2017_18学年高中数学第二章2.3空间直角坐标系课件北师大必修.pptx

3空间直角坐标系,3.1空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标,1.了解空间直角坐标系,会利用空间直角坐标系表示点的位置.2.利用空间直角坐标系求关于点、线、面的对称点的坐标.,1.空间直角坐标系(1)定义:在平面直角坐标系的基础上,通过原点O,再增加一条与xOy平面垂直的z轴,这样就建立了三个维度的空间直角坐标系,其中点O叫作原点,x,y,z轴统称为坐标轴,由坐标轴确定的平面叫作坐标平面.(2)画法:在平面上画空间直角坐标系时,一般使xOy=135(或45),yOz=90.名师点拨本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,然后让四指沿握拳方向旋转90指向y轴正方向,此时大拇指的指向即为z轴正向.也称这个坐标系为右手系.,【做一做1】下面表示空间直角坐标系的直观图中,是右手系的是()A.B.C.D.答案:C,2.空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中,用一个三元有序数组来刻画空间点的位置.空间任意一点P的坐标记为(x,y,z),第一个是x坐标,第二个是y坐标,第三个是z坐标.在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用一个三元有序数组(x,y,z)来表示;反之,任何一个三元有序数组(x,y,z),都可以确定空间中的一个点P.这样,在空间直角坐标系中,点与三元有序数组之间就建立了一一对应的关系.,空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),线段P1P2的中点为P0(x0,y0,z0),这个公式称为空间直角坐标系中的中点坐标公式,是平面直角坐标系中中点坐标公式的拓展.,【做一做2-1】点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在()A.y轴上B.xOy平面上C.xOz平面上D.yOz平面上答案:C【做一做2-2】在空间直角坐标系中,x轴上的点的坐标可记为()A.(0,b,0)B.(a,0,0)C.(0,0,c)D.(0,b,c)答案:B,【做一做2-3】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则点B1的坐标是()A.(1,0,0)B.(1,0,1)C.(1,1,1)D.(1,1,0)答案:C,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】在空间直角坐标系中,作出点M(4,-2,5).解:方法一:依据平移的方法,为了作出点M(4,-2,5),可以按如下步骤进行:(1)在x轴上取横坐标为4的点M1;(2)将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向向左平移2个单位长度,得到点M2;(3)将点M2沿与z轴平行的方向向上平移5个单位长度,即可得到点M,如图所示.,题型一,题型二,题型三,题型四,方法二:以O为一个顶点,构造三条棱长分别为4,2,5的长方体,使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴的正半轴、y轴的负半轴、z轴的正半轴上,则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点M,图示略.方法三:在x轴上找到横坐标为4的点,过此点作与x轴垂直的平面;在y轴上找到纵坐标为-2的点,过此点作与y轴垂直的平面;在z轴上找到竖坐标为5的点,过此点作与z轴垂直的平面;则平面,交于一点,此交点即为所求的点M,图示略.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.若要作的点M(x0,y0,z0)的坐标有两个为0,则此点是坐标轴上的点,可直接在坐标轴上作出此点.2.若要作的点M(x0,y0,z0)的坐标有且只有一个为0,则此点不在坐标轴上,但在某一坐标平面内,可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点.3.若要作的点M(x0,y0,z0)的坐标都不为0,则需要按照一定的步骤作出该点,一般有三种方法:(1)先在x轴上取横坐标为x0的点M1;再将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向向左(y00)平移|y0|个单位长度,得到点M2;再将点M2沿与z轴平行的方向向上(z00)或向下(z00)平移|z0|个单位长度,即可得到点M(x0,y0,z0).,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)以原点O为一个顶点,构造棱长分别为|x0|,|y0|,|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0,y0,z0的符号一致),则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点M.(3)先在x轴上找到点M1(x0,0,0),过点M1作与x轴垂直的平面,再在y轴上找到点M2(0,y0,0),过点M2作与y轴垂直的平面,在z轴上找到点M3(0,0,z0),过点M3作与z轴垂直的平面,三个平面,交于一点,此交点即为所求的点M.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】在空间直角坐标系中,作出下列各点:A(-2,4,4),B(3,-4,2),C(4,0,-3).解:A(-2,4,4),B(3,-4,2),C(4,0,-3)的位置如图所示.