一级倒立摆的建模与控制分析

控制工程与仿真课程设计报告线性倒立摆的建模、分析及控制器设计团队成员1专业，14班自动化1班姓名朱组员1专业，14班自动化1班名字王显儒学生编号团队成员1专业14班自动化1班姓名孙金红学生编号报告评分标准评分项目重量评估内容评估结果项目得分内容70设计方案合理、正确、完整。70-50分设计方案基本合理、正确，内容基本完整。50-30分设计方案基本不合理、正确、不完整。0-30分语言组织15语言流畅，标点符号正确。10-15分语言基本流畅，标点符号基本正确。5-10分语言不流畅，有错别字和标点符号混淆。低于5分格式15报告格式正确，布局规范美观。10-15分报告格式基本正确，布局不规范。5-10分报告格式不正确，布局混乱。低于5分总分线性倒立摆的建模、分析及控制器设计状态空间模型的建立1.1线性倒立摆的数学模型图1.1线性倒立摆系统倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义和相关值如表1.1所示。图1.2是系统中台车的力分析图。其中n和p是小车和摆杆之间相互作用力的水平和垂直分量。图1.2系统中小车的受力分析图图1.3是系统中摆杆的力分析图。Fs是摆杆上的水平干扰力，Fh是摆杆上的垂直干扰力，合力是在垂直方向上具有夹角的干扰力Fg。图1.3摆杆受力分析图通过分析小车在水平方向上的合力，可以得出以下公式：假设摆杆受到与垂直方向成夹角的干扰力Fg，它可以分解成水平方向和垂直方向的干扰力，产生的力矩可以等于摆杆顶端的水平干扰力FS和垂直干扰力Fh产生的力矩。通过分析摆杆的水平力，可以得出以下公式：那就是：通过分析图1.3所示摆杆垂直方向上的合力，可得出以下方程：也就是说，力矩平衡方程如下：用p和n代替给出了方程：让(是摆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位为弧度)代入上述公式。假设1，可以进行近似处理：原因：等式简化为：订单：可以更改为：这是线性倒立摆系统的简化微分方程。引入实际数据后，微分方程为：当Ff被忽略时，系统的微分方程如方程(1-12)所示忽略干扰力后，线性倒立摆系统是一个单输入双输出的四阶系统。考虑干扰力后，线性倒立摆系统是一个双输入双输出的四阶系统。内部四个状态变量分别是小车的位移x、小车的速度、摆杆的角度和摆杆的角速度。观察到的系统输出是小车的位移x和摆杆的角度。控制量是小车的加速度。微分方程(1-12)被转换成加速度输入和角输出的传递函数：1.2线性倒立摆系统的状态方程实验中使用的线性倒立摆系统使用加速度作为系统的控制输入，因此根据方程(1-12)建立的系统状态方程为：完成后，得到系统状态方程：将实际参数代入一级倒立摆系统的状态空间方程如下：2.运动分析、可控性和可观测性分析2.1运动分析线性定常系统的非齐次状态方程为：解决方案是：系统的输出方程为：然后借助计算机的MATLAB进行运动分析。例1给出了用MATLAB仿真求解线性非齐次状态方程的一个例子。示例1已知的系统状态方程是使用下面的MATLAB程序来求解系统方程。其中，collect()函数用于合并相似的项，而ilaplace()函数用于合并相似的项该函数用于求逆拉普拉斯变换，而函数det()用于求方阵的行列式。语句=subs(0 t，(t-tao)表示符号变量phi0中的自变量t被(t-tao)替换，以形成符号变量phi，并且语句X2=int(F，tao，0，t)表示符号变量F在0到t的积分间隔内对tao进行积分，运算结果返回X2。程序执行结果是这种表现2.2系统可控性分析系统的可控性可以根据等级标准来判断。线性常数连续系统完全可控的充要条件是：其中n是系统矩阵a的阶，是系统的可控性矩阵。Matlab程序及运行结果如下：a=0 1 0 0；0 0 0 0；0001；0 0 29.4 0；b=0；1；0；3；T=ctrb(A，B)；等级(T)ans=4由于秩(Ic)=4，可以看出系统是完全可控的。