新第三章 模糊控制的数学基础

第三章模糊控制的数学基础，3.1概括，模糊数学(模糊集合)是模糊控制的数学基础，是美国加利福尼亚大学Zadeh教授首先提出的。 他统一了模糊性和集合论，在不放弃集合的数学严格性的同时，还吸收了人脑思考中对模糊现象的认识和推论的优点。 所谓“暧昧”，是指客观事物之间的差异中间转移时，边界不清楚，所表现出的“又互相”性。 “模糊”与“正确”形成了对比。 “正确”:老师、学生、工人、模糊”:个子高、热、年轻人，模糊数学不是模糊数学，而是使用数学工具来解释和分析模糊现象。 模糊数学是对古典数学的扩展，在古典集合理论的基础上导入“成员函数”的概念，记述事物对模糊概念的依赖度。 3.2一般集合、*集合具有特定属性的对象的全体称为集合。 例如，“湖南大学的学生”可以是集合。 集合通常用大写字母a、b、z表示。 *要素构成集合的各个对象也被称为要素，也被称为个体。 通常用小写的a、b、z表示。 *论域研究的所有对象的总和也称为论域，也称为全集。 *空集合中什么都不包含的要素的集合称为空集合，记为。 *子集由集合的一部分元素组成的集合称为集合的子集。 1 )集合的概念，要素a是集合a的要素，则要素a属于集合a，标记为a-a，相反，a不属于集合a。 *属于*，如果集合a是集合b的子集，则标记为集合a包含在集合b内或集合b包含集合a。 如果对于两个集合a和b，和成立，则a和b相等，记为A=B。 此时，a和b具有相同的要素，并且彼此是子集。*相等，*有限集合。 一个集合中包含的元素为有限个时，称为有限集合，否则称为无限集。 (2)集合的表示用大括号括起来表示集合中的所有要素，该方法只能用于有限集合的表示。 例如，如果集合a由10-20之间的偶数构成，则a用大括号表示集合中所有元素的共同特征。 上述例子的集合a中，A=a|a为偶数，1020 ，3.2一般集合，*列举法，*集合交叉是由x、y为两个集合，由属于x和y的要素构成的集合p为x，y的交叉，标记为P=XY*集合，由x、y为两个集合，由属于x或y的要素构成的集合的集合补充在论区域y有集合x时，x的补充集合是，3 )集合的运算，3.2一般集合，具体算法在x，y各取一个要素构成序列偶(x，y )，由秩序偶数构成的集合是x，y的笛卡儿积。 如果将*集合的笛卡儿积设为x，y，定义x，y的笛卡儿积，及其值域为 0，1 ，表示元素x是否属于集合a。 如果x属于集合a，则的值为1，如果x不属于集合a，则的值为0。 (1)模糊集合的定义：3.3模糊集合，例2.3.1论域为15岁至35岁之间的人，模糊集合意味着“年轻人”，模糊集合的成员资格函数是年龄为30岁的人属于“年轻人”的程度：定论域e中的模糊集合之一(2)模糊集合的表现法：1)Zadeh表现法论域上的要素为有限个时，该论域上定义的模糊集合为：注意：式中的“”和“/”是分隔符，不表示“加”和“除”。例2.3.2论域为5人的身高，分别假定为172cm、165cm、175cm、180cm、178cm，他们对“个子高”这一模糊概念的成员资格分别为0.8、0.78、0.85、0.90、0.88 模糊集合“高子”是高子，3.3模糊集合，2 )偶数表示法，在论域上的元素是有限的情况下，该论域上定义的模糊集合可以简化为偶数的形式：或：前例的模糊集合“高子”是偶数法，高假定年龄论域为u= 15，35 ，模糊集合“年轻”可以用隶属函数表现，其隶属函数的形状有图、3.3模糊集合，(3)模糊集合的运算，模糊集合与普通集合同样地有交叉、互补的运算。模糊集合交，模糊集合补充，3.3模糊集合，3.3模糊集合，(4)模糊运算的性质：分配率，复原率，3.3模糊集合，3.4水平切片集合，水平切片集合的定义是论域u，给出了某个模糊集合a，对a有隶属度的水平在公式中，可以如下描述。 