对数公式的运算

对数公式的应用1.对数的概念如果a(a0，a1)的b的幂等于N，即ab=N，则数字b被称为N的以logaN=b为底的对数，其中a被称为对数的底，N被称为真数。根据定义：(1)负数和零没有对数；(2) A0和a1，N0；对数1=0，对数a=1，对数aN=N(对数恒等式)，对数a=b特别是，基于10的对数被称为普通对数，记录为log10N和lgN。基于无理数e的对数(e=2.718 28.)称为自然对数，表示为logeN和lnN.2.对数公式和指数公式的相互转换公式名称ab=N指数公式ab=N(基数)(指数)(幂值)洛根=b(底)(真)(对数)3.对数的性质如果a0，a1，M0，N0，则(1)LogA(MN)=LogAM LogA。(2)对数(M/N)=对数-对数。(3)对数=对数(nR)。问：(1)为什么我们要在公式中加入条件a0，a1，M0，N0？Logan=？(nR)(3)对数形式和指数形式的比较。(学生填写表格)方程ab=N，logaN=b名称：a-幂基数b-n-a-对数的底b-n-操作属性：aman=am naman=am-n(a0和a1，nR)LogMan=LogAm LogAn对数锰=对数=(nR) (a0，a1，M0，N0)难点和疑点的突破为什么必须在对数定义中指定 0和1？原因如下：(1)如果a 0，则n的一些值不存在，例如log-28=？(2)如果a=0，则当N0时，b不存在；当N=0时，b不是唯一的，可以是任何正数？(3)如果a=1，则当N1时，b不存在；当N=1时，b不是唯一的，可以是任何正数？为了避免上述情况，规定对数公式的基数为不等于1的正数？解决问题的方法和技巧1.(1)将下列指数公式写成对数公式：54=625；26=64；3x=27；13m=5.73。(2)将下列对数公式写成指数公式：log 216=4；log 2128=7；log 327=x；LG 0.01=-2；ln10=2.303；lg=k。分辨率由对数定义：ab=N，logan=b答案(1) log5625=4。 log264=6。log327=x，log135.73=m。解决问题的方法指数和对数表达式的交换必须而且只需要掌握对数的定义：ab=N logaN=b(2)24=16，27=128，3x=27，10-2=0.01，e2.303=10，10k=。2.根据以下条件分别计算X值：(1)log8x=-2/3；(2)log2(log5x)=0；(3)log x27=33 log 32；(4)logx(2 3)=-1。(1)分析对数指数公式，x=8-23=？(2)log5x=20=1。x=？(3)33log32=？27=x？(4) 2 3=x-1=1/x. x=？答案(1) x=8-23=(23)-23=2-2=1/4。(2)log5x=20=1，x=51=5。(3)logx27=33log32=32=6，x6=27=33=(3)6，所以x=3。(4) 2 3=x-1=1/x,x=1/(2 3)=2-3。解决问题的技巧(1)变换的思想是一个重要的数学思想。对数表达式与指数表达式密切相关。在解决相关问题时，通常会进行两种形式的转换。公式的熟练应用：对数1=0，对数a=1，对数=M，对数a=n3.给定logax=4，logay=5，求A=X5/12Y-1/3的值。分辨率：首先，如果我们知道对数公式的值并且需要指数公式的值，我们可以将对数公式转换成指数公式，然后使用指数公式的运算和求值。第二个想法是取指数公式两边相同基数的对数，然后用对数公式的运算来求值？回答：解1对数=4，对数=5，x=a4,y=a5，a=x(5/12)y(-1/3)=(a4)5/12(a5)-1/3=a5/3a-5/3=A0=1。解决方案2:取指数公式两边基于A的对数LogA=LogA(x(5/12)y(-1/3)=(5/12)logax-(1/3)logay=(5/12)4-(1/3)5=0，A=1.解决问题的技巧有时对数运算比指数运算更方便，所以以指数形式出现的表达式可以通过取对数转换成对数运算。4.设x和y为正数，xy1 lgx=1(x1/10)，求出lg(xy)的范围。一个方程包含两个变量x和y，对于方程确定的每个正数x，有一个唯一的正数y与之对应。因此，y是x的函数，因此lg(xy)也是x的函数。因此，寻找lg(xy)的值范围实际上是寻找函数值范围的问题。如何建立这种职能关系？我们也可以对已知方程的两边取对数吗？答案x0，y0，xy1 lgx=1，两侧对数：lgx (1lgx) lgy=0。即，lgy=-lgx/(1 lgx) (x1/10，lgx 1)。如果lgx=t，lgy=-t/(1t)(t1)。lg(xy)=lgx lgy=t-t/(1t)=T2/(1t)(t - 1)。(解题法则：在等式两边取对数是解决指数和对数表达式问题的常用而有效的方法；然而，变量替换可以将更复杂的问题转化为更简单的问题。)让S=t2/(1 t)得到t的方程t2-St-S=0，因为它必须有一个实数解。 =s24S0，以获得S-4或S0。因此，lg(xy)的范围是(-，-4) 0，)。5.评估：(1)lg25 lg2 lg50(lg2)2；(2)2 log32-log3(32/9)log38-52 log53；(3)设置lga lgb=2lg(a-2b)并找到log2a-log2b的值；(4)找到7lg20(1/2)lg0.7的值。分辨率：(1)25=52，50=510 .华颂lg2和lg5的关系。(2)成log32关系。(3) log2a-log2b=log2(a/b)是必需的。A和B之间的关系由已知的方程给出。a/b的值可以从它找到吗？(4)7lg20(1/2)lg0.7是两个指数幂的乘积，该指数包含普通对数。如果x=7lg20(1/2)lg0.7，能否先找到lgx，然后再找到x？