高二数学高三新课：离散型随机变量的期望和方差人教知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学高三新课：离散型随机变量的期望和方差高二数学高三新课：离散型随机变量的期望和方差人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 高三新课：离散型随机变量的期望和方差 二. 本周教学重、难点： 1. 期望： （1）计算公式： nnp xpxpxE 2211 （2）性质： baEbaE)( 若（） ，则Bpn,npE 若服从几何分布且，则),()(pkgkp p E 1 2. 方差： （1）计算公式： nn pExpExpExD 2 2 2 21 2 1 )()()( （2）性质： DabaD 2 )( 若，则),(pnB)1(pqnpqD 若服从几何分布且，则),()(pkgkp 2 p q D 22 )(EED 【典型例题典型例题】 例 1 某射手射击所得环数的分布列 45678910 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 试估计该射手次射击的平均环数。n 解：解：根据这名射手射击所得环数的分布列，在次射击中预计大约有n 次得 4 环，nnP02 . 0 )4( 次得 5 环，nnP04 . 0 )5( 用心 爱心 专心 次得 10 环，nnP22 . 0 )10( 次射击总环数约等于 nnnn22. 01004 . 0 502. 04 ，)22. 01004 . 0 502. 04(n 从而平均环数等于，32 . 8 22. 01004 . 0 502 . 0 4 即32 . 8 E 例 2 某射手进行射击练习，每射击 5 发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下组 练习，否则一直打完 5 发子弹后才能进入下一组练习。若某射手在某组练习中射击一次的 命中概率为 0.8，求在这组练习中耗用子弹数的分布列，并求出的期望值和方差值。 （结果保留两位小数） 解：解：该组练习耗用的子弹数为随机变量，可以取值为 1，2，3，4，5。设第次k 击中目标，则前次就未击中目标。=1，表示第一发即中，故概率为 P（=1）=0.8; 1k =2，表示第一发未中，第二发命中，故 P（=2）=（10.8） 0.8=0.20.8=0.16；=3，表示第一、二发未中，第三发命中，故 P（=3）= ；=4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故032 . 0 8 . 02 . 08 . 0)8 . 01 ( 22 P（=4）=；=5，表示第五发命中与否均可，故0064. 08 . 02 . 08 . 0)8 . 01 ( 33 P（=5）=。因此，的分布列如下表所示：0016 . 0 2 . 01)8 . 01 ( 44 12345 P0.80.160.0320.00640.0016 0016 . 0 50064 . 0 4032 . 0 316 . 0 28 . 01E 25 . 1 008 . 0 0256 . 0 096 . 0 32 . 0 8 . 0 2222 )25 . 1 4(032 . 0 )25 . 1 3(16 . 0 )25 . 1 2(8 . 0)25 . 1 1 (D 0225. 00484. 0098 . 0 09 . 0 05. 00016 . 0 )25 . 1 5(0064. 0 2 31 . 0 例 3 射手甲、乙在同一条件下进行射击，分布列如下： 甲： 击中环数8910 1 用心 爱心 专心 概率 P 0.2 0.6 0.2 乙： 击中环数8910 2 概率 P 0.4 0.2 0.4 比较其水平 解：解：92 . 0106 . 092 . 08 1 E 4 . 02 . 0)910(6 . 0)99(2 . 0)98( 222 1 D 94 . 0102 . 094 . 08 2 E 8 . 04 . 0)910(2 . 0)99(4 . 0)98( 222 2 D 因为，可知甲、乙射手所得环数的平均值相近，均为 9 环左 21 EE 21 DD 右，但甲所得环数比较集中，9 环较多；乙所得环数比较分散，得 8 环和 10 环较多，甲射 手比较稳定。 例 4 A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是，B 1 A 2 A 3 A 队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 1 B 2 B 3 B 对阵队员A 队队员胜的概率A 队队员负的概率 对 1 A 1 B 3 2 3 1 对 2 A 2 B 5 2 5 3 对 3 A 3 B 5 2 5 3 现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1 分，负队得 0 分，设 A 队 B 队最后所得总分分 别为、 （1）求、的概率分布， （2）求EE 、 解：解： （1）、的可能取值分别为 3，2，1，0 75 8 5 2 5 2 3 2 )3(P 75 28 5 2 5 3 3 2 5 2 5 2 3 1 5 3 5 2 3 2 )2(P 用心 爱心 专心 5 2 5 2 5 3 3 1 5 3 5 2 3 1 5 3 5 3 3 2 ) 1(P 25 3 5 3 5 3 3 1 )0(P 据题意知，所以3 ， 75 8 )3()0(PP =，)2() 1(PP 75 28 ， 5 2 ) 1()2(PP ， 25 3 )0()3(PP （2）；因为， 15 22 25 3 0 5 2 1 75 28 2 75 8 3E3 所以。 15 23 3EE 例 5 设篮球队 A 与 B 进行比赛，每场比赛均有一队胜出，若有一队胜 4 场，则比赛宣告 结束，假定 A、B 两队在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望。 2 1 解：解：随机变量表示比赛场数，根据题意：“有一队胜 4 场比赛才宣告结束” ，故的 取值应是 4，5，6，7，把一次比赛看作一次试验，故场（4，5，6，7）比赛视为nn 次独立重复试验。n =4 表示甲胜 4 场或乙胜 4 场，且两两互斥。 8 1 ) 2 1 (2)4( 44 4 CP =5 表示甲队第 5 场胜且前 4 场中胜 3 场，或乙队第 5 场胜且前 4 场中胜 3 场。 4 1 ) 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 )5( 43 4 43 4 CCP 类似地 16 5 ) 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 )6( 53 5 53 5 CCP 16 5 ) 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 )7( 63 6 63 6 CCP 比赛场数的分布列为： 4567 用心 爱心 专心 P 8 1 4 1 16 5 16 5 16 5 7 16 5 6 4 1 5 8 1 4E8125. 