其中，x-u、- 0，1 。 显然，A是普通的集合。3.4水平切片集合，水平切片集合的性质，1)AB的水平切片集合为A和B的和集合：2)AB的水平切片集合为A和B的和集合：3 )- 0，1 ，- 0，1 且，3.5模糊关系，(1)一般一般关系数学地描述不同一般集合的元件之间有无关联。 进行了东亚足球对抗赛，分为两组A=中国、日本、韩国，B=伊朗、沙特阿拉伯、阿拉伯酋长国。 抽签决定的对阵状况是中国-伊朗、日本-阿拉伯酋长国、韩国-沙特阿拉伯。 两组的对阵关系用r表示，r以偶数的形式R= (中国、伊朗)、(日本、阿拉伯酋长国)、(韩国、沙特阿拉伯) ，关系r是a、b的笛卡儿积AB的子集。 也可以用矩阵形式表示r，r中的元素r(i，j )表示a组第I队和b组第j队的对应关系，如果存在对阵关系，则r(i，j )称为1，否则，0，r称为：此矩阵称为a和b的关系矩阵。 从普通关系的定义可以看到，在定义了某个关系之后，两个集合的元素与该关系相关或r(i，j)=1； 没有关系或r(i，j)=0。 这个关系很清楚。 3.5模糊关系、(2)模糊关系、人与人关系的“亲密”？ 儿子和父亲脸上的“相似”？ 家人是“和平”吗？ 这些关系不只是“是”和“否”，只能表现为“多大程度”和“多大程度”。 这些关系是模糊的关系。 我们可以扩展普通关系的概念，得到模糊关系的定义。 3.5模糊关系，模糊关系的定义，例3.5.2用模糊关系描述孩子和父母脸上的“相似”关系，儿子和父亲的相似程度为0.8，假设母亲的相似程度为0.3，女儿和父亲的相似度为0.3，母亲的相似度为0.6。 3.5模糊关系和模糊关系通常以矩阵形式描述。如果设为x-u，y-v，则从u到v的模糊关系可以用矩阵记述，但上述例子中的模糊关系可以用矩阵记述：3.5的模糊关系，模糊关系的运算，假定r和s是论域上的UV的两种模糊关系，分别记述为：则模糊关系暧昧关系的相等：暧昧关系的包含：暧昧关系的和：模糊关系的互补：例3.5.3已知的，解：基于模糊关系的运算规则：，模糊关系的合成，把r作为论域UV上的模糊关系，把s作为论域VW上的模糊关系，把r和s分别记述为：则r和s可以合成为论域UW上的新的模糊关系c，合成算法为： 例3.5.4:假设模糊关系r记述了孩子和父亲、叔叔的脸的“相”关系，模糊关系s记述了父亲、叔叔和祖父、祖母的脸的“相”关系，r和s分别为： 例3.5.4:假设模糊关系r记述了父亲和叔父的脸的“相”关系，孩子和祖父、祖母的脸的“相似”关系c .，3.5模糊关系，3.5模糊关系，有限集X=x1，x2， ，yn，r为XY上的模糊关系：a和b分别为x和y上的模糊集合：的隶属函数运算规则为：b为a的像，a为b的原像，r为x到y上的模糊变换。 然后，3.5的模糊关系，例3.5.5 :通过已知的论域X=x1、x2、x3和Y=y1、y2，a是论域x上的模糊集合：r是从x到y上的模糊变换，和模糊变换r来求a的对象b 对各种素质的评论分为四个等级。 一名学生表演结束后，评委评价说：“考察学生成为电影演员的可能性，对演技的要求很高，其他的都很低。” 定义加权模糊集： A=0.250.50.25，我们根据模糊变换得出了评审员作为电影演员培养的最终结论。 3.5模糊关系，解：通过模糊转换，审查员能够得到将该学生培养成电影演员的决策集：综合评价：选择属性最大的要素作为最终的评论，审查员的评论包含在“一般”、3.5模糊关系、3.6语言规则中好像要下雪”气温-雪概率，(1)语言变量，语言变量是自然语言的单词或句子，其取值不是通常的数值，而是用模糊语言表示的模糊集合。 