2025年高考数学试题分类汇编：等式不等式试卷+解析

专题04等式与不等式

•Ml

2025高考真题

一、单选题

X—4

1.（2025・全国二卷•高考真题）不等式—22的解集是（）

x-l

A.{x|-2<x<l}B.{x\x<-2}

C.{x|-2<x<l}D.{x\x>1)

2.（2025・北京・高考真题）已知q>0,6>0,则（）

11、1

A.a2+b2>2abB.-+->—

abab

112

C.a+b>sjabD.-+-<-F=

ab7ab

二、填空题

3.（2025・上海•高考真题）不等式二<0的解集为

4.（2025・上海•高考真题）设”,6>0,a+：=l,则6+工的最小值为________.

ba

5.（2025・天津・高考真题）若。,6eR,对Vxe[-2,2],均有（2a+6）f+6尤-a-1V0恒成立，则2a+6的最

小值为_______

...・

2025高考模拟题

一、单选题

1.(2025•四川德阳•二模)已知集合/=集合3=卜卜2+苫-240},则/口8=()

A.[-2,3]B.[-15C.(-1,2]D.(-1/]

2.(2025•北京海淀•二模)设。、b、CGR,abcw。,^a>b>c,贝I」()

ab入bc>

A.—I—>2B.-F—<2

bcab

C.2a>b+cD.a+b>c

1/13

3.（2025•山东荷泽•二模）已知a>l,b>l,且"=4,则logzHog?®的最大值为（）

A.-B.1C.4D.16

4

4.（2025・广东汕头•三模）己知。>0,b>0,。+,=1,则工+6的最小值是（）

ba

A.1B.2C.4D.8

5.（2025•黑龙江佳木斯・三模）已知正数》,V满足2*4=4%则2x+y的最小值是（）

9

A.272B.9C.-D.13

2

6.（2025・湖南•三模）已知点（加,〃）是函数y=xT在第一象限内的图象上的一点，则&的最小值为（）

mn

A.4B.3C.2D.1

7.（2025•四川攀枝花•三模）已知。乃ER,下列命题中正确的是（）

A.若“6=1,则Q+ZJ>2B.若贝I」tana—tan6〉0

C.若a>b,则ln（q—b）>0D.若Q>6>0,贝！JQH—>b-\—

ba

8.（2025•重庆♦三模）已知工2+/=212/（孙。0）,贝|J2—J—9j?的最大值为（）

A.6B.-6C.8D.-8

二、多选题

9.（2025•山东临沂・二模）已知则下列不等式正确的是（）

A.——<—B.ab2>cb2C.a+b>cD.a1+c2>b2

a-ca-b

10.（2025・河南・三模）已知Iog2〃〉log2b，。为实数，则下列不等式正确的是（）

A.I.B.ac2>be2C.—+—>2D.a-sina<b-sinb

a‘°ba

11.（2025・浙江・三模）已知Q>0,b>0,则下列说法正确的是（）

A.若Q6=Q+6+3,则仍29

B.小+―J的最小值为i

a+3

C.若a+b=9,则非+£的最小值为8

ab

D.若G+JS*Jk1a+b恒成立,则左的最小值为石

三、填空题

12.（2025・上海浦东新•三模）设x为实数，则不等式二20的解集是_________.

5-x

2/13

2x+l

13.（2025•北京•三模）不等式的解集为

3x-3

14.（2025・江西•二模）已知x〉0,y>0,2x+y=4x2y3,则'的最小值为_____.

xy

15.（2025・江西・二模）已知对任意的x<0,不等式（办-4乂/+6）20（〃/"）恒成立，则「一台的取值集

合为.

3/13

专题04等式与不等式

•Ml

2025高考真题

一、单选题

X—4

1.（2025・全国二卷•高考真题）不等式々22的解集是（）

x-1

A.{x|-2<x<l}B.{x\x<-2}

C.{x|-2<x<l}D.{x\x>1）

【答案】C

【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.

