科学计算与数学建模第1章 数学建模与误差分析—1.8-算法稳定性分析-2016-10-05.pptx

1.8算法稳定性分析,1.6.3算法稳定性的实例分析由误差估计的一般公式容易分析算法的误差传播规律。(1)加、减法的误差传播公式,nn,i1i1,xi(xi),nn,i,r,*i,x*,x,x,*(x)ri,*,i,i1,i,ni1,*,n,n,i,x,(x),j1ji,x,i,i1,ni1,j,*,n,i,r,i,x,*x,i1,ni1,r,(2)乘法的误差传播公式,*1,1,2,2,*,*,2,2,x,x,x,x,(3)除法的误差传播公式,1,x,1x,x2,*,*,*1,1,2,*,2,r,r,x,x,xx,2差可能会很大，故应设法避免让绝对值太小的数作为除数。,可见，当除数x*的绝对值很小，接近于零时，商的绝对误,2,r,x2,x*1,x,x*,*x1,2,2,1,1,22,(x1)*,*,*,*,1,r1,r2,x,xx,x*1,x*x*2,(x*)22,x*,x*,1,x,()x,*,*,r1,r2,xx,即，两近似值之商的相对误差等于被除数的相对误差与除数的相对误差之差（代数和）。,(4)乘方及开方运算的误差传播公式,p*,x,x,p1,px,*,*,p,r,r,x,xp,可见，乘方运算将使结果的相对误差增大为原值,结果的相对误差缩小为原值次数），精度得到提高。,r,*(x),的p（乘方的方次数）倍，降低了精度；开方运算则使,r,*(x),1,的q（q为开方的方,综上分析可知，大小相近的同号近似数相减，乘数的绝对值很大，以及除数接近于零等，在数值计算中都应设法避免。,321x21,应用上述误差估计的公式，可对1.3.1中提出算例的各种算式进行误差传播分析，比较出它们的优劣。,6,x21,x99702,61,x,21,x199792,21,x,3,21,例如，在字长为8基底为10的计算机上计算1091时，会出现大数吃小数的现象。,10910.110100.000000000110100.11010109,这种受到机器字长的限制，导致绝对值小的数被绝对值大的数“淹没”的现象；使这些相对小的数被“淹没”后就无法发挥其应有的影响，由此带来误差，造成计算结果的严重失真。因此，当多个数在计算机中相加时，最好从其中绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相加，使和的误差减小。,(1)En1nEn1(n2,3,),n,0,1xnex1dx(n1,2,),再如，计算定积分E,1,n,nx11,n1x1,n1,Exe,nxedx1nE00,利用分部积分可得,可以选择递增和递减两种顺序进行迭代计算，迭代算式分别为：,n,1En,(2)En1,用这两个迭代算式进行计算的结果如下表所示。,En1nEn1(n2,3,),E,n,n1,1En,请对两个迭代算式进行误差的传播分析。算法的数值稳定性对于数值计算是非常重要的，算法无足够的稳定性，将会导致计算的最终失败。为了防止误差传播、积累带来的危害，提高计算的稳定性，将前面分析所得的各种结果归纳起来，得到数值计算中应注意如下几点：(1)选用数值稳定的计算方法，避开不稳定的算式。(2)注意简化计算步骤及公式，设法减少运算次数，选用运算次数少的算式，尤其是乘方幂次要低，乘法和加法的次数要少，以减少舍入误差的积累，同时也可节约计算机的机时。,(3)应合理安排运算顺序，防止参与运算的数在数量级相差悬殊时，“大数”淹没“小数”的现象发生。多个数相加时，最好从其中绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相加；多个数相乘时，最好从其中有效位数最多的数到有效位数最少的数依次相乘。(4)应避免相近的近似数相减，可用恒等变换的方法来解决。(5)绝对值太小的数不宜作为除数。否则产生的误差过大，在计算机中造成“溢出”错误。,1.8算法稳定性分析,弹幕问题：1.乘方运算使结果的相对误差增大，降低了精度；开方