第1章_线性空间与线性变换.ppt

第1章线性空间与线性变换,1.1线性空间,定义1.1.1设是非空集合，P是数域.在中定义了两种代数运算，1.加法:就是给定了一个法则“+”，对于中的任意两个元素，在中都有唯一的元素与它们对应称为与的和，记为,加法运算满足以下四条规则：；V中存在一个元素“0”，满足，其中，称“0”是V的零元素；对任一，存在，使得，称是的负元素；,2.数乘:就是给定了一个法则,对V中任一元素和数域P中任一数k，在V中都有唯一的元素与它们对应称为与k的数乘，记为,数乘满足以下两条规则：,数乘和加法满足以下两条相容性规则：,对加法、数乘两种运算满足条规则的非空集合V，称为定义在数域P上的线性(向量)空间，V中的元素称为向量.例1.1.1例1.1.2例1.1.3例1.1.4例1.1.5,注意：数域、两种运算如何定义的影响,定理1.1.1,1.1.2基、坐标,定义1.1.2设是线性空间V中的非空子集合，方程(1.1.1)如果仅有平凡解，称S是线性无关的；如果方程有非平凡解，则称S是线性相关的。,例1.1.6例1.1.7,定义1.1.3设在数域P上的线性空间V中有非空子集满足以下条件:是线性无关向量组；中任一向量都是中向量的线性组合.称是的一个基（底），称为的基向量，中向量的个数，称为线性空间的维数,记为。,维数是n的线性空间V称为n维线性空间，记为假如V中存在任意多个线性无关的向量时，称V为无限维线性空间.如果是的一个基，那么对于V中的任一向量可写成的线性组合.注：定义1.1.3描述的基在线性空间中不唯一.,定义1.1.4设是线性空间的一个基（底），是中的一个向量，而且(1.1.4)称是向量在基下的坐标，且.,定理1.1.2在n维线性空间中，任一向量在一个基下的坐标唯一.,这说明，当线性空间的基S取定后，中任一个向量的坐标是确定的,即假设是的一个基，是中的一个向量，就有与之间的一一对应，因此当基确定以后，我们常常用坐标来代替向量.记,定义1.1.5设与同为域上的两个线性空间，若与的元素之间可以建立一一对应关系，即，且当时，有称在数域P上的线性空间与是同构的，并且称这种对应关系是与的同构对应.显然，数域P上的任何n维向量空间与同构.例1.1.8例1.1.9,1.1.3基变换与坐标变换,(1)基变换,和是线性空间的两个基,由于也是中的向量，所以可以用的线性组合表示.设：（1.1.9）,上式用矩阵可以写成(1.1.10),(1.1.9)式称为中两个基的变换公式.矩阵P称为从到的过渡矩阵.由于和都是线性无关向量组，所以P是可逆矩阵即,过渡矩阵P的第j列是在S下的坐标向量.例1.1.10,（2)向量的坐标变换,定理1.1.3设向量，在基下的坐标是;在基下的坐标是假设从到的基满足关系式(1.1.10)，那么坐标x与y满足关系式,(1.1.11),即(1.1.12)例1.1.11例1.1.12,1.2线性空间的子空间,1.2.1线性子空间,定义1.1.2设W是线性空间V的非空子集，如果W对V中所定义的加法和数乘两种运算满足以下条件：如果，则；如果，则则称W是V的线性空间的子空间.,容易验证，线性子空间W也是线性空间。,线性空间V和由单个零向量构成的非空子集0都是V的子空间.0称为V的零子空间；V和0叫做线性空间V的两个平凡子空间，其他子空间叫做非平凡子空间.,图1.2.1中直线l，平面是的两个线性子空间，而在图1.2.2中由于直线m和平面不含原点所以不能形成的子空间。,图1.2.1,图1.2.2,由于零子空间不含线性无关的向量，因此没有基，它的维数规定为零。而对于V的其它的子空间，由于它的线性无关的向量个数不可能比整个线性空间线性无关的向量个数多，所以子空间的维数比原空间的维数小，即,下面讨论子空间的生成问题。,设是数域P上的线性空间V中的一个向量组，在P中任取m个数，做S中向量的线性组合(1.2.1)显然，这样全体的集合，我们表示成,容易验证，W对V中定义的加法和数乘运算是封闭的，所以W是V的线性子空间.这个子空间称为由V中向量生成的线性子空间，记为(1.2.2),假如S是线性无关组，那么，；如果S是线性相关组，S中的最大线性无关向量是S的一部分.不妨设前r个向量线性无关，令，W也可写成即,定理1.2.1设W是数域P上线性空间的一个m维子空间，是W的基，则W的向量一定可以扩充为的一个基。,定理1.2.2设和是线性空间V的两个子空间，则它们的交是V的子空间，称为和的交空间.,定理1.2.3设和是线性空间V的两个子空间，则它们的和是V的子空间，称为和的和空间.,例1.2.3,假如那么它们的和,定理1.2.4(维数公式)设和是的两个线性子空间，则,推论1如果n维线性空间的两个子空间和的和空间维数小于和维数之和，那么它们的交空间一定含有非零向量，即例1.2.4,定义1.2.2如果中任一向量只能唯一的表示成子空间的一个向量和子空间中的一个向量的和，则称是的直和，记为（或）.,定理1.2.5两个子空间的和是直和的充分必要条件是：,推论设是的两个子空间，则的充分必要条件是：,推论2也可以作为定义1.2.2的等价定义。