M 的坐标； （ 3）若 P 为抛物线上一动点， N 为 x 轴上的一动点，点 Q 坐标为（ 1， 0），当 P、 N、 B、Q 构成平行四边形时，求点 P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 N 的坐标 46如图，抛物线 y=bx+c 的图象经过点 A（ 2， 0），点 B（ 4， 0），点 D（ 2， 4），与y 轴交于点 C，作直线 接 （ 1）求抛物线的函数表达式； （ 2） E 是抛物线上的点，求满足 点 E 的坐标； （ 3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 ，点 P 为第一象限内抛物线上一点，若以点 C， M， N， P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长 47如图，已知抛物线 y=bx+c（ a 0）经过 A（ 3， 0）、 B（ 5， 0）、 C（ 0， 5）三点，O 为坐标原点 （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）若把抛物线 y=bx+c（ a 0）向下平移 个单位长度，再向右平移 n（ n 0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点 M 在 ，求 n 的取值范围 ； （ 3）设点 P 在 y 轴上，且满足 长 48如图，已知二次函数 y1=（ 2， 4），（ 4， 4）两点 （ 1）求二次函数 解析式； （ 2）将 x 轴翻折，再向右平移 2 个单位，得到抛物线 线 y=m（ m 0）交 M、 N 两点，求线段 长度（用含 m 的代数式表示）； （ 3）在（ 2）的条件下， 于 A、 B 两点，如果直线 y=m 与 图象形成的封闭曲线交于 C、 D 两点（ C 在左侧），直线 y= m 与 图象形成的封闭曲线交于 E、F 两 点（ E 在左侧），求证：四边形 平行四边形 49已知， m， n 是一元二次方程 x+3=0 的两个实数根，且 |m| |n|，抛物线 y=x2+bx+（ m， 0）， B（ 0， n），如图所示 （ 1）求这个抛物线的解析式； （ 2）设（ 1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 C，抛物线的顶点为 D，试求出点 C， D 的坐标，并判断 形状； （ 3）点 P 是直线 的一个动点（点 P 不与点 B 和点 C 重合），过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，点 Q 在直线 ，距离点 P 为 个单位长度，设点 P 的横坐标为 t， 面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式 40如图，已知抛物线 y=x2+直线 y=2x+4 交于 A（ a， 8）、 B 两点，点 P 是抛物线上 A、B 之间的一个动点，过点 P 分别作 x 轴、 y 轴的平行线与直线 于点 C 和点 E （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）若 C 为 点，求 长； （ 3）如图，以 边构造矩形 点 D 的坐标为（ m， n），请求出 m， n 之间的关系式 参考答案与 解析 1（ 2016宁波）如图，已知抛物线 y= x2+ 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴 交于点 C，点 B 的坐标为（ 3， 0） （ 1）求 m 的值及抛物线的顶点坐标 （ 2）点 P 是抛物线对称轴 l 上的一个动点，当 C 的值最小时，求点 P 的坐标 【分析】 （ 1）首先把点 B 的坐标为（ 3， 0）代入抛物线 y= x2+，利用待定系数法即可求得 m 的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （ 2）首先连接 抛物线对称轴 l 于点 P，则此时 C 的值最小，然后利用待定系数法求得直线 解析式，继而求得答案 【解答】 解：（ 1）把点 B 的坐标为（ 3， 0）代入抛物线 y= x2+ 得： 0= 32+3m+3， 解 得： m=2， y= x+3=（ x 1） 2+4， 顶点坐标为：（ 1， 