六年级图形问题综合(奥数)含答案

平面图形计算（一）平面图形计算（一） 经典图形： 1.任意三角形 ABC 中，CD=AC，EC=BC，则三角形 CDE 的面积占总面积的=（为什 3 1 4 3 3 1 4 3 4 1 么？） 2.任意平行四边形中任意一点，分别连接四个顶点，构成的四个三角形中，上下两个三角形面积之 和等于左右两个三角形面积之和。 （为什么？） 3.任意梯形，连接对角线，构成四个三角形。 （1）腰上的两个三角形面积相等；（2）上下两个三角 形面积之积等于左右两个三角形面积之积。 （为什么？） 4.正方形的面积等于边长的平方，或者等于对角线的平方2.等腰直角三角形面积等于直角边的平方 2，或者等于斜边的平方4.（为什么？） 例题： 例 1如右图，三角形 ABC 的面积是 10，BE=2AB，CD=3BC，求三角形 BDE 的面积。 例 2如图，已知三角形 ABC 的面积是 1，延长 AB 至 D，使 BD=AB，延长 BC 至 E，使 CE=2BC，延长 CA 至 F，使 AF=3AC，求三角形 DEF 的面积。 例 3如图，三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中点，AE=ED，EF=2BF，求 AEF 的 面积。 例 4如图，ABCD 是个长方形，DEFG 是个平行四边形，E 点在 BC 边上，FG 过 A 点，已知，三 角形 AKF 与三角形 ADG 面积之和等于 5 平方厘米，DC=CE=3 厘米。求三角形 BEK 的面积。 F K B E C D G A 例 5如图，三角形 ABC 的 AB 和 AC 两条边分别被分成 5 等分。三角形 ABC 面积是 500，求图中阴影 部分的面积？ 例 6如图，设正方形 ABCD 的面积为 120，E、F 分别为边 AB、AD 的中点，FC=3GC，则阴影部 分的面积是多少？ A BC D F E G 例 7在如图所示的三角形 AGH 中，三角形 ABC，BCD，CDE，DEF,EFG，FGH 的面积分别是 1，2，3，4，5，6 平方厘米，那么三角形 EFH 的面积是多少平方厘米？ A B C D E F G H 例 8如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 为对角线，EF 平行于 AC，如果三角形 AED 的面积为 12 平方 厘米， ，求三角形 DCF 的面积。 DC AB E F 练习： 1.已知正方形 ABCD 的边长是 5cm，又 EF=FG，FD=DG，求三角形 ECG 的面积。 EB C G DA F 2.正三角形 ABC 的边长为 12 厘米，BD，DE，EF，FG 四条线段把它的面积 5 等分，求 AF，FD，DC，AG，GE，EB 的长。 AB GE C D F 3.如图所示是某个六边形公园 ABCDEF，M 为 AB 中点，N 为 CD 中点， ，P 为 DE 中点，Q 为 FA 中 点，其中游览区 APEQ 与 BNDM 的面积之和为 900 平方米。中间的湖泊面积为 361 平方米，其余 的部分是草地，问草地面积共有多少平方米？ A B C D E F Q P N M 4.如图，AE=EC，BD=2DC，AF=3BF，若三角形 ABC 的面积为 270 平方厘米，求图中阴影部分的 面积。 5.如下图,正方形的边长为 12, 是边上的任意一点,、分别是边、ABCDPABMNIHBC 上的三等分点,、是边上的四等分点,图中阴影部分的面积是_.ADEFGCD 6.如图正方形的边长是 4 厘米,是 3 厘米,长方形的长是 5 厘米,那么它的宽ABCDCGDEFGDG 是_厘米. DE 7.如图，CE=4EA， BD=3CD，AF=5BF。若三角形 ABC 的面积为 120 平方厘米，求图中四个小三 角形的面积。 8.DF 与平行四边形 ABCD 的 BC 交于 E 点，与 AB 交于 F 点。若三角形 ABE 的面积是 97 平方厘米， 求三角形 CEF 的面积。 9.梯形 ABCD，AB，CD 分别是梯形的上，下底。已知阴影部分的总面积为 8 平方厘米，三角形 COD 的面积是 16 平方厘米，则梯形 ABCD 的面积为多少平方厘米？ A B CD O 图形与面积图形与面积( (一一) ) 一、填空题一、填空题 1. 如下图,把三角形的一条边延长 1 倍到,把它的另一边延长 2 倍到,得到一个较ABCABDACE 大的三角形,三角形的面积是三角形面积的_倍.ADEADEABC 2. 如下图,在三角形中, =8 厘米, =6 厘米,、分别为和的中点.那么三角ABCBCADEFABAC 形的面积是_平方厘米.EBF 3. 如下图,那么,三角形的面积是三角形面积的_., 4 1 , 3 1 ACCDBCBEAEDABC 4. 下图中,三角形的面积是30 平方厘米,是的中点,的长是的长的2 倍,那么三角形ABCDBCAEED 的面积是_平方厘米.CDE 5. 5. 现有一个55 的方格表(如下图)每个小方格的边长都是1,那么图中阴影部分的面积总和等于 _. 6. 下图正方形边长是10 厘米,长方形的长为8 厘米,宽为5 厘米.阴影部分甲与阴影部分ABCDEFGH 乙的面积差是_平方厘米. 7. 如图所示,一个矩形被分成、四个矩形.现知的面积是2cm2,的面积是4cm2,的面ABCDABC 积是6cm2.那么原矩形的面积是_平方厘米. 8. 有一个等腰梯形,底角为450,上底为8 厘米,下底为12 厘米,这个梯形的面积应是_平方厘米. 9. 已知三角形的面积为56 平方厘米、是平行四边形的 2 倍,那么阴影部分的面积是 _ABCDEFC 平方厘米. 10. 下图中,在长方形内画了一些直线 ,已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中阴影部分的面积是 _. 二二、解解答答题题 11. 已知正方形的面积是50 平方厘米,三角形两条直角边中,长边是短边的2.5 倍,求三角形的ABCABC 面积. 12. 如图,长方形中, =24cm,=26cm,是的中点,、分别是、的四等分ABCDABBCEBCFGABCD 点, 为上任意一点,求阴影部分面积.HAD 13. 有两张正方形纸,它们的边长都是整厘米数 ,大的一张的面积比小的一张多44 平方厘米.大、小正方形 纸的边长分别是多少? 14. 用面积为1,2,3,4 的四张长方形纸片拼成如图所示的一个长方形 .问:图中阴影部分面积是多少 ? 图形与面积（二）图形与面积（二） 一、填空题一、填空题 1. 下图是由 16 个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是 400 平方厘米,那么它的周长是 _厘米. 2. 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在 7 月 21 日开幕,下面的图形中,每一小方格的面积是 1. 那么 7,2,1 三个数字所占的面积之和是_. 3. 下图中每一小方格的面积都是 1 平方厘米,那么用粗线围成的图形面积是_平方厘米. 4. 下图的两个正方形,边长分别为 8 厘米和 4 厘米,那么阴影部分的面积是_平方厘米. 5. 在中,已知的面积是 18 平方厘米,则四边形的面积ABCDCBD2BEAE ABCAEDC 等于_平方厘米. 6. 下图是边长为 4 厘米的正方形,=5 厘米、是_厘米.AEOB 7. 如图正方形的边长是 4 厘米,是 3 厘米,长方形的长是 5 厘米,那么它的宽ABCDCGDEFGDG 是_厘米.DE 8. 如图,一个矩形被分成 10 个小矩形,其中有 6 个小矩形的面积如图所示,那么这个大矩形的面积是 _. 9. 10. 如下图,正方形的边长为 12, 是边上的任意一点,、分别是边、ABCDPABMNIHBC 上的三等分点,、是边上的四等分点,图中阴影部分的面积是_.ADEFGCD 11. 下图中的长方形的长和宽分别是 6 厘米和 4 厘米,阴影部分的总面积是 10 平方厘米,四边形 的面积是_平方厘米.ABCD 二、解答题二、解答题 12. 图中正六边形的面积是 54.,求阴影四边形的面积.ABCDEFPFAP2BQCQ2CEPQ 13. 如图,涂阴影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米.问:大正六角星形面积是多少平方厘米. 14. 一个周长是 56 厘米的大长方形,按图 35 中(1)与(2)所示意那样,划分为四个小长方形.