5 16 93 13 16 5 4 7 例 6 若是离散型随机变量，且，已知 5 3 )( 1 xP 5 2 )( 2 xP 21 xx ，求的分布列。 5 7 E 25 6 D 解：解：依题意，只取两个值与，于是有， 1 x 2 x 5 7 5 2 5 3 21 xxE 。 5 2 5 3 2 1 xD 22 2 )(Ex 25 6 从而得方程组，解得或 1123 723 2 2 2 1 21 xx xx 2 1 2 1 x x 5 4 5 9 2 1 x x 因为，所以，因此的分布列为 21 xx 2, 1 21 xx 12 P 5 3 5 2 例 7 若随机事件 A 在 1 次试验中发生的概率为，用随机变量表示 A 在 1) 10( pp 次试验中发生的次数。 （1）求方差的最大值；D （2）求的最大值。 E D12 解：解：随机变量的所有可能取值为 0，1。并且有，P（=0）=，pP ) 1(p1 从而 E=，D=ppp1)1 (0 222 )1 ()1 ()0(pppppp （1），因为，所以当 4 1 ) 2 1 ( 4 1 ) 4 1 ( 222 pppppD10 p 时，D取得最大值，最大值为。 2 1 p 4 1 （2），因为，所以) 1 2(2 1)(212 2 p p p pp E D 10 p 用心 爱心 专心 。当，即时，取“=” 。因此，当时，22 1 2 p p p p 1 2 2 2 p 2 2 p 取得最大值 E D12 222 例 8 已知随机变量的概率分布列为：P（=）=（1，2，3，kpq k 1 k 且） ，求证。10 ppq1 p E 1 证明：证明：因为，所以pqkp k 1 )( E pkqpqqpp k 12 321 。令+，)321 ( 12 k kqqqp kk qkkqqqS) 1(321 12 ，得 132 ) 1(32 kk qkkqqqqSq 2 1qqSqS ，即，所以，所以 k qq3 q qS 1 1 )1 ( 22 1 )1 ( 1 pq S 。 pp ppSE 11 2 例 9 A、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上 时 A 赢得 B 一张卡片，否则 B 赢得 A 一张卡片，规定掷硬币的次数达 9 次时，或在此前 某人已赢得所有卡片时游戏终止，设表示游戏终止时掷硬币的次数。 （1）求的取值范围； （2）求的数学期望 E。 解：解： （1）设正面出现的次数为，反面出现的次数为，则，可得：当mn 91 5 nm nm ，或，时，=5；当或时，=7；当5mn00m5n1, 6nm6, 1nm 或时，=9；所以的所有可能取值为：5，7，9。2 , 7 nm7, 2nm （2）P（=5）=；P（=7）=；P（=9）= 16 1 32 2 ) 2 1 (2 5 64 5 ) 2 1 (2 71 5 C 用心 爱心 专心 ；E=。 64 55 64 5 16 1 1 32 275 64 55 9 64 5 7 16 1 5 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 随机变量的分布列为，则=（ ）)45(E A. 15 B. 11 C. 2.2 D. 2.3 2. 已知，则与的值分别为（ ）),(pnB6 . 1, 8DEnp A. 100 和 0.08 B. 20 和 0.4 C. 10 和 0.2 D. 10 和 0.8 3. 有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取 2 件，若表示取到次品个数，则 E=（ ） A. B. C. D. 1 5 3 15 8 15 4 4. 随机变量的分布列为，E=7.5，则（ ）a A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为 0.9 和 0.85，设 发现目标的雷达台数为，则 E=（ ） A. 0.765 B. 1.75 C. 1.765 D. 0.22 6. 设掷 1 颗骰子的点数为，则 E=（ ） ，D=（ ） A. 3.5，3.52 B. 3.5， C. 3.5，3.5 D. 3.5， 12 35 16 35 7. 设 P（=1）=，P（）=，则（ ） 2 1 1 2 1 )52( A. 2 B. 4 C. 1 D. 6 8. 设一随机试验的结果只有 A 和，且，令随机变量=，则ApAP)( 不出现 出现 A A 0 1 的方差 D=（ ） A. B. C. D. p)1 (2pp)1 (pp)1 (pp 二. 解答题： 1. 有一批数量很大的产品，其次品率为 15%，对这批产品进行抽查，每次抽出 1 件，如 果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但检查次数最多不超过 10 次， 求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字） 。 用心 爱心 专心 2. 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品测得它们的抗拉强度指数如下表所示： A 110120125130135 P0.10.20.40.10.2 B 100115125130145 P0.10.20.40.10.2 其中、分别表示甲乙两种材料的抗拉强度，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定 A B 程度（哪一个的稳定性较好） 。 3. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的 机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第 4 次 为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6，0.7，0.8，0.9。求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明 在一年内领到驾照的概率。 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一. 1. A 2. D 3. A 4. C 5. B 6. B 7. A 8. D 二. 1. 解：抽查次数取 110 的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取 1 件检查的试验可 以认为是彼此独立的，取出次品的概率是 0.15，取出正品的概率是 0.85，前次取出正1k 品而第次（1，2，9）取出次品的概率 P（=）=；需要检查 10kkk15 . 0 85 . 0 1 k 次时前 9 次取出的都是正品，其概率 P（=10）=0.859，所以的分布列是 12345 678910 P 0.15 0.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316 因此 E=35. 52316. 0101275. 0215 . 0 1 2. 解：。2 . 01351 . 01304 . 01252 . 01201 . 0110 A E125 。1252 . 01451 . 01304 . 01252 . 01151 . 0100 B E 2222 )125