傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别与联系

傅立叶变换和拉普拉斯变换的差异和联系摘要通过复函数的学习，我基本上理解傅立叶变换和拉普拉斯变换的基本理论知识，他们知道在数学、物理和工程技术等领域中有广泛的应用，傅立叶变换和拉斯变换有很多相似之处，可以解决广义的积分、微分积分方程式、偏微分方程、电路理论等问题。 以下，通过比较研究他们，能更清楚地认识他们。关键词：两种积分变换积分和微分方程电路理论正文(1)前言：1、傅立叶变换和拉普拉斯变换都是积分变换，是两种常见的数学变换手段。 积分变换是通过积分运算将一方函数变换为另一方函数的变换，发挥使复杂的函数运算成为单纯的函数运算的作用，当选择不同的积分区域和变换核时，能够得到不同名称的积分变换，傅立叶变换和拉普拉斯变换能取得不同的积分区域和变换核。2、傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例。 拉普拉斯变换是将时域信号变换为“复频域”，与变换的“频域”不同。 拉普拉斯变换主要用于电路分析，成为求解微分方程式的强大工具(将微积分运算转换为乘法运算)。 傅立叶变换随着FFT算法的发展作为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。(2)提出问题：众所周知傅立叶变换是拉斯变换的特例，如何用例子进一步说明他们的关系，如何解决积分、微分方程和电路问题？(3)解决问题：傅立叶变换和拉普拉斯变换的性质有很多相似点，所以两者在解决问题时也有很多相似点，另外，傅立叶变换的积分区间有(-，)，拉斯变换的积分区间有(0)、两者在不同的区域中各自的应用。 以下，通过几个具体例子，对两个变换的应用进行一些研究3.1求解两个积分变换的积分、微分方程的应用例1解积分方程式其中有已知的函数，也存在和的傅立叶变换。分析：这个积分方程式中的积分区间是，所以必须首先考虑用傅立叶积分变换法来解。 积分项是与函数的卷积，通过对方程式的两侧进行傅立叶变换，可以利用卷积的性质简单地解决这个问题。解：假设从卷积定义中知道。 因此，可以通过对原来积分方程式的两侧进行傅立叶变换来得到因此。傅立叶逆变换求原积分方程的解同样，应用拉普拉斯变换的卷积的性质也可以用于解积分方程式。例2求积分方程式的解分析：考虑到该积分方程中的积分区间是拉斯变换卷积性质中函数的积分区间，如果在原方程两侧进行拉普拉斯变换，可以应用相应的卷积性质求出该积分方程的解。解：在、元方程式两侧进行拉普拉斯变换，从卷积定理中得到整理好了如果进行那个逆变换就能得到，这就是原积分方程式的解。例3解线性方程式分析：利用傅立叶变换和拉式变换性质的微分性质，将微分方程式变换为像函数一样的代数方程式，可以解决问题。 但是，要用傅立叶变换来解决问题，包括出现的函数在内必须满足绝对积()的条件。 但是，本问题的、因为不满足这个条件，所以不能用傅立叶变换来解。 我们用拉斯变换解这个方程式。解：设方程式进行拉氏变换而得到能解开，为了拉氏逆变换原来方程式的解。3.2两个积分变换在电路理论中的应用在图4所示的RL电路中，求出开关s闭合后的电路中的电流。解：根据基尔霍夫电压定律得到的电路方程式是代入数值，简化该方程是一次非齐次线性微分方程，用高等数学知识解，求出与其对应的齐次方程的解和非齐次方程的解。 求解顺序很复杂，在此首先用傅里叶变换法求解。 假设是从傅立叶变换的微分性质中得到的。 另外(时电压为0的情况)，代入上述方程式而得到整理好了对上式进行傅立叶变换而得到这是电路的电流。1这个方程式也可以用拉斯变换法来解。 假设从拉斯变换的微分性质中得到。 对简化方程式的两侧进行拉氏变换而得到整理好了对上式进行逆变换而得到的电路中的电流可知用傅立叶变换和拉式变换两种方法求出的结果完全相同。在诸如信号与系统、电路分析等课程中经常遇到各种信号的问题，但是傅立叶变换方法通常适用于连续时域分析，该方法也被称为频域分析法，该方法被称为系统的复频域分析，该方法的应用范围很宽，且在相当长的时间内适用于电路理论和斜坡下面举两个用拉斯变换法解决电路问题的例子如图5所示，电路在完全耦合互感电路、互感量、电阻、电压和开关s闭合之前。 求开关闭合后电路的电流。图2解：根据基尔霍夫电压定律，电路的微分方程可以列举如下代入数据。这个方程式是二项一次微分方程，因为用高等数学的知识很难得出结果，所以在这里用拉斯变换法来解。 指令，在上述微分方程组两侧取拉斯变换，可以考虑初始条件能解开对其进行拉逆变换，得到的电路中的电流扩大应用傅立叶变换广泛应用于物理学、数学、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构力学等领域。 举例来说，在信号处理中，傅立叶变换的典型应用能够通过将信号分解为振幅分量和频率分量并应用拉普拉斯变换来求解常数一次微分方程来将微分方程变换为代数方程，从而解决问题。 拉普拉斯的工程学重要意义是将一个信号从时域转换到复频域来表达，在线性系统中，广泛应用于控制自动化。总结。通过半个多月的资料收集，我对复函数有了比较全面的了解，也了解了复函数在实际生活中的应用，特别是拉普拉斯变换和傅立叶变换的应用，解决了我们日常生活中无法解决的问题，对物理、数学和一些工程技术的发展起到了促进作用，为复通过写这篇论文我觉得收获很多，不仅提高了知识面，还教我如何自己解决问题，锻炼自己学习的能力，相信今后写方面一定提高了。道谢这篇论文的写，只有我一个人的努力是不够的，在学习复杂函数的过程中，秦老师耐心地教我，各门课都被认真对待，我们不理解的问题耐心地解释，这让我们每个人都很感动，这样不安的老师和我们一起他教我的不仅仅是知识，还有对事物的态度，感谢一直在我身边的同学们，我在写论文的时候遇到了很多问题。 比如，正式写的，不懂知识的事情，他们