学而思小学奥数36个精彩讲座总汇(下)

第十三课种树内容摘要几何图形的设计和构造，这个讲座将解释一些相关的植树问题。典型问题1.今天，在平地上有10盆花要排成5行。每行穿过4盆花。请给出一个设计方案。绘图时，用点代表花，用直线代表行。分析与解决如下图所示：2.今天，在平坦的地面上有9盆花要排成10行摆放。每行穿过3盆花。请给出一个设计方案。绘图时，用点代表花，用直线代表行。分析与解决如下图所示：3.今天，在平地上有10盆植物排成10排，每排穿过3盆植物。请给出一个设计方案。绘图时，用点代表花，用直线代表行。分析与解决如下图所示：4.今天有20盆花要在平地上排成18行摆放。每行穿过4盆花。请给出一个设计方案。绘图时，用点代表花，用直线代表行。分析与解决如下图所示：5.今天有20盆花在平地上排成20排，每排穿过4盆花。请给出一个设计方案。绘图时，用点代表花，用直线代表行。分析与解决如下图所示：第14讲数字拼图合成内容摘要各种类型的谜题，如垂直、水平、数字和数组图，这些都是很难解决的，需要综合运用各种知识。典型问题1.ABCD代表一个四位数，EFG代表一个三位数，而A、B、C、D、E、F、G代表从1到9的不同数字。众所周知，ABCD EFG=1993年。问：ABCDEFG产品的最大值和最小值之间有什么区别？分析与解决因为当两个数之和不变时，两个数越接近，乘积越大；两个数字之间的差异越大，乘积越小。a显然只能是1，那么bcdfg=993。当ABCD和EFG的乘积最大时，ABCD和EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，BCD为234，EFG为759，因此1234759是满足条件的最大乘积；当ABCD与EFG的乘积最小，且ABCD与EFG的差值最大时，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，最小EFG为234，相应的BCD为759，因此1759234是满足条件的最小乘积。它们之间的差别是1234759-1759234=(1000 234)759-1(1000 759)234=1000(759-234)=。2.9个分数的和是1，它们的分子是1。其中五个是，另外四个数字的分母是5。请写下这4个分数。分析和解决方案 l 1 ()=1010需要被分成4个数的和，所有的数都不是5的倍数，都是3371l的除数。因此，它们可能是3、7、9、11、21、33、77、63、99、231、693。测试显示693 231 77 9=1010。因此，剩下的4个分数是：3.请在上述公式的每个方格中填入一个数字，使其成为正确的方程式。分析和解决 1988=2277l=4497，=，同时在等式的两边相乘，就得到=。显然遇到了问题。再次=，两边乘以相同的，你有=。显然很满意。=，=都很满意。4.小明是按以下公式计算的：b组的嘴数和a组的嘴数=0.1两组数字A和B被一个一个地计算，其中方框是乘法或除法符号，圆圈是加号或减号。他将计算结果填入表14-1。有些人发现表中14个数字中有两个是错的。请改正它们。修正后的两个数之和是多少？分析与解决A组的前三个数字是0.625，都是小于1的数字。用这三个数字计算2后，得到5.05、4和4。不管l是加还是减，这三个数字都大于2，这是2和小于1的数字之间运算的结果，所以我们可以猜测盒子里有一个除法符号。现在检查：20.625=4.05；2=3；2=3；23=。从以上四个公式判断，在圆圈中填入加号，这样三个结果是正确的，四个是错误的。根据公式B组数A组数1.*23 1=1修正后的两个数之和是6。5.在图14-3中，有三个正方形，大、中、小，形成八个三角形。现在在大方块的四个顶点上分别填入1、2、3和4，然后在中间方块的四个顶点上分别填入1、2、3和4，最后在小方块的四个项目点上分别填入1、2、3和4。