在(1)中小长 方形面积的比是: ,.而在(2)中相应的比例是,.又2:1:BA2:1:CB3:1: B A3:1: C B 知,长方形的宽减去的宽所得到的差,与的长减去在的长所得到的差之比为 1:3.求大长 D D D D 方形的面积. 15. 如图,已知,.直线将图形分成两部分,左边部分面积是 38,5CD7DE15EF6FGAB 右边部分面积是 65.那么三角形面积是_.ADG 252030 361612 AC A C BD B D （一）答案：（一）答案： 1. 6.如下图,连接,因为,所以,即.又因为BEACCE2 ABCBCE SS 2 ABCABE SS 3 ,所以,这样以来,.BDAB BDEABE SS ABCADE SS 6 2. 6.已知、分别是和的中点,因此的面积是的面积EFABACABFABC 的,的面积又是的面积的.又因为 2 1 EBFABF 2 1 2468 2 1 2 1 ADBCS ABC (平方厘米), 所以(平方厘米).624 2 1 2 1 EBF S 3.由可知.因为与是同一个顶点, 2 1 , 4 1 , 3 1 ACCDBCBEACADBCEC 4 , 3 32 ABCAEC 底边在同一条线段,所以这两个三角形等高 ,则三角形面积与底边成正比例关系 ,因此 .同理可知.这样以来,的面积是的的,即是 ABC AEC SS 3 2 AEC AED SS 4 3 AEDABC 3 2 4 3 的面积的.ABC 2 1 所以,的面积是的.AEDABC 2 1 4. 5.因为是的中点,所以三角形和三角形面积相等(等底、等高的三角形等积 ),从而DBCADCABD 三角形的面积等于三角形面积的一半,即 302=15(平方厘米).在与中,ADCABCCDEADC ,高相等,所以的面积是面积的.即的面积是(平方厘DADE 3 1 CDEADC 3 1 CDE515 3 1 米) 5. 10 三个阴影三角形的高分别为3,2,2,底依次为2,4,3,所以阴影部分面积总和等于 . 1032 2 1 42 2 1 23 2 1 6. 60 设正方形的面积为,长方形的面积为,重叠部分的面ABCDaEFGHbEFNM 积为 ,则阴影部分的面积差是 :.即阴影部分的面积差与重叠部分的面积大小无关 ,cbacbca)()( 应等于正方形的面积与长方形的面积之差.所求答案:1010-85=60(平方厘米). ABCDEFGH 7. 24 图中的四个矩形是大矩形被两条直线分割后得到的 ,矩形的面积等于一组邻边的乘积 .从横的方向看,两 个相邻矩形的倍比关系是一致的 ,是的 2 倍,那么也应是的 2 倍,所以的面积是26=12BADCD ,从而原矩形的面积是2+4+6+12=24. 2 cm 2 cm 8. 20 如下图,从上底的两个端点分别作底边的垂线 ,则是矩形, (厘米).BCFE22)812(CDAB 因为,所以是等腰直角三角形,则(厘米).根据梯形的 0 45AABE2 ABBE 求积公式得:(平方厘米). 20 2 2128 宽宽 S 9. 14 由已知条件,平行四边形的面积是:562=28(平方厘米)如下图,连接DEFC ,为平行四行形的对角线,由平行四边形的性质如 ,ECECDEFCSS DEC 2 1 DEFC (平方厘米).在与中,为公共底边,平行于,从而边上的高28 2 1 14AEDCEDEDDEACED 相等,所以,(平方厘米). CED AED SS 14 10. 97 因为长方形的面积等于与的面积和,所以与ABCECDABCECD 重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和 ,即.97133549 宽宽 S 11. 画两条辅助线如下图,根据条件可知,正方形面积是长方形面积的2.5 倍.从而ABCD 的面积是502.5=20(平方厘米).所以的面积是202=10(平方厘米).ABCDABC 12. 连结,的面积为.把和结合起来考虑,这两BHBEH)(21624)236( 2 1 2 cmBHFDHG 个三角形的底、相等,且都等于长方形宽的,它们的高与之和正好是长方形的长 ,BFDG 4 1 AHDH 所以这两个三角形的面积之和是 : )( 2 1 2 11 2 DHAHBFDHDGAHBF .