八年级数学动点问题中平行四边形存在性问题的探究

动点问题中平行四边形的存在性问题的探索一、知识点综述动点问题是近年来各地应验的重要问题，也是教育的难点，其中平行四边形的存在性问题是其问题类型。 这样的主题与通常代数式、平面直角坐标系、勾股定理、平行四边形和特殊平行四边形的判定等结合，综合性特别强。二、典型图形分析图形条件结论ABCD是平行四边形A(xA，yA )，B(xB，yB )，C(xC，yC )，D(xD，yD )。xA xC=xB xDyA yC=yB yDa、b、c是已知点，以a、b、c、d为顶点的四边形是平行四边形这样的四边形有三个四边形FACB、四边形ABCD、四边形ABEC三、容易出错的地方的分析1 .注意“以a、b、c、d为顶点的四边形”和“四边形ABCD”的区别2 .注意分析动点的运动过程，看它是否反复运动，有很多情况3 .观察主题，注意“在AB=CD和ABCD的情况下，求出动点p的运动时间”和“在AB=CD和ABCD的情况下，求出动点p的运动时间”的差异下面，分析叙述几个具体实施例四、典型例题例题1 .如图1-1所示，在平面直角坐标系中，当以a (-1，0 )、b (2，0 )、c (0，1 )为顶点构筑平行四边形时，平行四边形的顶点d的坐标图1-1例题2 .如图2-1所示，在四边形ABCD中，ABDC、AD=BC=5、DC=7、AB=13，点p以每秒3单位的速度从点a开始沿着ADC向终点c运动，且点q以每秒1单位的速度从点b开始沿着BA向终点图2-1A.4s B.3s C.2s D.1s例题3 .如图3-1所示，在ABC中，点o是边AC上的可动点，将过o设为直线MNBC .将mnACB的二等分线设为点e，将交叉acb的外角二等分线设为点f .(1)寻求证据： OE=OF；(在CE=12、CF=5的情况下，求出OC的长度(3)点o在边AC上移动到哪个位置时，四边形AECF是矩形？ 说明理由图3-1例题4 .在图4-1，矩形ABCD中AB=4，BC=8，可动点m从点d向折线DCBAD方向以每秒的速度移动，可动点n从点d向折线DABCD方向以每秒的速度移动.(1)移动点m，n同时出发的话，多长时间相遇？(2)点e在线段BC上，BE=3.点m、n同时出发时，相遇时停止运动，几秒钟内，点a、e、m、n构成平行四边形.图4-1例题5 .如图5-1所示，在平面直角坐标系中，点a、b坐标分别是(-3，0 )、(0，6 )，可动点p从点o向x轴正方向以每秒1单位的速度运动，且可动点c从点b向放射线BO方向以每秒2单位的速度运动(1)点c在线段OB上移动时，证明四边形ADEC是平行四边形(2)当点p移动的时间为秒时，求出此时的四边形ADEC的周长是多少图5-1例题6 .如图6-1所示，在矩形ABCD中AB=30 cm、BC=10 cm、点p从a开始沿着折线A-B-C-D以6 cm/s的速度移动，点q从点c开始沿着折线C-D-B以6 cm/s的速度移动，点p、q分别是a、c吗图6-1例题7 .如图7-1所示，在ABC中，ACB=90，的垂直平分线DE是d，AB是e，f是DE的延长线上，而且AF=CE(1)求证据：四边形ACEF是平行四边形(2)b满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？ 请回答并证明你的结论图7-1例题8 .如图8-1所示，在矩形ABCD中，AB=8、BC=12、点p从点d向点a运动，在点a停止运动.同时，点q从点b向点c运动，在点c运动时停止(1)要说t为什么取值，四边形ABQP是矩形吗？(2)t为什么是值的情况下，四边形AQCP是菱形？(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积。图8-1例题9 .如图9-1所示，在RtABC中873acb=90，通过点c的直线MNAB，d为AB边上一点，通过点d的直线MN为e，垂线为f，将CD与BE连接.(1)寻求证据： CE=AD；(2)d在AB的中点时，四边形BECD是什么特殊的四边形？说明你的理由(3)如果d是AB的中点，则在a的大小满足什么条件的情况下，四边形BECD是正方形吗？ 请说明你的理由图9-1答案和分析问题1 .如图1-1所示，在平面直角坐标系中，如果以a (-1，0 )、b (2，0 )、c (0，1 )为顶点构筑平行四边形，则平行四边形的顶点d的坐标图1-1(3，1 )或(-3，1 )或(1，-1)。【解析】分两种情况进行讨论如果ab是边，则AB=CD=3，所以d点坐标是(3，1 )还是(-3，1 )。AB是对角线根据xA xB=xC xD，yA yB=yC yD取得： xD=1，yD=-1，即d点坐标为(1，-1) .因此，值为(3，1 )或(-3，1 )或(1，-1) .问题2 .在图2-1、四边形ABCD中，ABDC、AD=BC=5、DC=7、AB=13，点p从点a以每秒3单位的速度沿ADC向终点c运动，且点q从点b以每秒1单位的速度沿BA向终点a运动图2-1A.4s B.3s C.2s D.1s【答案】b。由于ABCD，即PCBQ，因此如果PC=BQ，则四边形PQBC为平行四边形如果将运动时间设为t，则PC=AD CD-3t、BQ=t5 7-3t=t解： t=3答案是“b”如图3-1所示，在ABC中，点o是边AC上可动点，将过o设为直线MNBC，将mnACB的二等分线设为点e，将交叉acb的外角二等分线设为点f .(1)寻求证据： PS=PS；(在CE=12、CF=5的情况下，求出OC的长度(3)点o在边AC上移动到哪个位置时，四边形AECF是矩形？ 说明理由图3-1【回答】看分析(1)在图3-2中示出。