排列组合归纳总结

排列、组合及二项式定理一、计数yi 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 1.分类加法计数原理定义完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么，完成这件事情共有Nm1+ m2+mn种不同的方法2分步乘法计数原理定义完成一件事情需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法,那么完成这件事共有Nm1 m2mn种不同的方法3分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系联系；都涉及完成一件事情的不同方法的种数区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成4. 分类分步标准 分类就是一步到位，(1)类与类之间要互斥；（2）总数完整。 分步是局部到位，（1）按事件发生的连贯过程进行分步；（2）步与步之间相互独立，互不干扰；（3）保证连续性。 排列与组合1排列（1）排列定义：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（2）排列数公式：A=n(n1)(n2)(nm1)或写成A.特殊: An n=n!=n(n-1)!（3）特征：有序且不重复2.组合（1）组合定义：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（2）组合数公式：C=或写成C.(3)组合数的性质CC；CCC.（4）特征：有序且不重复3.排列与组合的区别与联系： 区别：排列有序，组合无序联系：排列可视为先组合后全排4.基本原则：（1）先特殊后一般；（2）先选后排；（3）先分类后分步。排列组合的应用（常用方法：直接法，间接法）1.抽取问题：（1）关键：特殊优先；（2）题型： 把n个相同的小球，一次性的放入到m个不同的盒子中（nm），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Cmn 把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中（nm），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Amn 把n个相同的小球，放入到m个不同的盒子中（nm），每个盒子放球数目不限，有多少种不同的方法？mn 把n个不同的小球，放入到m个不同的盒子中（nm），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Amn 把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中（nm），每个盒子至多1个，有多少种不同的方法？Cn-1m-1 隔板法2.排序问题：特殊优先（1）排队问题： 对n个元素做不重复排序Ann; 对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定）排列;如果对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定,k个元素的位置固定）排列; 相邻问题捆绑法(注意松绑);不相邻问题:(a)一方不相邻先排没要求的元素,再把不相邻的元素插入空位; (b)互不相邻先排少的在插入多的;(2)数字问题;各位相加为奇数的-奇数的个数是奇数;各位相加为偶数的-奇数的个数是偶数;组成n为偶数(奇数)的数-特殊优先法;能被n整除的数-特殊优先法;比某数大的数,比某数小的数或某数的位置-从大于(小于)开始排,再排等于;(3)着色问题:区域优先-颜色就是分类点;颜色优先-区域就是分类点.(4)几何问题:点、 线、 面的关系一般均为组合问题；BA 图中有多少个矩形 C62 C42;从A到B的最短距离 C83(5)分组、分配问题：非均分不编号;n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽-非均分编号;n个不同元素分成m组，每组组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽均分不编号;n个不同元素分成m组，其中有k组元素数目均相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽均分编号;n个不同元素分成m组，其中有k组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽二、二项式定理1.定理：(ab)nCanb0Can1bCan2b2CanrbrCa0bn(r0,1,2，n)2.二项展开式的通项Tr1Canrbr，r0,1,2，n，其中C叫做二项式系数3.二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即CC，CC，CC，.最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数 ， 相等，且同时取得最大值各二项式系数的和aCCCCC2n；bCCCCCC2n2n1.二项式定理的应用： 1.求通项; 2.含xr的项： 项的系数；二项式系数。3.常数项（含xr的项中r=0）整数项（含xr的项中rN）有理项（含xr的项中rZ）无理项（含xr的项中rZ）4.项的系数和：（1）已知多项式f(x)=(a+bx)n(a,b0)=a0 +a1x+a2x2+anxn: a0 =f（0） a0 +a1+a2+an = f(1)= (a+b)n; |a0 |+|a1 |+|a2 |+|an |= f(1)= (a+b)n;a0 +a2+a4+=a1 +a3+a5+=(a0 +a2+a4+)2-( a1 +a3+a5+)2=f(1)f（-1）。（2）已知多项式f(x)=(a-bx)n(a,b0)=a0 +a1x+a2x2+anxn: a0 =f（0） a0 +a1+a2+an = f(1)= (a-b)n; |a0 |+|a1 |+|a2 |+|an |= f(-1)= (a+b)n;a0 +a2+a4+=a1 +a3+a5+=(a0 +a2+a4+)2-( a1 +a3+a5+)2=f(1)f（-1）。(3) 已知多项式f(x)=(ax-b)n(a,b0)=a0 +a1x+a2x2+anxn:令g(x)=（-1）n(b-ax)n a0 =f（0） a0 +a1+a2+an = f(1)= (a-b)n; |a0 |+|a1 |+|a2 |+|an |=|(-1)n|g(-1)a0 +a2+a4+=a1 +a3+a5+=(a0 +a2+a4+)2-( a1 +a3+a5+)2=f(1)f（-1）。(4) 已知多项式f(x)=(-ax-b)n(a,b0)=a0 +a1x+a2x2+anxn:令g(x)=（-1）n(ax+b)n a0 =f（0） a0 +a1+a2+an = f(1)= (a-b)n; |a0 |+|a1 |+|a2 |+|an |=|(-1)n|g(1)a0 +a2+a4+=a1 +a3+a5+=(a0