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运用数值分析，课件制作：刘春凤，何亚丽，马兴华，杨爱民，绪论，第一章，研究数学问题，实际问题，数学模型，数值计算方法的理论，程序设计，计算机计算找出结果的方法和过程，以及，研究内容，是否可以根据计算机上的数学公式编程得到正确的结果？研究实例：求解线性方程，如将方程的系数四舍五入到两个有效数字，其解为x1=-6.222.x2=38.25.x3=-33.65.其精确解是：x1=x2=x3=1，函数的数值逼近，数值微积分，非线性方程的数值解，数值线性代数，常数和偏微分数值解等.等等.所提出的算法必须具有：可靠的理论分析；事实上，数值实验表明该算法是有效的，具有良好的计算复杂度和时间复杂度，这意味着节省时间。良好的空间复杂性_ _指节省存储空间。要准确；收敛性和稳定性；误差可以被分析或估计。数学分析(或微积分)，高等代数，数学软件，误差来源，第1节，(1)模型误差数学模型和实际问题之间的误差。实验：交通流问题的分析和建模：模型假设：(1)流入网络的总流量=流出网络的总流量；(2)所有流入一个节点的流量=所有流出该节点的流量。该问题满足10个变量的线性方程，(2)由观测引起的观测误差，已知的实验数据如下：根据数据找出4次拟合曲线。(3)截断误差_ _由简化问题(公式)的解生成的幂级数。例如：函数f(x)被泰勒多项式近似代替，而误差(也称为方法误差)。(4)舍入误差_ _数值计算过程中产生的误差，数值方法的截断误差是为了避免“故障误差”。数值计算中有各种各样的误差，可分为两类：(1)疏忽造成的误差，(2)非疏忽造成的误差，(2)在数值计算中不可避免的人为误差，注意，绝对误差，(3)第2节，相对误差，有效数，此外，通过舍入得到的数的误差不得超过，例如，毫米刻度的米刻度测量长度x，读出的数为123毫米， 这是x的近似值，其误差极限为0.5毫米，也就是说，它超过了所保留的最后一位数字(即最后一位数字)的半个单位，相对误差比绝对误差更能反映精确数字和近似值之间的差异。 绝对误差极限和相对误差极限是无限的，自然越小越好。误差估计的任务是提供一个良好的误差极限。对于任何近似值，如果获得了一个良好的误差极限，那么您可以确定这些数据是准确和可靠的！绝对误差极限和相对误差极限是唯一的吗？如果| e |=| x *-x | 0.510-k表示近似数字x精确到，则四舍五入后的数字都是有效数字。定义：小数点后第k位，从小数点后第k位到最左边非零位的所有数字都称为有效数字。数字越大，误差越小，计算结果越准确。x3=1.7320是其近似值。询问分别有多少个有效数字？例如，1.1，x1=1.73，x2=1.7321，第一个数字非零，误差限制不超过该位的半个单位。根据定义，上述5位有效数字的近似值分别为187.93、0.037856、8.0000和2.7183。注：8.000033的5位有效数字的近似值是8.0000，而不是8，因为8只有1位有效数字。根据四舍五入原则，写出下列数字的5位有效数字的近似值：187.9325，0.0378551，8.000033，2.7182818，示例1.2，解决方案：3.14159268979323846.例1.3，注，(1)有效位数与小数点位置无关；(2)有效数字越多，相对误差越小。例1.4，解决方案：确定绝对误差极限，你就知道有效位数，所以精确到小数点后2位，即取3位有效数字满足要求。第3节，数值计算中的误差传播，示例1.5，多元函数简化计算步骤和公式，尽量减少运算次数。该算法不稳定，因为当的舍入误差被传播时，误差将被乘以5倍，而当它被传播时，误差将被乘以。当n较大时，误差将淹没真实值。这个递归公式不合适。所以有一个估计公式，所以，粗略地说，可以得到另一个算法：这个算法是稳定的，因为它所引起的误差将在以后的计算过程中逐渐减小。解决方法：查表，例1.7，2。防止两个相似的数字相减(丢失过多的有效数字),并用右端的有限项替换左端。这表明当两个绝对值相差较大的数相加或相减时，绝对值较小的数可能会被绝对值较大的数吃掉，从而导致计算结果非常不可靠。找到二次方程x2-(109 1)x 109=0的实根。解决方案：使用因式分解方法，很容易得到两个根x1=109，x2=1。如果使用根公式，那么，例如1.9，3，防止大的数字吃十进制数，并且发现结果x1=109，x2=0是错误的。它可以改变如下：两个结果是不同的，因为计算机的加法和减法需要“顺序匹配”，而“顺序匹配”的结果使大的数吃掉小的数。这会导致错误。为了避免上述原因造成的计算结果的严重失真，根据一些具体情况，有必要将一些公式改写成另一种等价形式。两个数字都被写成绝对值小于1的数字，并且具有相同的顺序代码。在4个有效数字的限制下，计算：解，从左到右，逐个相加。如果你先计算，然后相加，绝对值越小，首先相加的数字越多，这可能会优化求和的准确性。大数字吃小数，例如，1.10。分母接近零的数字会产生溢出错误，从而产生大的错误。这时，你可以在做之前通过数学公式来简化计算。第四，接近零的数字被禁止用作除数。失真的原因是除数的绝对值远小于被除数的绝对值。例如1.11，如果你直接计算并逐项相加，你需要做4 3 2 1=10次，乘法和4加法。分析，如果你使用著名的秦算法，你只需要做4次乘法和4次加法。五、注意简化计算步骤，减少运算、乘法和n加法的次数。推而广之，秦算法：的一般形式可以计算为n次乘法和n次加法。解决方法是根据降幂排列给定多项式的系数，缺失的系数被认为是零。用Mathematica验证并不难！误差、模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差、绝对误差、相对误差和误差表达式的类型，定义1:个有效数字-如果| e |=| x *-x | 0.510-k是精确到第k位小数的近似值x，从第k位小数到最左边的非零数字的所有数字都是有效数字。定义2:将x的近似值x*设置为：算术、加法和减法、乘法、除法、乘法和除法的误差传播，算法的数值稳定性：(5)绝对值过小的数字不应用作除数。(1)应选择数值稳定性的计算方法；(2)简化计算步骤和公式，尽量减少运算次数；(3)合理安排操作顺序，防止大