【详解】士卜2即为叶即］（X：2）,T）V0,故一2£X<1,

x-1x-11x—lwO

故解集为卜2,1）,

故选：C.

2.（2025•北京•高考真题）已知则（）

,,11、1

A.a'+b2>2ahB.—+—>—

abab

1—112

C.a+b>4abD.—+-<—/==

ab7ab

【答案】C

【分析】由基本不等式结合特例即可判断.

22

【详解】对于A,当。=6时，a+b=2ab9故A错误；

对于BD,取。=不6=:，此时qb11ab，

24-x-

24

，，2

—1+—1=2-+4=6>

ab赤，故BD错误;

对于C,由基本不等式可得a+62故c正确.

故选：C.

二、填空题

4/13

3.（2025・上海・高考真题）不等式二<0的解集为________.

x-3

【答案】（1,3）

【分析】转化为一元二次不等式（x-l）（x-3）<0,解出即可.

【详解】原不等式转化为（尤-1）（尤-3）<0,解得i<x<3,

则其解集为（1,3）.

故答案为：（13）.

4.（2025•上海•高考真题）设>0,。+?=1,则6+"1■的最小值为_________.

ba

【答案】4

【分析】灵活利用T”将6+，="+」1+口展开利用基本不等式计算即可.

aya八bJ

【详解】易知6+，=,+，]（4+口=仍+--F2>2.pb--~F2=4,

ayab）ab\ab

当且仅当M=l,即。=上6=2时取得最小值.

故答案为：4

5.（2025・天津・高考真题）若对VX£[-2,2],均有（2a+Z?）X2+反一〃一1W0恒成立，则2〃+6的最

小值为_______

【答案】-4

【分析】先设t=2a+6,根据不等式的形式，为了消。可以取x=-g,得到d-4,验证"T时，。/是

否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.

【详解】设f=2a+6,原题转化为求t的最小值，

原不等式可化为对任意的-2Wx«2,tx2+（/—2tz）x—<2—1<0,

不妨代入工=-；，得?-；（/-2。）一4一1W0,得,2一4,

当£=-4时，原不等式可化为-4—+（―4-2q）x-a-1W0,

即一2x+（；a+l]]+124（），

1

观察可知，当。=0时，-（2%+1）9W0对-2«x«2一定成立，当且仅当x=-e取等号，

此时，。=0,6=-4,说明"-4时，均可取到，满足题意，

故t=2a+b的最小值为-4.

故答案为：-4

5/13

・m

2025高考模拟题

一、单选题

1.(2025•四川德阳•二模)已知集合/=集合3=卜|/+工-2叫，则/口8=()

A.[-2,3]B.[-15C.(—1,2]D.(—1,1]

【答案】D

【分析】先分别解分式不等式和一元二次不等式求出集合45,再求两集合的交集即可.

【详解】由士|《0,得『[)(：+1)40,解得_i<xV3,

x+11x+lwO

所以4={x|-l<x43},

由f+x-ZWO,得(x—l)(x+2)<0,解得-2<x<1,

所以2=3-2K1},

所以如8=(-15.

故选：D

2.(2025•北京海淀•二模)设〃、b、ceR,abc^O,S.a>b>c,则()

ab0bcA

A.—+->2B.—+-<2

bcab

C.2a>b+cD.a+b>c

【答案】c

【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项.

【详解】对于A选项，不妨取。=2,6=1,c=-^,贝畔+2=2-4=-2<2,A错；

4bc

_bc

对于B选项，不妨设a=-l,b=-2,c=-6,贝!]—+:=2+3=5>2,B错；

ab

对于C选项，因为。>6>c,由不等式的基本性质可得2a>6+c,C对；

对于D选项，不妨设a=-l,b=-2,c=-2.5,贝!Ja+6=-3<-2.5=c,D错.

故选：C.

3.(2025•山东荷泽•二模)已知。>1,b>l,且。6=4,则logaalog/的最大值为()

A.7B.1C.4D.16

4

【答案】B

6/13

【分析】由基本不等式结合对数运算性质即可求解.