4） （ 2）连接 抛物线对称轴 l 于点 P，则此时 C 的值最小， 设直线 解析式为： y=kx+b， 点 C（ 0， 3），点 B（ 3， 0）， ， 解得： ， 直线 解析式为： y= x+3， 当 x=1 时， y= 1+3=2， 当 C 的值最小时，点 P 的坐标为：（ 1， 2） 【点评】 此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题注意找到点P 的位置是解此题的关键 2（ 2016河南）某 班 “数学兴趣小组 ”对函数 y=2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整 （ 1）自变量 x 的取值范围是全体实数， x 与 y 的几组对应值列表如下： x 3 2 1 0 1 2 3 y 3 m 1 0 1 0 3 其中， m= 0 （ 2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分 （ 3）观察函数图象，写出两条函数的性质 （ 4）进一步探究函数图象发现： 函数图象与 x 轴有 3 个交点，所以 对应的方程 2|x|=0 有 3 个实数根； 方程 2|x|=2 有 2 个实数根； 关于 x 的方程 2|x|=a 有 4 个实数根时， a 的取值范围是 1 a 0 【分析】 （ 1）把 x= 2 代入函数解释式即可得 m 的值； （ 2）描点、连线即可得到函数的图象； （ 3）根据函数图象得到函数 y=2|x|的图象关于 y 轴对称；当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大； （ 4） 根据函数图象与 x 轴的交点个数，即可得到结论； 如图，根据 y=2|x|的图象与直线 y=2 的交点个数，即可得到结论； 根据函数的图象即 可得到 a 的取值范围是 1 a 0 【解答】 解：（ 1）把 x= 2 代入 y=2|x|得 y=0， 即 m=0， 故答案为： 0； （ 2）如图所示； （ 3）由函数图象知： 函数 y=2|x|的图象关于 y 轴对称； 当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大； （ 4） 由函数图象知：函数图象与 x 轴有 3 个交点，所以对应的方程 2|x|=0 有 3 个实数根； 如图， y=2|x|的图象与直线 y=2 有两个交点， 2|x|=2 有 2 个实数根； 由函数图象知： 关于 x 的方程 2|x|=a 有 4 个实数根， a 的取值范 围是 1 a 0， 故答案为： 3， 3， 2， 1 a 0 【点评】 本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键 3（ 2016雅安）我们规定：若 =（ a， b）， =（ c， d），则 =ac+ =（ 1， 2）， =（ 3， 5），则 =1 3+2 5=13 （ 1）已知 =（ 2， 4）， =（ 2， 3），求 ； （ 2）已知 =（ x a， 1）， =（ x a， x+1），求 y= ，问 y= 的函数图象与一次函数y=x 1 的图象是否相交，请说明理由 【分析】 （ 1）直接利用 =（ a， b）， =（ c， d），则 =ac+而得出答案； （ 2）利用已知的出 y 与 x 之间的函数关系式，再联立方程，结合根的判别式求出答案 【解答】 解：（ 1） =（ 2， 4）， =（ 2， 3）， =2 2+4 （ 3） = 8； （ 2） =（ x a， 1）， =（ x a， x+1）， y= =（ x a） 2+（ x+1） = 2a 1） x+ y= 2a 1） x+ 联立方程： 2a 1） x+=x 1， 化简得： 2ax+=0， =4 8 0， 方程无实数根，两函数图象无交点 【点评】 此题主要考查了根的判别式以及新定义，正确得出 y 与 x 之间的函数关系式是解题关键 4（ 2016三明）如图，已知点 A（ 0， 2）， B（ 2， 2）， C（ 1， 2），抛物线 F： y=mx+2 与直线 x= 2 交于点 P （ 1）当抛物线 F 经过点 C 时，求它的表达式； （ 2）设点 P 的纵坐标为 最小值，此时抛物线 F 上有两点（ （ 且 2，比较 大小； （ 3）当抛物线 F 与线段 公共点时，直接写出 m 的取值范围 【分析】 （ 1）根据抛物线 F： y=2mx+2 