于是,图中阴影部分的面积为216+108=324. )(1083624 4 1 2 1 2 1 2 cmADBF )( 2 cm 13. 把两张正方形纸重叠在一起 ,且把右边多出的一块拼到上面 ,成为一个长方形,如图: 这个长方形的面积是44 平方厘米,它的长正好是两个正方形的边长的和 ,它的宽正好是 两个正方形的边长的差 .因为两个整数的和与它们的差是同奇或同偶 ,而 44 又只能分解成下面的三种形式 : 44=144=222=411.所以,两个正方形的边长的厘米数的和与差只能是22 与 2.于是,两个正方形的边长 是(22+2)2=12(厘米),12-2=10(厘米). 14. 如图大长方形面积为1+2+3+4=10.延长交底边于,延长交底边于.矩形面RAQSBPABPR 积是上部阴影三角形面积的2 倍.矩形是下部阴影三角形面积的2 倍.所以矩形的面ABSQRQSP 积是阴影部分面积的两倍 .知 , 因CDCA 3 1 CDCB 7 3 CDCDCDCACBAB 21 2 3 1 7 3 此矩形的面积是大矩形面积的,阴影部分面积是大矩形面积的.阴影部分面积=10=.RQSP 21 2 21 1 21 1 21 10 （二）答案：（二）答案： 1. 170.每个小正方形的面积为 40016=25 平方厘米,所以每个小正方形的边长为 5cm,因此它的周长是 345=170 厘米. 2. 25. 7,2,1 所占面积分别为 7.5,10 和 7.5 . 3. 6.5.直接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围的正方形和直角三角形来计算.周围有正 方形 3 个,面积为 1 的三角形 5 个,面积为 1.5 的三角形一个,因此围成面积是 44-3-5-1.5=6.5(平 方厘米). 4. 24 仿上题,大、小两个正方形面积之和减去两只空白三角形的面积和,所得的差就是阴影部分的面积. =16+64-(32+24)=80-56=24(平方厘米) 2 )84(4 2 88 84 22 5. 12 如下图,连接,因为,所以;又,ADDCBD2 ADCABD SS 218 ABCADCABD SSS 所以.因为,所以;因此12 ABD SBEAE 6 2 1 ABDADEBDE SSS (平方厘米). 12618 BDEABCAEDC SSS 6. 3.2 如下图,连接,则(平方厘米).从另一角度看,BE844 2 1 2 1 宽宽宽 SS ABE ,于是.=3.2(厘米)OBS ABE 5 2 1 85 2 1 OB528OB 7. 3.2 如下图,连接,则的面积是正方形面积的,也是长方形AGAGDABCD 2 1 的面积的,于是长方形的面积等于正方形的面积 44=16(平方DEFG 2 1 DEFGABCD 厘米).(厘米).2 . 3516DE 8. 243 我们用,分别表示待计算的小矩形面积上、下两个矩形,长是相同的.A BCD A252030D 36B16 C 12 因此它们的面积之比,就是宽之比,反之,宽之比,就是面积之比.这样就有:20:16=:36, A ;20:16=25:,;20:16=30:,; 20:16=:12, 45 16 3620 AB20 20 2516 BC24 20 3016 CD .因此,大矩形的面积是:45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=24315 16 1220 D 9. 60 如下图,连接,则阴影部分就是由四个三角形: ,和组成.PDPDHPGDPEFPMN 和的底都有 3,高为 12,所以.和的底都PGDPEF18123 2 1 PEFPGD SSPDHPMN 是 4,两条高分别为和则:PAPBPBPASS PMNPDH 4 2 1 4 2 1 =2(+)=212=24 所以,阴影部分的面积是: =18+18+24=60PA PB PEFPGD SS PMNPDH SS 10. 4 长方形的面积是 64=24(平方厘米)(平方厘米)EFGH12 2 1 EFGHAHGAEF SSS =12-10=2(平方厘米) 宽宽宽宽宽 SSSSS AHGAEFADHEBA 又(平方厘