2.3系统可观测性分析系统的可控性可以根据等级标准来判断。线性稳定连续系统完全可控的充分必要条件是：或者其中n是系数矩阵a的阶。Matlab程序及运行结果如下：a=0 1 0 0；0 0 0 0；0001；0 0 29.4 0；c=1 0 0 0；0 0 1 0；T0=obsv(A，C)；等级(T0)ans=4由于秩(T0)=4，系统是可观察的。三态反馈和状态观测器设计3.1状态反馈原则建立n维线性时不变系统；其中x、u、y、u和y分别是n维、p维和q维向量；a，b和c分别是n*n维，n*p维和n*q维实矩阵。状态反馈系统的控制量U取为状态X的线性函数：其中v是p参考输入向量，k是p*n维实反馈增益矩阵。添加状态反馈后的系统结构图如图3.1所示。图3.1系统全状态反馈结构图系统状态反馈的动态方程为：3.2状态反馈观测器和simulink仿真状态反馈的实现是利用状态反馈使系统的闭环极点位于期望的极点位置。状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是被控系统是可控的。线性倒立摆系统是可控的。如果系统的期望极点为=，则系统的期望特征多项式为：列写状态反馈系统的特征多项式；如果两个特征多项式的系数相等，则可以求解K矩阵。状态反馈矩阵k由matlab获得，并编程如下：a=0 1 0 0；0 0 0 0；0001；0 0 29.4 0；b=0；1；0；3；K=acker(A，B，-2 -3 -4 3i -4-3i)K=-5.1020 -5.8844 35.1673 6.2948系统增加了0.1m/s2的阶跃输入。在所构成的状态反馈调节器的控制下，在MATLAB中对系统的阶跃响应进行了仿真。程序如下：A=0 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 29.4 0；B1=0103；C=1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1；D1=0000；dt=0.005ieof=801i=1:ieof。U(:I)=0.1；T(i)=i*dt。结束；%离散化Op=-2%预期极点-3-4 3i-4-3i；k=位置(A、B1、op)Ak0=(A-B1 * K)；bk0=B1；ck0=摄氏度；dk0=D1；lqrop=EIG(Ak0)；x=0 0 0 0；dt=0.005离散时间百分比dA，dB=c2d(Ak0，Bk0，dt)；%离散化以获得离散状态方程Ak1=(A-B1 * K)；bk1=B1；ck1=摄氏度；dk1=D1；sys=ss(Ak1，Bk1，Ck1，Dk1)；Y，X=lsim(系统，U，T)；图(T，-Y)，网格；图例(购物车、VCart、单曲、Vs)；图3.2极点配置为-2-3-4 3i-4-3i时全状态反馈仿真图横轴时间单位是秒。从图中可以看出，系统是稳定的。四.摘要通过对单级倒立摆的分析，可以看出倒立摆的平衡系统在开环条件下是不稳定的。根据秩准则，系统是可控和可观测的。利用MATLAB进行了上述分析和设计，并进行了系统的稳定性、可控性、可观性分析、极点配置和最优控制设计。由此可见，MATLAB作为一个交互式的计算分析软件，具有强大的计算分析功能，是一个集科学计算、程序设计和可视化于一体的高度集成的软件环境，为控制系统的分析和设计，尤其是高阶系统的综合设计提供了一种方便可靠的方法。参考1李，控制系统数字仿真与计算机辅助设计M，北京：电子工业出版社，2003，92王丹利，MATLAB控制系统设计仿真应用M，北京：中国电力出版社，2007，93薛，控制系统仿真与计算机辅助设计M，北京：机械工业出版社，2005，14金，过程控制M，北京：清华大学出版社，2003，65刘进坤。先进的PID控制及其MATLAB仿真M。北京：电子工业出版社，2003。薛。控制系统的计算机辅助设计MATLAB语言及其应用M。北京清华大学出版社19967易继凯。智能控制技术M。北京：北京理工大学出