图3-2证明：1111航空公司2=5，4=6111航空公司航空公司6531=5，3=61=2，3=4HR=co，FO=COPS=of；(2)解：喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地。2.4.5.6.90CE=12，CF=5在RtCEF中，可以从匹配定理得出PS=13另外- o是EF的中点PS=ef=6.5；(3)解：当点o在边AC上移动到线段AC中点时，四边形AECF为矩形.证明： o为交流中点时，AO=COPR=fo四边形AECF是平行四边形喀喀喀喀喀地6 .平行四边形AECF为矩形.问题4 .在图4-1、矩形ABCD中，AB=4，BC=8，可动点m从点d向折线DCBAD方向以每秒的速度移动，可动点n从点d向折线DABCD方向以每秒的速度移动.(1)移动点m，n同时出发的话，多长时间相遇？(2)点e在线段BC上，BE=3.点m、n同时出发时，相遇时停止运动，几秒钟内，点a、e、m、n构成平行四边形.图4-1【回答】看分析(1)设置点m、n同时出发，在x秒内相遇从题意来说：2x x=2(4 8 )解： x=8也就是说，m和n在8秒内相遇.(2)分两种情况进行讨论在ae是边的情况下，如图4-2所示.图4-2由于ANEM，如果AN=EM，则AEMN为平行四边形设运动时间为t，则AN=8-t、CM=2t-4、EM=5-CM=9-2t所以8-t=9-2t解： t=1不合题意，舍去在ae是对角线的情况下，如图4-3所示.图4-3由于ANEM，如果AN=EM，则AEMN为平行四边形设运动时间为t，则AN=8-t、CM=2t-4、EM=CM-5=2t-9所以8-t=2t-9解： t=因此，秒时，点a、e、m、n构成平行四边形.如图5-1所示，在平面直角坐标系中，点a、b坐标分别为(-3，0 )、(0，6 )，可动点p从点o向x轴正方向以每秒1单位的速度运动，且可动点c从点b向放射线BO方向以每秒2单位的速度运动.(1)点c在线段OB上移动时，证明四边形ADEC是平行四边形(2)当点p移动的时间为秒时，求出此时的四边形ADEC的周长是多少图5-1【回答】看分析(1)证明：如图5-2所示，连接CD被传递到AE。图5-2四边形PCOD是平行四边形HK=df，OF=PF，PE=AOPK=ef另外？CF=DF四边形ADEC是平行四边形(2)解：点p移动的时间为秒时，OP=，OC=3OE=，在RtAOC中，根据紧密定理，AC=在RtCOE中，根据紧密定理，CE=、四边形ADEC是平行四边形周长为()2=.问题6 .图6-1、矩形ABCD中AB=30 cm、BC=10 cm、点p从a开始沿着折线A-B-C-D以6 cm/s的速度移动，点q从点c开始沿着折线C-D-B以6 cm/s的速度移动，点p、q分别从a、c同时输出图6-1【回答】看分析【解析】点p、q的按位置分类研究：如图6-2所示，点p在线段AB上，点q在线段CD上时图6-2根据问题，CQ=6t、AP=6t、BP=30-6t四边形ABCD是矩形THHHHHHHHK=90，HHHK，在仅CQ=BP的情况下，四边形QPBC是矩形即，6t=30-6t解答： t=即，在t=时，四边形QPBC是矩形.如图6-3所示，在点p在线段CD上，点q在线段AB上的情况下图6-3根据主题，BQ=70-6t，CP=6t-40在BQ=CP的情况下，四边形QPBC是矩形即，70-6t=6t-40解答： t=即，在t=时，四边形QPBC是矩形.问题7 .如图7-1所示，在ABC中，ACB=90，的垂直二等分线DE是d，AB是e，f是DE的延长线上，而且AF=CE(1)求证据：四边形ACEF是平行四边形(2)b满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？ 请回答并证明你的结论图7-1【回答】看分析(1)证明： 651222222222000000EDB=90，BD=DC，另外ACB=90HHB HKe在AB的中点在RtABC中，CE=AE=BEaef=afe，然后BED=AEF喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓HHHHB此外，AAAAR=ce四边形ACEF是平行四边形(2)解： B=30时，四边形ACEF为菱形，理由如下因为B=30，所以BAC=60另外，因为EC=AE，所以AEC是等边三角形EC=AC，并且ACEF是平行四边形PS是菱形的因此在B=30时，四边形ACEF为菱形问题8 .如图8-1所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点p从点d向点a运动，在点a停止运动，同时点q从点b向点c运动，在点c运动时停止(1)t为什么取值，四边形ABQP是矩形？(2)t为什么是值的情况下，四边形AQCP是菱形？(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积。图8-1【回答】看分析(1)解：因为ABCD是矩形的。HB HB在AP=BQ的情况下，ABQP为矩形从问题： AP=12-2t、BQ=2t所以12-2t=2t解： t=3即，在t=3的情况下，四边形ABQP是矩形.(2)解：从题意来看： BQ=PD，从矩形的性质来看： AD=BC所以PS=PS另外HB HB四边形AQCP是平行四边形如果AQ=QC，则AQCP为菱形即AQ2=QC2在RtABQ中，从钩子定理AQ2=AB2 BQ282 (2t)2=(12-2t)2是解： t=即，在t=的情况下，四边形AQCP是菱形.根据(3)(2)，AP=12-2t=菱形AQCP的周长是菱形AQCP的面