离散型随机变量的均值方差习题课

离散型随机变量的均值与方差的应用,一、离散型随机变量的均值和方差的概念,知识点梳理,若离散型随机变量X的分布列为,(1)均值称E(X)=_为随机变量X的均值或_.它反映了离散型随机变量取值的_.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,数学期望,平均水平,平均偏离程度,其中_为随机变量X的标准差.,(2)方差称D(X)=_为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的_,注：方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。,记作：,二、离散型随机变量的性质：,(1)E(aX+b)=_.(2)D(aX+b)=_.(a,b为常数),aE(X)+b,a2D(X),(1)若X服从两点分布,则E(X)=_,D(X)=_.(2)若XB(n,p),则E(X)=_,D(X)=_.,2.两点分布与二项分布的均值与方差,1.线性性质：,规律方法求离散型随机变量X的均值、方差的方法与步骤：(1)理解X的意义，写出X的可能取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由期望、方差的定义求E(X)，D(X)特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X),2.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)=_.,117,3.设随机变量则()A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45,A,小试牛刀,例1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望和方差;(3)求“所选3人中女生人数X1”的概率.,超几何分布,题型一、均值与方差的求法,练习：某运动员投篮的命中率为p=0.6.(1)求一次投篮时命中次数的均值与方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数的均值与方差.,解析：(1)投篮一次，命中次数的分布列为：,题型一、均值与方差的求法,故E=p=0.6,D=pq=0.60.4=0.24.,练习：某运动员投篮的命中率为p=0.6.(1)求一次投篮时命中次数的均值;方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数的均值与方差.,题型一、均值与方差的求法,故E=np=50.6=3.D=np(1-p)=50.60.4=1.2.,例2:设随机变量具有分布列P(=k)=k=1,2,3,4,5,求E(2+5),D(2-1),解析：,题型二、均值与方差性质的应用,E(2+5)=2E()+5=11.,是随机变量,则=a+b仍是随机变量,在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质,可以避免再求的分布列带来的繁琐运算.,点评：,D(2-1)=4D()=8,例3(湖北理)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,表示所取球的标号.(1)求的分布列、期望和方差；(2)若=a+b,E()=1,D()=11,试求a,b的值.解：(1)的分布列为,题型二、均值与方差性质的应用,(2)由D()=a2D(),得a22.75=11,即a=2.又E()=aE()+b,所以当a=2时,由1=21.5+b,得b=-2.当a=-2时,由1=-21.5+b,得b=4.,思考题：,基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的期望、方差,求的线性函数=a+b的期望、方差和标准差，可直接用的期望、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),可直接利用它们的期望、方差公式求解.,1.在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式.2.对于应用问题,必须对实际问题进行具体分析,一般要将问题中的随机变量设出来,再进行分析,求出随机变量的概率分布,然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差.,失误与防范,1.求离散型随机变量X的均值、方差的方法与步骤：,找出随机变量X的可能取值；写出随机变量X的分布列；,(2)由期望、方差的定义求E(X)，D(X)；特别地，若随机变量满足线性性质或服从两点分布、二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X),小结,2.均值与方差在实际生产、生活中的作用：,它反映了离散