过点 C（ 1， 2），可以求得抛物线 F 的表达式； （ 2）根据题意，可以求得 最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较 大小； （ 3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题 【解答】 解：（ 1） 抛物线 F 经过点 C（ 1， 2）， 2=（ 1） 2 2 m （ 1） +2， 解得， m= 1， 抛物线 F 的表达式是： y=x 1； （ 2）当 x= 2 时， +4m+2=（ m+2） 2 2， 当 m= 2 时， 最小值 2， 此时抛物线 F 的表达式是： y=x+2=（ x+2） 2 2， 当 x 2 时， y 随 x 的增大而减小， 2， （ 3） m 的取值范围是 2 m 0 或 2 m 4， 理由： 抛物线 F 与线段 公共点，点 A（ 0， 2）， B（ 2， 2）， 或 ， 解得， 2 m 0 或 2 m 4 【点评】 本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题 5（ 2016厦 门）已知抛物线 y= x2+bx+c 与直线 y= 4x+m 相交于第一象限不同的两点， A（ 5， n）， B（ e， f） （ 1）若点 B 的坐标为（ 3， 9），求此抛物线的解析式； （ 2）将此抛物线平移，设平移后的抛物线为 y= x2+px+q，过点 A 与点（ 1， 2），且 m q=25，在平移过程中，若抛物线 y= x2+bx+c 向下平移了 S（ S 0）个单位长度，求 S 的取值范围 【分析】 （ 1）根据点 B 的坐标可求出 m 的值，写出一次函数的解析式，并求出点 A 的坐标，最后利用点 A、 B 两点的坐标求抛物线的解析式； （ 2）根据题意列方程组求出 p、 q、 m、 n 的值，计算抛物线与直线最上和最下满足条件的解析式，并计算其顶点坐标，向下平移的距离主要看顶点坐标的纵坐标之差即可 【解答】 解：（ 1） 直线 y= 4x+m 过点 B（ 3， 9）， 9= 4 3+m，解得： m=21， 直线的解析式为 y= 4x+21， 点 A（ 5， n）在直线 y= 4x+21 上， n= 4 5+21=1， 点 A（ 5， 1）， 将点 A（ 5， 1）、 B（ 3， 9）代入 y= x2+bx+c 中， 得： ，解得： ， 此抛物线的解析式为 y= x+6； （ 2）由抛物线 y= x2+px+q 与 直线 y= 4x+m 相交于 A（ 5， n）点，得： 25+5p+q=n， 20+m=n， y= x2+px+q 过（ 1， 2）得： 1+p+q=2， 则有 解得： 平移后的抛物线为 y= x 3， 一次函数的解析式为： y= 4x+22， A（ 5， 2）， 当抛物线在平移的过程中， a 不变， 抛物线与直线有两个交点， 如图所示，抛物线与直线一定交于点 A，所以当抛物线过点 C 以及抛物线在点 A 处与直线相切时，只有一个交点介于点 A、 C 之间， 当抛物线 y= x2+bx+c 过 A（ 5， 2）、 C（ 0， 22）时，得 c=22， b=1， 抛物线解析式为： y= x2+x+22， 顶点（ ， ）； 当抛物线 y= x2+bx+c 在点 A 处与直线相切时， ， x2+bx+c= 4x+22， b+4） x 22+c=0， =（ b+4） 2 4 （ 1） （ 22+c） =0， 抛物线 y= x2+bx+c 过点 A（ 5， 2）， 25+5b+c=2， c= 5b+27， 把 c= 5b+27 代入 式得： 12b+36=0， b1=， 则 c= 5 6+27= 3， 抛物线的解析式为： y= x 3， y=（ x 3） 2+6， 顶点坐标为（ 3， 6）， 6= ； 则 0 S 【点评】 本题考查了二次函数的图象和图形变换，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，注意抛物线平移后的形状不变，故 a 不变；平移的距离要看二次函数的顶点坐标，所以求抛物线平移的距离时，只考虑平移后的顶点坐标即可 6（ 2016菏泽）在平面直角坐标系 ，抛物线 y= 过 B（ 2， 6）， C（ 2， 2）两点 （ 1）试求抛物线的解析式； （ 2）记抛物线顶点为 D，求 面积； （ 3）若直线 y= x 向上平移 b 个单位 所得的直线与抛物线段 括