,推论3如果是的基；是的基,是直和,那么是的基.,1.3线性变换及其矩阵表示,1.3.1线性变换,定义从线性空间到线性空间的映射叫做变换.,例1.3.1,定义1.3.1设和是两个线性空间，假如一个从到的变换具有以下性质:（1）（2）称作V的一个线性变换或线性算子。特别当时，称是上的线性变换.,注:定义中两个条件可以用一个表达式来表示，即T是线性变换的充要条件是：,例：两个特殊线性变换(1)如果对任意，恒有，则称是零变换，记为，即对任意恒有。(2)如果对任意，恒有，则称是恒等变换，记为，即,图1.3.2,例1.3.2,例1.3.3,关于线性变换有以下简单性质：(1)，其中.(2)若,则(1.3.2)(3)若线性相关，则也线性相关.注意（3）的逆命题不成立。,1.3.2线性变换的运算,线性变换的相等,设是两个线性变换，若对中任意向量都有则称与相等，记作.设是的一个基，则的充分必要条件是,线性变换的和,设是中的两个线性变换，对任意一个元素与相对应的变换称为与的和，记作。即,线性变换的数乘,设，则与对应的变换称为与线性变换的数乘，记为，即,线性变换的乘积,设为中的两个线性变换，与对应的变换称为与的积，记作，即,定理1.3.1设是线性空间中的两个线性变换，则,都是中的线性变换。,例1.3.4,线性变换的逆变换,如果两个线性变换满足，则称互为逆变换，记作或.,1.3.3用矩阵表示线性变换,在有限维线性空间中，我们可以用坐标来具体表示一个抽象的向量，在这一部分，我们用矩阵来表示线性变换，从而把抽象的线性变换具体化。,设是线性变换，分别是和的一个基。中任意向量可以写成的线性组合，即。经过线性变换，即，可以写成的线性组合。即。,以上过程可以具体写为,(1.3.3),可以看到完全由的象决定。因为是的一个基,所以，也可用线性表出.,即：,(1.3.4),(1.3.3)，（1.3.4）可以合并写成,（1.3.5）,(1.3.5)式中的矩阵称为线性变换T在取定的基S,G下的矩阵，简称T的矩阵。记为,.其中的第列的向量是在基下的坐标;反之，给定矩阵,若定义基的像为,则决定了一个线性变换;与中的一个矩阵是一一对应的，并且矩阵的运算对应线性变换的运算。,定义1.3.2式(1.3.5)中的矩阵称为线性变换在基和下的矩阵，简称是的矩阵。,定理1.3.2设与分别是线性变换与在基下的矩阵，则在这个基下有（1）的矩阵是；（2）的矩阵是；（3）的矩阵是；（4）若可逆，则的矩阵是.,下面我们用实例观察线性变换的过程。,例1.3.5例1.3.6,图1.3.3,可以证明和分别是和的线性子空间.,称的维数是线性变换的秩，记为；的维数称为线性变换的零度，记为.,例1.3.7,定理1.3.3设线性空间V中，线性变换T在基与基下的矩阵分别是A和B，由基S到S*的过渡矩阵是P，则有B=P-1AP.例1.3.8,1.3.4不变子空间,定义1.3.4设是线性空间上的线性变换，是子空间，如果，称是的不变子空间。,所谓不变子空间，是指对中任意一个向量，经过线性变换的象仍然属于，即。显然线性空间和零空间是的不变子空间，称为平凡子空间。,例：线性变换的值域与核均为不变子空间,定义1.3.3设T是线性空间到的一个线性映射，T的全体象组成的集合称为的值域，用表示,也称为的像空间，记为于是（1.3.10）所有被变成零向量构成的集合称为的核，记为或，有时也称为的零空间，记为即(1.3.11),例1.3.9设,试证W是T的不变子空间的充分必要条件是,定理1.3.4设T是n维线性空间V的线性变换，V1，V2是两个不变子空间，并且，则线性变换T在某个基下的矩阵为准对角形,1.4欧氏空间和酉空间,1.4.1内积的定义,定义1.4.1设是复数域上的线性空间，对于中的两个任意向量，按某种法则定义一个复值函数，用表示，并且满足以下条件：,对称性；线性性；,这时称函数为向量的内积。称为向量的长度或范数。记作。,3.,如果线性空间定义在实数域上，那么，关于内积的三个条件就可以改写为：,对称性；线性性；正定性并且时,当且仅当,我们称的实值函数为与的内积。的范数定义为。,定义了内积的实线性空间称为欧氏空间，定义了内积的复线性空间称为酉空间。,例1.4.1,例1.4.2,例1.4.3,单位向量：长度为1的向量称为单位向量。向量，(1.4.4)称为的单位向量。向量的夹角：向量夹角的余弦定义为:(1.4.5),可以证明不等式或(1.4.6)对任意两个向量成立，其且仅当线形相关时等号才成立。(1.4.6)称为Cauchy-Schwary不等式。,由Cauchy-Schwary不等式，可以得到以下两个三角不等式。(1)(1.4.8),今后我们用表示向量之间的距离。记作(1.4.10),(2)(1.4.9),距离具有以下性质:(1)(2)(3),1.4.2标准正交基与正交化方法,1.4.2.1标准正交基,定义1.4.2线性空间中的两个向量，如果其内积则称正交，记为。,显然，零向量与任意向量正交；只有零向量与自己正交。,定义1.4.3设是线性空间中的一个向量组，如果，,称是中的正交向量组。,定理1.4.1假设是线性空间中的正交向量组，则也是线性无关向量组。,定义1.4.4设是维线性空间的一个基，并且(1.4.13)称是的一个标准正交基。,1.4.2.2Schmiat正交化方法,定理1.4.2