《2.2.2事件的相互独立性》课件1.ppt

2.2.2事件的相互独立性,事件的相互独立性(1)定义:设A，B为两个事件，如果P(AB)=_，则称事件A与事件B相互独立.(2)性质:A与B是相互独立事件，则也相互独立.,P(A)P(B),1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立.()(2)必然事件与任何一个事件相互独立.()(3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)=P(B).()(4)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件.(),【解析】(1)正确.不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响.(2)正确.必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响.(3)正确.如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)=P(B).(4)正确.如果事件A与事件B相互独立，则有P(B|A)=P(B)，又P(B|A)=，从而P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)，即P(AB)=P(A)P(B)是事件A，B相互独立的充要条件.答案:(1)(2)(3)(4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为.(2)一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则该产品的正品率为.(3)已知A，B是相互独立事件，且P(A)=，P(B)=，则P(A)=；P()=.,【解析】(1)甲、乙两站水文预报相互独立，则P=0.80.7=0.56.答案：0.56(2)由于经过两道工序才能生产出一件产品，当两道工序都合格时才能生产出正品，又由于两道工序相互独立，则该产品的正品率为(1-a)(1-b).答案：(1-a)(1-b),(3)因为P(A)=，P(B)=，所以所以答案：,【要点探究】知识点相互独立事件1.对事件相互独立性的两点说明(1)前提:在应用公式P(AB)=P(A)P(B)时，一定要注意公式成立的条件，即各事件必须相互独立.(2)推广:一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An).,2.相互独立事件与互斥事件的区别,3.两个事件是否相互独立的判断(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)定义法:如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.(3)条件概率法:当P(A)0时，可用P(B|A)=P(B)判断.,【微思考】(1)若两个事件相互独立，是否就说明这两个事件间没有任何关系？提示:不是.若两事件A，B相互独立是指事件A是否发生与事件B是否发生没有关系，并不是说事件A，B间没有关系，相反，若事件A，B相互独立，则事件AB，即事件A，B不互斥.(2)能否利用P(B|A)=P(B)来定义相互独立的概念？提示:不能.原因是这个等式的适用范围是P(A)0，否则P(B|A)没有意义.,【即时练】1.下列事件中A，B是相互独立事件的是()A.一枚硬币掷两次，事件A为“第一次为正面”，事件B为“第二次为反面”B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，事件A为“第一次摸到白球”，事件B为“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子，事件A为“出现点数为奇数”，事件B为“出现点数为偶数”D.事件A为“人能活到20岁”，事件B为“人能活到50岁”,【解析】选A.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响.,2.判断下列各对事件是否是相互独立事件:(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.,【解析】(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件.(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.,(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A=2，4，6，B=3，6，AB=6，所以所以P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立.,【题型示范】类型一相互独立事件发生的概率【典例1】(1)同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy=4的概率为(),(2)根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立.求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.,【解题探究】1.题(1)满足xy=4的数对(x，y)有几个？2.题(2)中车主不购买甲种保险的概率是多少？【探究提示】1.有3个，分别为(1，4)，(2，2)，(4，1).2.车主不购买甲种保险的概率P=1-0.5=0.5.,【自主解答】(1)选C.满足xy=4的所有可能如下:x=1，y=4；x=2，y=2；x=4，y=1.所以，所求事件的概率P=P(x=1，y=4)+P(x=2，y=2)+P(x=4，y=1),(2)记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与与B，与都是相互独立事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6.记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C=AB.所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.50.6=0.3.记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D=B，所以P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)0.6=0.3.,【延伸探究】题(2)中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？【解析】方法一：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E包括B，A，AB，且它们彼此为互斥事件.所以P(E)=0.50.6+0.50.4+0.50.6=0.8.,方法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件.所以P(E)=1-P()=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8.,【方法技巧】与相互独立事件有关的概率问题求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：,(1)A，B中至少有一个发生为事件AB.