(1)8个三角形顶点上的数字之和可以相等吗？如果是，请给出填写方法：如果不是，请解释原因。(2)8个三角形顶点上的数字之和可以不同吗？如果是，请给出号码填写方法；如果没有，请解释原因。分析与求解 (1)无论如何填充，八个三角形顶点上的数字之和都不能相等。事实上，假设有某种填充方法可以使八个三角形顶点上的数字之和相等，我们也可以把每个三角形顶点上的数字之和设为k。当计算八个三角形顶点上的数字之和时，一个大正方形的四个顶点上的每个数字只使用一次。中间正方形的四个顶点上的每个数字都被使用了三次。一个小正方形的四个顶点上的每个数字都被使用了两次。因此，八个三角形顶点上的数字之和是：8k=(1 2 3 4) 3(1 2 3 4) 2(1 2 3 4)，即8k=60，k不是一个整数，自相矛盾，所以这个假设是错误的。(2)很容易知道，不可能使三角形三个顶点上的数字完全相同，所以三角形顶点上的数字之和是1 1 2=4，最大值是3 4 4=11。然而，从4到11有8个数字，因此有可能使8个三角形的顶点上的数字之和不同，并且可以如下构造，并且填充方法不是唯一的。图(A)和图(B)是两种填充方法。6.图14-5中有11条直线。请分别填写11个圆圈中1到11之间的11个数字，使每条直线上所有数字的总和相等。找出所有数字和用*标记的圆圈中的数字之和。分析和解决表达式1:让每一行的总和为S。在左下图中，除了A出现两次以外，所有其他数字只出现一次，并且每个数字都出现，因此有4个S=(1 23.11)安=66安；在右上图中，除了a出现5次，所有其他数字只出现一次，并且每个数字都出现，所以5s=(1 23.11) 4a=664a。结合以上两个公式，5-4得到66-11a=0，因此a=6，s=18。考虑包含*的五行，有4 * (1 23 4 11)-t=5s=90。也就是说，4*-t=24。从t是1到11和t *之间的一个数，我们知道*=7，每一行的和s是18。表达式2:如下图所示，每个圆圈内标有字母，带*的圆圈标有X。首先考虑以下四条直线：(h，f，a)，(I，g，a)，(x，d，b)，(j，e，c)。除了标记为a的圆，每个圆出现一次，而标记为a的圆出现两次。如果每条直线上的数字之和是s，则有：(1 11) 112a=4s，即66 a=4S.考虑以下五条直线：(h，f，a)，(I，g，a)，(j，x，a)，(e，d，a)，(c，b，a)，同样我们可以得到664a=5s。把这两个方程结合起来，a是6，每条直线上的和是18。最后，考虑包含x: (x，h)，(x，g，f)，(j，x，a)，(x，d，b)，(I，x，c)的五条直线。除了x出现五次，e不出现，其他数字只出现一次，所以我们可以得到：66 4x-e=5s=90，即4x-e=24。x=7是已知的，因为e是1到11之间的一个数字，e x。也就是说，每一行的总和是18，*并且填入的数字是7。7.对于六位数字，通过将六位数字移动到前面来获得新的六位数字，然后通过将六位数字移动到前面来获得新的六位数字。由5倍得到的新数与原来的6位数一起称为一组循环数。众所周知，由一个六位数产生的一组循环数恰好分别是这个数的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍和6倍，以找到这个六位数。分析和解决方法方法1:=、=、=、=、=、=、=、=。它们依次是1、2、3、4、5和6次。只用数字1，4，2，8，5，7来解决问题。这个六位数是。方法2:首先，可以确定最小的六位数字的第一位是1，否则2的6倍*不是六位数字，所以我们不妨将这六位数字设置为，那么六位数字中必须有一位是。一位数1只能由11、37或99获得。然而，它只能对应于(2-6)，所以它只能由3获得。那就是=3。