【详解】4加其产2。产61[警[=],

当且仅当1隰。=1幅6=1，即。=6=2时取等号，

故选：B

4.（2025・广东汕头•三模）己知。>0,b>0,。+,=1,则工+6的最小值是（）

ba

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.

【详解】因为。〉0,6>0,。+[=1,

b

所以工+b=|tz+—|=2+--\-ab>2+2.--ab=4,

a14八切ab\ab

当且仅当1=时，即。=工，6=2时取等号.

ab2

故选：C

5.（2025•黑龙江佳木斯・三模）已知正数》,歹满足2、・#=4孙，则2x+y的最小值是（）

a

A.272B.9C.-D.13

2

【答案】C

【分析】由2,4=4"可得;+上=1，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可.

2yx

【详解】由2*・4,'=4%则2，">=22%即x+2y=2孙则

^fl^2x+j=（2x+j）f-!-+->|=-+^+|>2B^+|=9

\2yxJyx2\yx22

当且仅当'=1，即》=>=:时等号成立，

yx2

9

所以2x+y的最小值是

故选：C.

6.（2025・湖南•三模）已知点（加,〃）是函数y=在第一象限内的图象上的一点，则4的最小值为（）

mn

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

7/13

【分析】由题意得出m>0,〃>0且〃=上1，利用基本不等式可求得1上+4之的最小值.

mmn

【详解】由题意可知，m>0,〃>0且有〃="尸=工，所以工+3=_1+4机22、也=4,

mmnm\m

\1

47/2=——114

当且仅当加时，即当加=：时，等号成立，故土+?的最小值为4.

A2mn

故选：A.

7.（2025•四川攀枝花•三模）已知4,6ER,下列命题中正确的是（）

A.若ab=l,则〃+B.若贝Utano-tanb〉。

C.若a>b,则ln（q-b）>0D.若〃〉b〉0,贝+

ba

【答案】D

【分析】利用特殊值判断A、B、C,根据函数的单调性判断D.

【详解】对于A：当。=-2,b=-]-,满足仍=1,但是“+6=-：<2,故A错误；

22

对于B：当。=兀,6满足但是tana—tanb=tan兀一tang=-\/J<0,故B错误；

对于C：若。=1,b=0,满足。-6>0,但是ln（a-6）=0,故C错误；

对于D：因为y=x与了=-工在（o,+“）上单调递增，

所以y=x-l在（0,+司上单调递增，

X

若a>b〉0,贝！I。—>b——,所以Q+：>bH—,故D正确.

abba

故选：D

8.（2025・重庆•三模）已知/+/=2/「（孙A。），贝1J2—%2一9丁的最大值为（）

A.6B.-6C.8D.-8

【答案】B

【分析】本题主要考查代数最值的求解方法，涉及代数式的变形、均值不等式应用.

【详解】由/+/=2//370）,两边除以苫2必，得：4+4=2,目标为求29好的最大值,

yx

2---9/=2-（/+9/）的最大值，即求一+犷的最小值，

11

将，+旷结合变形沏1+9月•”展开计算:

8/13

11

由均值不等式〃+

yX

『=6,因此：》2+9丁1（10+6）=8（当且仅当，当即f=3/时取等号）.

则:3+”

目标式最大值：2-x2-9y2=2-(x2+9y2)<2-8=-6.

故选：B.

二、多选题

9.（2025•山东临沂•二模）已知。>6>c,则下列不等式正确的是（）

A.<—^-―B.ab2>cb2C.a+b>cD.a2+c2>b2

a—ca-b

【答案】AD

【分析】对于A,可以用作差法判断，对于BC,举反例判断即可，对于D,分6>0/=0,6<0三种情况讨

论即可判断.

