第2章4_坐标变换 ,结构力学,课件.ppt

第四节坐标变换,在有限单元法中，总要用到两类坐标系，即单元坐标系和整体坐标系，在不同的坐标系中，单元的杆端力、杆端位移及刚度矩阵一般都不相同，要得到它们之间的关系，就要用到坐标坐标变换。首先来了解一下两类坐标之间的关系。,坐标变换,在整体分析时，需要把不同单元的杆端力进行叠加，方向不一致的力是不能进行代数值相加的，这就需要将杆端力进行适当的坐标变换;通过坐标变换使所有单元的杆端力和杆端位移都换成共同的方向，即沿结构整体坐标的方向。,在进行单元分析时，使用的是单元坐标系，各杆端力的方向与单元坐标系的方向是一致的。整个结构中各杆单元坐标系的方向并不完全一致。方向不同的单元的杆端力的方向也不一致。,1.坐标变换矩阵,设一向量R在单元坐标系xoy上的投影分别为x和y而在结构整体坐标上的投影为和，则它们投影之间的关系为：,写成矩阵形式：,称为坐标变换矩阵,且是一个正交矩阵。为两坐标系之间的夹角，即结构整体坐标系逆时针转至与单元坐标系重合时所转过的角度。,即：,其中：,因：,即：,则：,a,2平面桁架单元杆端力的坐标变换矩阵,把单元两端的杆端力统一表示，则：,设已知杆端力沿整体坐标轴方向的分量为和，其沿单元坐标轴方向的分量为F1、F2和F3、F4，则,则平面桁架单元杆端力的坐标变换矩阵T：,即：,杆端位移和杆端力是一一对应的，所以杆端位移也可以用T矩阵来进行变换。即：,3.平面刚架单元杆端力的坐标变换矩阵,则：,整体坐标系与单元坐标系xoy之间的变换可视为坐标系绕z轴旋转a角。该变换不影响弯矩向量对z轴的投影。如把单元左端(i端)的三个杆端力分量用F1,F2,F3表示，右端(j端)用F4,F5,F6表示，故,即：,则平面刚架单元杆端力的坐标变换矩阵T：,且：,则：,杆端位移的变换：,例2-1平面桁架如图所示，各杆截面EA均为常数。已知P1=15kN,P2=20kN，试计算桁架各杆轴力。,1.对结点和单元编号如图示;2.列表表示各单元参数;,3.列出各单元刚度矩阵,单元(2)的单元坐标与整体坐标不一致，要进行坐标变换：,4.单元(2)的坐标变换矩阵：,若已经求得节点2的位移如下，试计算各杆的内力,5.各单元的杆端位移：,整体坐标表示：,单元坐标表示：,6.各单元的杆端内力：,方法1：由内力与变形的关系计算,方法2：由单元的刚度方程计算,由各单元的杆端位移向量可得各单元的轴向变形：,各杆的轴力：,由此知各单元的轴力：,4.空间桁架单元杆端力的坐标变换矩阵,设一空间向量F，它在整体坐标系上的投影为,它在单元坐标系上的投影为XYZ，用向量投影定理:,表示坐标轴x与之间夹角的余弦，其余类推。令,空间向量坐标变换矩阵：,则：,写成矩阵的形式：,4.空间桁架单元杆端力的坐标变换矩阵,空间桁架单元杆端力只有轴力，且方向也与坐标轴x重合，杆端力在单元坐标轴y,z轴的投影总是为零的。即,空间向量坐标变换矩阵：,令：,表示杆端力在整体坐标轴上的投影。,可写成：,则：,5.空间桁架单元杆端力的坐标变换矩阵,考虑空间桁架单元两