溶液(1)原始配方=lg52 lg2lg(105) (lg2)2=2lg5 lg2(1 lg5) (lg2)2=lg5(2 lg2) lg2 (lg2)2=(lg(10/2)(2 lg2) lg2 (lg2)2=(1-lg2)(2 lg2) lg2 (lg2)2=2-lg2-(lg2)2 lg2 (lg2)2=2。(2)原始公式=2 log 32-(log 325-log 332)log 323-5 log 59=2log32-5log32 2 3log32-9=-7。(3)已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b0)，ab=(a-2b)2，即a2-5ab4b2=0。a/b=1或a/b=4，其中a0，B0。如果a/b=1，则a-2b0，a/b=1(省略)。a/b=4，log2a-log2b=log2(a/b)=log24=2.(4)如果x=7lg20 (1/2) lg0.7，则lgx=lg20lg7 lg0.7lg(1/2)=(1 lg2)lg7 (lg7-1)(-lg2)=lg7 lg2=lg14，x=14，原来的公式是14。问题解决法则(1)对数运算是以相同的基数进行对数运算的基础。对数算术是等式两边都有意义的恒等式。应用该算法进行对数变形时，应注意对数的真值范围是否发生变化。为了防止根添加，需要对其进行检查，如(3)。(2)先求公式的公共对数，再求原始公式的值是代数运算中的一种常用方法，如(4)。6.证明(1)logaN=logcN/logca (a0，a1，c0，c1，n0)；(2)loga blogbc=logac；(3)logab=1/logba(b0，b1)；(4)loganbm=(m/n)logab。分析：(1)假设logaN=b得到ab=N，两边取基于c的对数得到b得到b(logbc可以用基于a的对数代替吗？(3)使用(1)将对数替换为基于b的对数。(4)应用(1)以基于a的对数代替loganbm。回答：(1)如果logaN=b，那么ab=N，并且基于c的对数在两侧取：blogca=logcNb=logcN/logca.logaN=logcN/logca.(2)乘(1) logbc=logac/logab。所以loga blog BC=loga blog AC/loga b=logac。(3)乘(1) logab=logbb/logba=1/logba。问题解决法则在(1)中，logaN=logcN/logca被称为对数变基公式。(2)(3)(4)是(1)的推论，常用于对数运算和含有对数的方程的证明。对于改变对数基数的公式，既要善于使用，又要善于逆向使用。(4)by(1)Logan BM=loga BM/Logan=mlogab/nlogaa=(m/n)logab。7.给定log67=a，3b=4，找到log127.根据问题A的意思，B是一个常数。要找到对数127，就要用A，B来表示对数127，3b=4就是对数34=B。对数127可以先转换成基于6的对数，然后再转换成基于3的对数吗？答案是log67=a，log34=b，log127=log67/log612=a/(1 log62)。log62=log32/log36=log32/(1 log 32)。从log34=b，2log32=b。log32=b/2,log62=(b/2)/(1 b/2)=b/(2b)。log127=a/(1 b/(2b)=a(2b)/(2b)。解决问题的技巧使用已知条件来寻找对数的值是一种常见的方法和技巧，通常使用改变基数的公式和对数的算术来表示具有已知条件的对数。8.x，y，zR是已知的，3x=4y=6z。(1)找到满足2x=py的p值；(2)找出最接近P的整数值；(3)验证：(1/2)/y=1/z-1/x。分析：给出了已知条件下指数幂的关联方程。我们可以引入中间量m，然后用m分别表示x，y和z吗？我想知道指数公式能否用对数方法求解。回答：(1)解决方案一3x=4y，log33x=log34y，x=ylog34，2x=2ylog34=ylog316，p=log316.解决方案2假设3x=4y=m，取对数：xlg3=lgm，ylg4=lgm，x=lgm/lg3,y=lgm/lg4,2x=2lgm/lg3,py=plgm/lg4.从2x=py，得到2 GM/lg3=plgm/lg4。p=2lg4/lg3=lg42/lg3=log316.(2)2=log39， 3-p=log327-log316=log3(27/16)，p-2=log316-log39=log3(16/9)，而27/1616/9和31的真数大于对数p-23-p，p2.5离p最近的整数是3。解决问题的想法(1)提倡一个问题的多种解决方案。不同的思想和方法，应用不同的知识或灵活应用相同的知识，不仅能传播思维，还能提高分析和解决问题的能力。为什么不呢？(2)包括比较两个对数的大小。这是两个基数相同的对数之比。由于以31为底，大实数的对数很大。问题变成了比较两个真实数字的大小。对数函数的单调性在这里被提前应用，以鼓励学生提前学习并积极学习。(3)解的阶3x=4y=6z=m，因为x，y，zR，k1，则x=lgm/lg3，y=lgm/lg4，z=lgm/lg6。so 1/z-1/x=lg6/lgm-lg3/lgm=(lg6-lg3)/lgm=lg2/lgm，(1/2)/y=(1/2)lg4/lgm=lg2/lgm，因此，(1/2)/y=1/z-1/x。解决方案2 3x=4y=6z=m，然后有3=m1/x，4=m1/y，6=m1/z，(3)/，m1/z-1/x=6/3=2=m (1/2)/y。1/z-1/x=(1/2)/y.9.已知正数a、b满足a2b2=7ab。验证：logm(ab)/3=(1/2)(logmmalogmb)(m0和m 1)。分辨率：(1) a0、b0、A2B2=7AB是已知的。证明