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N为棱CC1的中点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.(1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标;(2)求点N的坐标.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:(1)显然A(0,0,0),因为点B在x轴的正半轴上,且|OB|=4,所以B(4,0,0).同理可得D(0,3,0),A1(0,0,5).由于点C在坐标平面xOy内,BCAB,CDAD,则点C(4,3,0).同理可得B1(4,0,5),D1(0,3,5),与点C的坐标相比,点C1的坐标中只有竖坐标与点C不同,|CC1|=|AA1|=5,则点C1(4,3,5).,题型一,题型二,题型三,题型四,反思建立空间直角坐标系要把握以下原则:尽可能选取互相垂直的三个平面的交点为原点,尽可能多地把点放在坐标平面或坐标轴上.在长方体中,通常以长方体的一个顶点为原点,以这个顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱长为1,建立适当的空间直角坐标系,并求点E,F的坐标.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.(1)求点B1关于平面xOy对称的点的坐标;(2)求点B1关于z轴对称的点的坐标;(3)求点B1关于原点对称的点的坐标.分析:坐标系已经给出,解答本题只需先求出点B1的坐标,在此基础上借助点关于点、线、平面的对称原则求解即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,易求得点B1的坐标为(a,a,a).(1)点B1关于平面xOy对称的点的坐标为(a,a,-a);(2)点B1关于z轴对称的点的坐标为(-a,-a,a);(3)点B1关于原点对称的点的坐标为(-a,-a,-a).,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于x轴对称的点的坐标是;关于xOy平面对称的点的坐标是;关于点A(1,0,2)对称的点的坐标是.,题型一,题型二,题型三,题型四,解析:点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴,z轴上的分量变为原来的相反数,所以点P关于x轴的对称点P1的坐标为(-2,-1,-4).点P关于xOy平面对称后,它在x轴,y轴上的分量均不变,在z轴上的分量变为原来的相反数,所以点P关于xOy平面的对称点P2的坐标为(-2,1,-4).设点P关于点A的对称点的坐标为P3(x,y,z),由中点坐标公式可得故点P关于点A(1,0,2)对称的点P3的坐标为(4,-1,0).答案:(-2,-1,-4)(-2,1,-4)(4,-1,0),题型一,题型二,题型三,题型四,易错点:由于建系不当而致误【例4】正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长均为1,建立正确的坐标系求点B的坐标时,下列建系方式正确的有()(1)以A1为原点,在平面A1B1C1内作A1C1的垂线为x轴,A1C1和AA1所在直线为y轴和z轴建立空间直角坐标系;(2)以A为原点,分别以AB,AC,A1A所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系;(3)以A1为原点,分别以A1B1,A1C1,A1A所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系;(4)取AC的中点O和A1C1的中点O1,可得BOAC,以O为原点,分别以OB,OC,OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.A.(2)(3)B.(2)(4)C.(1)(4)D.(3)(4),题型一,题型二,题型三,题型四,错解:选A或B或D错因分析:将(2)(3)误认为x轴和y轴垂直,实际上在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=B1A1C1=60,所以(2)(3)中的x轴与y轴不垂直,不符合空间直角坐标系的建系要求.正解:在空间直角坐标系中,三个坐标轴的位置关系是两两互相垂直,(2)(3)中x轴和y轴不垂直,(1)(4)中三个坐标轴两两互相垂直.故选C.答案:C,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=2,BAC=90,M是CC1的中点,Q是BC的中点,试建立空间直角坐标系,写出点B,C,C1,M,Q的坐标.解:因建系不同,所得各点坐标也不同,如以A为原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),M(0,2,1),Q(1,1,0).,12345,1.设A(2,-3,-1),B(4,7,1),则线段AB的中点在空间直角坐标系中的位置是()A.在y轴上B.在xOy面内C.在xOz面内D.在yOz面内解析:根据中点坐标公式可知,AB的中点坐标为P(3,2,0),故点P在xOy面内.答案:B,12345,答案:D,12345,3.已知点A(-3,1,-4),则点A关于原点的对称点A的坐标为()A.(1,-3,-4)B.(-4,1,-3)C.(3,-1,4)D.(4,-1,3)答案:C,12345,4.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M,则M关于原点的对称点是.解析:点M在xOz平面上的射影M的坐标为(-2,0,-3),M关