例如，“年龄”是一个模糊的语言变量，其值可以是“年幼”、“年轻”、“老”等模糊的集合。 为了定义语言变量，必须定义定义变量名称定义变量的论域定义变量的语言值(每个语言值在变量论域中定义的模糊集合)定义各模糊集合的成员函数的四个方面。 例3.6.1 :从定义语言变量的四个要素来定义语言变量“速度”。 首先，定义变量名称称为“速度”，其次，定义变量“速度”的论域为 0，200 km/h，再次，在论域 0，200 中定义的变量的语言值为慢、中、快； 最后，在论域中定义各自的语言值的成员函数是3.6语言规则中包含的模糊关系，所定义的成员函数的形状是图、(2)模糊关系，人的生产实践和生活中的操作经验和控制规则可以用自然语言来记述例如，在控制汽车驾驶速度的过程中，控制规则可以记述“速度变快，就减少油门”的速度慢，就增加油门。 然后介绍一种利用模糊数学从语言规则中提取含意模糊关系的方法。3.6语言规则中包含的暧昧关系，1 )简单的条件句的含义关系，3.6语言规则中包含的暧昧关系，“如果的话”或“如果的话”，u、v已经是在论域u和v中定义的两个语言变量，人的语言控制规则是“如果u是a，v是b 式中AB称为a与b的笛卡儿积，其所属度算法为：因此r的算法为：3.6语言规则中包含的模糊关系，假设u，v是已经定义的两个语言变量，人的语言控制规则为“u为a，v为b； 否则，v是c这一规则中包含的歧义关系r是：3.6语言规则中包含的歧义关系，例3.6.2 :定义两语言变量“误差u”和“控制量v”两者的论域： u= 1，2，3，4，5 ； 论域中定义的语言值为： 小、大、大、小、=a、b、g、C； 定义各语言的值的成员函数是：分别求出控制规则 u小时v大中包含的模糊关系R1和规则 u小时v大 . 3.6语言规则中包含的模糊关系，解： (1)r1，(2)r2，2 )解除多条件句的含义关系，将多个简单条件句并行构成的句子称为多条件句，其句型为：u为A1，则v为B1； 否则，u是A2，v是B2否则，u是An，v是Bn。 此句中包含的模糊关系是：其所属函数是：3.6语言规则中包含的模糊关系，3 )多维条件句的含意关系，具有多输入量的简单条件句，我们称为多维条件句。 其句型为：u1是A1，u2是A2，um是Am，则v是b，该语句中包含的模糊关系是：其成员资格函数是：3.6语言规则中包含的模糊关系：解：第一步，R1=AB :第二步，二元关系其中的第一行元素以列向量形式，其中的第二行元素也以列向量形式，前者中的R1可以表示为：第三步骤，r可以计算为：3.6语言规则中包含的模糊关系，3.6语言规则中包含的模糊关系，4 )多维条件句的包含关系，多输入量如果u1是A11，u2是A12，um是A1m，则v是B1； 否则，u1是A21，u2是a2.um是A2m，v是B2.否则u1是An1，u2是An2.um是Anm，v是Bn； 然后，该句中包含的模糊关系为：其所属函数为：3.7模糊推论，通常推论：已知的x，y之间的函数关系y=f(x )，则可以通过f ()对某x*进行推论，得到相应的y*。 模糊推论：知道语言控制规则中包含的模糊关系后，可以从模糊关系和输入状况中特定输出状况称为“模糊推论”。 3.7模糊推论，(1)单输入模糊推论，在单输入的情况下，当设两个语言变量x、y之间的模糊关系为r，x的模糊取值为A*时，可以通过模糊推论按如下方式求出与其对应的y取值B* :上式的计算方法例3.7.1在例3.6.2中已经求出了控制规则“u小时v大”中包含的模糊关系为R1，现在，设输入量u的模糊取值为“稍小”，a1=(1，0.89，0.55，0.32，0 )