(2)A，B都发生为事件AB.(3)A，B都不发生为事件.(4)A，B恰有一个发生为事件.(5)A，B中至多有一个发生为事件,它们之间的概率关系如表所示：,【变式训练】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立.求:(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率.(2)红队至少两名队员获胜的概率.,【解题指南】弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值.,【解析】设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件.因为P(D)=0.6，P(E)=0.5，P(F)=0.5，由对立事件的概率公式知P()=0.4，P()=0.5，P()=0.5.,(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有以上3个事件彼此互斥且独立.所以红队有且只有一名队员获胜的概率,(2)方法一：红队至少两人获胜的事件有：由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为=0.60.50.5+0.60.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5=0.55.,方法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件，且P()=0.40.50.5=0.1.所以红队至少两人获胜的概率为P2=1-P1-P()=1-0.35-0.1=0.55.,【补偿训练】甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为求：(1)两个人都译出密码的概率.(2)两个人都译不出密码的概率.(3)恰有一人译出密码的概率.(4)至多一人译出密码的概率.(5)至少一人译出密码的概率,【解析】记A为“甲独立地译出密码”，B为“乙独立地译出密码”(1)两个人都译出密码的概率为(2)两个人都译不出密码的概率为,(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出，乙译出甲译不出，即所以(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，所以1-P(AB)=(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，所以,类型二相互独立事件概率的实际应用【典例2】(1)在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则在这段时间内线路正常工作的概率是.(2)在一袋中装有2只红球和8只白球，每次从袋中任取一球，取后放回，直到取得红球为止，求取球次数X的分布列.,【解题探究】1.题(1)中，线路能正常工作存在几种情况？不能正常工作又有几种情况？2.题(2)中，取球的次数X的取值有哪些？【探究提示】1.能正常工作的情况可分为三类，一类是只有1个开关闭合，此时又有3种情况，二类是有2个开关闭合，此时有=3种情况，三类是3个开关均闭合，有1种情况，故共有7种情况；而不能正常工作仅有一种情况.2.X的所有可能取值为1，2，i，.,【自主解答】(1)由题意，分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响.根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是=1-P(A)1-P(B)1-P(C)=(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027.,所以这段时间内至少有1个开关能够闭合，即使线路能正常工作的概率是1-P()=1-0.027=0.973答案：0.973,(2)X的所有可能取值为1，2，i，令Ai表示“第i次取得红球”，则由于各次取球相互独立，且取到红球的概率为p=0.2，于是得P(X=1)=P(A1)=0.2，,所以其分布列为,【方法技巧】系统可靠性问题的求解策略由于该类问题常常与物理知识相联系，在考查知识纵向联系的同时，重点考查事件独立性的综合应用.求解时可先从系统的构造出发，分析所给的系统是单纯的串(并)联还是串并联混合体结构.(1)直接法:把所求的事件分成若干个互斥事件之和，根据互斥事件的概率公式求解.(2)间接法:当所涉及的事件较多，而其对立事件所涉及的事件较少时，可根据对立事件的概率公式求解.,【变式训练】(2014武汉高二检测)已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如图所示，能听到声音，当且仅当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.(1)求能听到立体声效果的概率.(2)求听不到声音的概率.(结果精确到0.01),【解题指南】(1)根据事件A，B，C，D，E的能否正常工作之间没有影响，所以事件A，B，C，D，E是相互独立事件，又事件A发生的概率为0.9，由对立事件的概率得出事件A不发生的概率为1-0.9，同理事件B不发生的概率为1-0.8，根据独立事件的概率公式可得出能听到立体声效果的概率.(2)事件“听不到声音”即为“当A，B都不工作，或C不工作，或D，E都不工作时”，又由独立事件的概率公式得出结论.,【解析】(1)因为A与B中都不工作的概率为(1-0.9)(1-0.8)；所以能听到立体声效果的概率为1-(1-0.9)(1-0.8)0.950.80.70.52.(2)当A，B都不工作，或C不工作，或D，E都不工作时，就听不到音响设备的声音.其否定是:A，B至少有1个工作，且C工作，且D，E中至少有一个工作.,所以，听不到声音的概率为1-1-(1-0.9)(1-0.8)0.951-(1-0.8)(1-0.7)=1-0.875140.12.答:(1)能听到立体声效果的概率约为0.52；(2)听不到声音的概率约为0.12.,【补偿训练】(2014宝鸡高二检测)某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市F，已知从城市E到城市F有两条公路.统计表明：汽车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为；走公路堵车的概率为，不堵车的概率为，若甲、乙两辆汽车走公路，第三辆汽车丙由于其他原因走公路运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响.(1)求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率.(2)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率.,【解析】记“汽车甲走公路堵车”为事件A，“汽车乙走公路堵车”为事件B，“汽车丙走公路堵车”为事件C.(1)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为(2)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为,【易错误区】对事件类型判断不准导致错误【典例】甲、乙两人参加环