03梅涅劳斯定理教师版初二自招进度一

第03讲 梅涅劳斯定理1. 梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的他指出：如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么2. 梅涅劳斯定理的逆定理若有三点F、D、E分别在ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足，则F、D、E三点共线利用这个逆定理，可以判断三点共线【以下为教师参考资料】证明一：过点A作AGBC交DF的延长线于G，则三式相乘得：证明二：过点C作CPDF交AB于P，则所以有它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足，则F、D、E三点共线利用这个逆定理，可以判断三点共线证明三：过ABC三点向三边引垂线AABBCC，所以AD：DB=AA：BB，BE：EC=BB：CC，CF：FA=CC：AA所以【数学意义】使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理【例题精讲】【例题1】 已知O是平行四边形ABCD内的任意一点，过点O作EFAB，分别交AD，BC于E，F，又过O作GHBC，分别交AB，CD于G，H；连结BE，交GH于P；连结DG，交EF于Q如果，求证：平行四边形ABCD是菱形证明：EFCD POBF OP=OQ,GO=EF,HD=EO GH=EF 平行四边形ABCD是菱形【例题2】 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，在AD上截取，EF交AC于点G.求的值解：作，得交于易证为中点，【例题3】 如图1-15(a)所示，在中，点为上一点，点在上，过点作交于点，作交于点，回答下列问题.（1）若点是的中点，且，求的值.（2）若点是的中点，求证：.（3） 若点是上任意一点，求证：.解：作交于点，见图1-15(b)，易证为中位线，故.取、的中点、，连接，易证又因、为中点，故.过点作交于点，所以，又因为，所以，则，因此.同理可得，所以.【例题4】 如图1-16(a)所示，是的中线，交于点，任意作一条直线分别交、于点、.求证：.证法一：如图1-16(b)所示，作，则有，+，得.(其中)证法二：如图1-16(c)所示，延长补形，则由平行线定理得，+，得，故得证.证法三：如图1-16(d)所示，作辅助线，由于点是的中点，则是梯形的中位线，则.因，则；因，则，+，得.技巧贴士以上三种方法都很典型，其基本要领是通过添加平行线构造两个基本图形，分别表达出、，且两个部分的分母都相同，通过运算得到.要注意，证法一主要是“中线倍长”，证法二和证法三主要是“补形”，通过添加辅助线使为梯形的中位线.【例题5】 已知在中，且，求阴影部分的面积解：过点作交于点，如图121(b)所示由得，则又因为，所以因为，所以由于，故所以四边形DECF技巧贴士本题的另外一种解法是连接，令，故，在中，；在中，易解得和【例题6】 如图，点D在的AC边上，E在CB的延长线上，且AD=BE，求证：证：在中，由梅氏定理及【例题7】 如图，D、F分别是边AB、AC上的点，且，DF交BC边的延长线于E点，求EF：FD的值解：即即【例题8】 已知如图，中，BD：DC=CE：EA=2：1，AD和BE交于F，求AF：FD的值【例题9】 如图，已知AD是ABC的BC边上的中线，F为AB上一点，CF交AD于点E求证：【例题10】 如图，D、E、F分别是的边BC、CA、AB的三等分点中靠近B、C、A的一个分点，且AD、BE、CF交成，求证：即设【例题11】 如图，D、E为BC的三等分点，F为AC的中点求：BP：PQ：QF【例题12】 如图，P为ABC内任一点，过P作AD，BE，CF分别与BC，AC，AB交于点D，E，F.求证：（1）；（2）【课后作业】【作业1】 设等腰直角三角形ABC，E是AC中点，D在BC上，求证：（试用梅氏定理证明）【作业2】 设D是锐角三角形ABC的边