11（a-b\-（a-c\c-b

【详解】对于A,----------=----一日二7-----w一云，因为〃

a-ca-bya-c）ya-b）ya-cjya-b）

所以c-b<0,a-c>0,a-b>0,即T_—<0,所以,〈工，故A正确；

^a-c）［a-b）a-ca-b

对于B,取a>b=0>c,此时〃62=必2=（）,故B错误；

对于C,取。=-1>6=-2>。=-3,贝!）。+6=。=-3,故C错误，

对于D,若a>b=0>c,贝!）Q?+°2=o显然成立，

若a〉b〉0〉c,贝!J/+H>〃2〉〃成立，

若〃>0>b>c,贝!IQ2+C2>02〉/成立，

综上所述，只要a>b>c,就一定有/+c2>b2,故D正确.

故选:AD.

10.（2025・河南・三模）已知log2a>1。82人，c为实数，则下列不等式正确的是（）

A.2、z.2B.ac2>bc~C.-I—>2D.a—sina<b-sinb

">°ba

【答案】AC

【分析】由题意可得。>6>0,利用不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可.

【详解】由题意可得。>6>0,

A项:由丫_£单调递增，知故选项A正确；

y—ci>u

9/13

B项:c=0时选项B不正确;

C项:由a>6>0,贝岭+42上e=2,当且仅当°=6时等号成立，•••°>6>0,.•.等号不成立，故选项C

baa

正确;

D项:构造函数了=<r-sinx,j/=1-cosx20，；•V=x-sinx单调递增，又。>6>0,得a-sina>b-sinb,

故选项D不正确.

故选:AC.

11.(2025•浙江・三模)已知。>0,b>0,则下列说法正确的是()

A.若a6=a+6+3,则06W9

B./+二二的最小值为1

a+3

C.若a+b=9,则生+£的最小值为8

ab

D.若&+V.Ja+6恒成立,则上的最小值为方

【答案】AC

【分析】利用基本不等式求解A,利用基本不等式的取等条件判断B,利用基本不等式结合“1”的代换判断

C,先分离参数，再对与球平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到人的最小值判断D即可.

y/a+b

【详解】对于A,ab=a+b+3>2^b+39当且仅当Q=6=3时取等号，

即(4K-3)(4F+1)20,得到V^K-320,解得故A正确;

a2+^—4

对于B,-3>2(a2+3)-3=4-3=],

a2+3a2+3

A

当且仅当/+3=二三，即/+3=2时取等号，显然。的值不存在，故B错误;

/+3

――„e、，,4(a+6)a4ba

对于C,因为a+6=9,所以一^-----+-=4A+—+-,

abab

由基本不等式得4+—+->4+2/—x-=8,

abyab

当且仅当竺=:时取等，此时解得。=6,6=3,

ab

则生+：的最小值为8,故C正确,

ab

对于D,因为&+亚W左^恒成立，且。>0,b>Q,

所以上2画恒成立，而(jj±V^)2="56+27^

yja+byja+ba+b

10/13

_a+6+46+2J5ab_XN*a

=-------------------------1+-----a--------------，

a+b1+—

a

UCT「

令仁*>o,则i+i+?‘a可化为］+*?+2向,

2

\al+b\+t

a

令切=40+2卢，贝［］机（i+/）=4r+2班,，

1+r

化简得（优-4）/-2阪+〃?=0,

而该一元二次方程一定有实数根，得到（-2追了-4双机-4）>0,

解得济当加=5时，t=V5>0>

故加+1W6,故1+”/2工^46即与受

1+£yja+b

a

得到左2几，则上的最小值为C，故D错误.

故选：AC

三、填空题

12.（2025・上海浦东新•三模）设x为实数，则不等式二±±0的解集是__________.

5-x

【答案】［2,5）

【分析】根据分式不等式解法求解即可.

【详解】因为再NOn［，一2）『），。,

5-x15-"0

解得2W且xw5,BP2<x<5,

所以不等式手>o的解集是［2,5）.

5-x

故答案为：［2,5）

13.（2025•北京•三模）不等式”41的解集为______.

3%-3

【答案】（-*l）u［4,+a>）

【分析】先化不等式为=20,根据分式的符号得到不等式等价于］¥一?（?一3）'°,解不等式组即可