第2章 拉普拉斯变换.ppt

北京工业大学机电工程学院，现代控制工程讲师，王新华，硕士基础学位课程，第2章拉普拉斯变换，复数变量和复数变量函数的拉普拉斯变换的基本概念概述，求解线性常微分方程常用变换拉普拉斯逆变换法的拉普拉斯变换定理(性质)，求解线性微分方程的简单方法，将常用函数(正弦和指数)的线性微分方程变换为复数变量的代数方程，图解法预测性能的优点，无需求解微分方程；得到瞬态和稳态分量，2.1复变量和复变函数，1，复变量的实部和虚部都是变量，2，复变函数复变函数G(s)是s的函数：振幅，振幅角，振幅角的方向，共轭复数(1)复变函数G(s)的解析条件：在复域中，G(s)及其导数都存在(2)复变函数G(s)导数的存在定理：它可以沿无穷多条不同的路径趋近于零。当沿两条特殊路径的导数相等时，对于任何其他路径(3)柯西-黎曼条件：满足柯西-黎曼条件的函数G(s)是解析的，也是一个可导的例子：已知函数，求其导数。(5)公共点、奇点和极点。如果当s趋向于-p，G(s)趋向于无穷大，函数g (s) (s p) n，(n=1，2，3.)在s=-p处具有有限的非零值，那么s=-p被称为n阶极点。当n=1时，它是一个简单的极点。N=2，3，它是二阶极点、三阶极点等。例如，如果函数G(s)等于零的点为零，如果包含无穷远点，则极点数和零点数相等。2.1复变量和复函数，3，欧拉定理余弦和sin幂展开，2.1复变量和复函数，ex幂展开，欧拉定理余弦和sin指数表达式，2.2拉普拉斯变换，1，拉普拉斯变换和逆变换定义拉普拉斯变换(拉普拉斯变换)拉普拉斯逆变换(拉普拉斯逆变换)，2。拉普拉斯变换的存在(1)拉普拉斯变换的存在如果拉普拉斯积分收敛，函数f(t)的拉普拉斯变换具有拉普拉斯积分收敛的条件：函数f(t)是指数函数，c是收敛的横坐标，并且是实常数。如果函数f(t)是收敛横坐标，则它是指数条件收敛横坐标。只有当S的实部大于时，积分才收敛。从函数F(s)的极点的观点来看，收敛的横坐标等于s平面中最右边极点的实部。例子包括：(-c)，(无收敛横坐标，无拉普拉斯变换)，2.2拉普拉斯变换，(2)拉普拉斯变换1的性质：性质2:2.2拉普拉斯变换，2，普通函数的拉普拉斯变换，(1)指数函数的解析延拓定理：如果这两个函数在它们都是解析的范围内沿任何弧的有限长度相等，则这两个函数在该域的任何地方都是相等的。使这两个函数相等的弧通常是实轴或实轴的一部分。虽然要求S的实部大于收敛的横坐标，以保证积分的绝对收敛，但一旦得到拉普拉斯变换，除了S极点外，在整个S平面内都可以认为F(s)是真的。，2.2拉普拉斯变换，2，常见函数的拉普拉斯变换，(2)阶跃函数单位阶跃函数，(3)斜坡函数，(4)正弦函数，(2.2拉普拉斯变换，2，常见函数的拉普拉斯变换，(5)使用拉普拉斯变换表找到给定的拉普拉斯变换，(2.2拉普拉斯变换，2，常见函数的拉普拉斯变换，(5)使用拉普拉斯变换表找到给定的拉普拉斯变换，(2.2拉普拉斯变换，2。公共函数的拉普拉斯变换(5)使用拉普拉斯变换表来寻找给定的拉普拉斯变换，(2.2)公共函数的拉普拉斯变换(5)使用拉普拉斯变换表来寻找给定的拉普拉斯变换，(6)平移函数，(2.2)公共函数的拉普拉斯变换(7)脉动函数，(8)脉冲函数，单位脉冲函数(面积等于1的脉冲函数，函数)，2.2拉普拉斯变换，公共函数的2.2拉普拉斯变换(9)f(t)乘以e-at，应用示例，(10)时间标度的变化， (11)拉普拉斯积分下限(f(t)包含t=0处的脉冲函数)，2.3拉普拉斯变换定理，1实微分定理，当f(t)在t=0处具有不连续性时，df(t)/dt包含t=0处的脉冲函数，F (t)的二阶导数，f(t)的n阶导数，2.3拉普拉斯变换定理，1实微分定理，应用示例，2终值定理，如果f(t)和Df(t)/dt可以进行拉普拉斯变换，则有，应用示例，已知，求解，已知拉普拉斯变换，求解， 如果f(t)是指数函数，f(0 )=f(0-)=f(0)，则存在f(t)dt拉普拉斯变换，如果f(t)在t=0处包含脉冲函数，则存在，2.3拉普拉斯变换定理，4个实积分定理。当涉及到f(t)的定积分时，如果f(t)是指数的，那么拉普拉斯变换是，如果f(t)在t=0时包含脉冲函数，那么就有，5复微分定理。如果f(t)可以拉普拉斯变换，那么除了f (s)的极点之外，还有、2.3拉普拉斯变换定理、5复微分定理、2阶复微分、n阶复微分、6卷积积分。如果f1(t)和f2(t)是分段连续的指数级，则两个时间函数的乘积有7个拉普拉斯变换。有两个f(t)和g(t)可以进行拉普拉斯变换，它们的乘积是拉普拉斯变换，2.3拉普拉斯变换定理，拉普拉斯变换性质概述，2.3拉普拉斯变换定理，拉普拉斯变换性质概述，2.4拉普拉斯逆变换，1。拉普拉斯变换的部分分式展开法，拉普拉斯逆变换计算公式，使用拉普拉斯变换表，表中没有F(s)的拉普拉斯变换需要展开成部分分式形式并转换成简单函数。根据：对于任何连续时间函数，其拉普拉斯变换都有唯一的对应关系。对于控制系统，f(t)的拉普拉斯变换通常以形式出现。A(s)和B(s)是S多项式，A(s)的S最高阶应该大于B(s)的最高阶，2.4拉普拉斯逆变换，1。对于拉普拉斯变换的部分分数展开法，如果F(s)可以分解成下列分量：是的，除了时间函数的不连续点外，F(s)拉普拉斯逆变换可以唯一地得到。因此，当时间函数是连续的时，在时间函数f(t)和它的拉普拉斯变换F(s)之间存在一一对应。在用部分分数展开法求拉普拉斯变换之前，应该先求分母多项式的根，即分母多项式可以因式分解。2.4拉普拉斯逆变换，2。F(s)只包含不同极点的部分分数展开公式，考虑以下因素：在公式中，p1，p2，pn和z1，Z2，zn可以是实数或复数，并且对于每个复数pi或zi将有各自的共轭复数。如果F(s)包含不同的极点，则可以得到简单部分分数的和：在公式中，ak (k=1，2，n)是常数，是极点s=-pk的余数。AK的值可以通过使用上述等式的两边，并使和s=-pk来获得。2.4拉普拉斯逆变换，2，F(s)只包含不同极点的部分分数展开。如果p1和p2是共轭复数，则残基a1和a2也是共轭复数，并且只需要它们中的一个。为此，使用例子：找到下列函数的逆拉普拉斯变换，2.4逆拉普拉斯变换，3，F(s)包含多个极点的部分分数展开。例如：找到包含多个极点的部分分数展开式，考虑以下因素：2.5求解线性常微分方程，并使用拉普拉斯变换方法获得线性常微分方程的完整解，这与经典方法不