双曲线几何性质

2.4双曲线的简单几何性质,第二课时,关于x轴、y轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A1（-a，0），A2（a，0）,B1（0，-b），B2（0，b）,F1(-c,0)F2(c,0),关于x轴、y轴、原点对称,A1（-a，0），A2（a，0）,渐进线,无,关于x轴、y轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A1（-a，0），A2（a，0）,A1（0，-a），A2（0，a）,关于x轴、y轴、原点对称,渐进线,F2(0,c)F1(0,-c),例1:求双曲线,的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。,解：把方程化为标准方程,可得:实半轴长a=4,虚半轴长b=3,半焦距c=,焦点坐标是(0,-5),(0,5),离心率:,渐近线方程:,例题讲解,1、“共渐近线”的双曲线,0表示焦点在x轴上的双曲线；a0)，求点M的轨迹.,解：,设点M(x,y)到l的距离为d，则,即,化简得,(c2a2)x2a2y2=a2(c2a2),设c2a2=b2，,(a0,b0),故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.,b2x2a2y2=a2b2,即,就可化为:,点M的轨迹也包括双曲线的左支.,一、第二定义,双曲线的第二定义,平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。,定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.,对于双曲线,是相应于右焦点F(c,0)的右准线,类似于椭圆,是相应于左焦点F(-c,0)的左准线,点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.,想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？,相应于上焦点F(c,0)的是上准线,相应于下焦点F(-c,0)的是下准线,由已知：,解：,a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线为l:,作MNl,AA1l,垂足分别是N,A1,N,A1,当且仅当M是AA1与双曲线的交点时取等号,令y=2,解得:,归纳总结,1.双曲线的第二定义,平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。,定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。,2.双曲线的准线方程,对于双曲线,准线为,对于双曲线,准线为,注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.,思考：点M(x0，y0)和双曲线什么条件下点M在双曲线内部？双曲线外部？,1.点P在双曲线内2.点P在双曲线上3.点P在双曲线外,内,外,外,椭圆与直线的位置关系及判断方法,判断方法,0,（1）联立方程组,（2）消去一个未知数,（3）,复习:,相离,相切,相交,二、直线与双曲线的位置关系,1)位置关系种类,X,Y,O,种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点),2)位置关系与交点个数,相离:0个交点,相交:一个交点,相交:两个交点,相切:一个交点,(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0,1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。,2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,相切一点:=0相离:0,注:,相交两点:0同侧：0异侧:0一点:直线与渐进线平行,3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序,把直线方程代入双曲线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与双曲线的渐进线平行,相交（一个交点）,计算判别式,特别注意直线与双曲线的位置关系中：,一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支,例4：如图所示，过双曲线的右焦点F2,倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|,A,B,例4：如图所示，过双曲线的右焦点F2,倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|,A,B,*,例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.,(3)k=1，或k=；,(4)-1k1；,(1)k或k；,(2)k；,1.过点P(1,1)与双曲线,只有,共有_条.,变题:将点P(1,1)改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的?,4,1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.,交点的,一个,直线,（1，1）,。,2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_,例4、如图，过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。,三、弦长问题,韦达定理与点差法,例.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求：(1)以2为斜率的弦的中点轨迹；(2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；(3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程.(4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；,方程组无解，故满足条件的L不存在。,分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。,证明:(1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b,1.位置判定2.弦长公式3.中点问题4.垂直与对称5.设而不求(韦达定理、点差法),小结：,拓展延伸,1.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点.(1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；(2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称，若存在，求a;若不存在，说明理由.,（备选）垂直与对称问题,解：将y=ax+1代入3x2-y2=1,又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须0,原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，,OAOB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0,解得a=1.,(1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；,(2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称，若存在，求a;若不存在，说明理由.,3、设双曲线C：与直线相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。（2）设直线l与y轴的交点