因此，我们不难推出D是5，C是8，B是2，A是4，所以这个六位数是。方法3:与方法2部分相同，=3。然后是10 l=()3，解是=42857。这个六位数是。15谈论计数合成1内容摘要将关键的已知数据作为变量，得到一类具有相同结构的计数问题。通过建立由这些问题的结果形成的数列的递归关系，逐步得到原问题的答案。与分数、几何等相关的计数组合问题。典型问题1.一个矩形把平面分成两部分，那么这三个矩形最多能把平面分成几部分？分析与解决矩形将平面分成两部分。第二矩形的每条边将第一矩形的内部分成至多两部分，从而第一矩形的内部被第二矩形分成至多五部分。类似地，第二矩形的内部至少被第一矩形分成五部分。这两个矩形有一个共同的部分(下图中用数字9标记的部分)。两个矩形之外还有一个区域，因此这两个矩形将平面分成最多10个部分。第三矩形的每条边与前两个矩形中的每一个的至多两条边相交，因此第一条边被分成五个小线段，并且中间的三个小线段中的每一个将前两个矩形的内部的某个部分分成两个部分，因此最多增加34=12个部分。而第三个矩形的四个顶点在前两个矩形之外，最多增加4个部分。所以三个矩形最多能把平面分成10 12 4=26。2.楼梯总共有10级。规定每一步可采取1步或2步，最多3步。从地面到第一级台阶有多少种不同的行走方式？分析和解决方案我们知道最后一步可以是一步、两步或三步，也就是说，我们可以从倒数第二步1、2或3直接进入最后一步。也就是说，最后一步的移动等于倒数第二步1、2和3的移动之和，而倒数第二步l的移动等于倒数第二步2、3和4的移动之和，如果步骤1、2、3.按顺序排列，然后从第4项开始，每项等于前3项的总和。有1，2，4种1，2，3步的行走方式，所以有7，13，24，44，81，149，274种4，5，6，7，8，9，10步的行走方式。3.有12个点A1，A2，A3，A11，A12。在一个圆上。它们用作连接三角形的顶点，因此每个点都是三角形的顶点，并且每个三角形的边不相交。有多少种不同的连接方法？分析与解决我们采用递归方法。如果圆上只有3个点，那么只有一个连接。如果圆上有6个点，除了点A1所在的三角形的三个顶点之外，其余3个点必须只在对应于点A1所在的三角形的一边的圆弧上。表1给出了此时可能的连接方法。如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形。此时，剩余的6个点可能分布在：(1) A1在与三角形的一边相对的圆弧上；(2)也有可能三个点在对应于一侧的弧上，而另外三个点在与另一侧相对的弧上。在表2中，它们分布在不同侧的弧用“”表示如果是情况(1)，那么由二，这六点有三种方法；如果是这种情况，那么每三个点只能有一个连接。有12种链接方法。最后，考虑圆周上有12个点。也考虑A1所在的三角形。其余9个点的分布有三种可能性：(1) 9个点在同一圆弧上：(2)六个点在一个弧上，另外三个点在另一个弧上；(3)每三个点在对应于A1所在的三角形的一边的弧上。获得表3。有123 36 1=55种。因此，当圆周上有12个点时，有55种方法可以满足主题。4.现在流行的变速自行车在驱动轴和后轴上分别安装了几个不同齿数的齿轮。不同匹配的齿轮通过链条连接，通过不同的传动比可以得到几个不同速度的齿轮。“希望”变速自行车的传动轴有三个齿轮，分别有48、36和24个齿数。后桥上有4个齿轮，齿数分别为36、24、16和12。问：这种变速汽车有多少档和不同的速度？分析和解决方案计算所有传动比，并在表中列出：有4对相同的传动比：1、2和3。重复的传动比被去除，留下8个不同的传动比，因此总共有8个不同的速度。5.有多少分子小于6、分母小于60的不可约真分数？分析和解决方案分子值范围从1到5。当分子为1时，分母的范围从2到59，总共有58个真分数，它们当然是不可约分数。由