09 直角三角形与勾股定理教师

1 / 9 第六讲 直角三角形与勾股定理 第六讲 直角三角形与勾股定理 一、 直角三角形性质一、 直角三角形性质： （1） 直角三角形中，两个锐角互余。 （2） 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 二、 特殊的直角三角形：二、 特殊的直角三角形： （1） 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；反过来，如 果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30。 （2） 在直角三角形中，如果一个锐角等于 45，那么这个三角形是等腰直角三角形。 三、 勾股定理及逆定理三、 勾股定理及逆定理 直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方； 反之，若三角形一边的平方等于另两边的平方和，则这个三角形是直角三角形。 2 / 9 F E D C BA 【含 30的直角三角形】 1. 如图，已知ABC 是等边三角形，ADAB，1=60，E 为 CB 延长线上一点，且 BE=BD。求证： BED 是等边三角形，BE=2BC。 证明：由题意易知DBE=60，又 BE=BD 所以BED 是等边三角形。 在RtABD 中，1=60，则ADB=30 得 BE=BD=2AB=2BC. 2. 如图， 在ABC 中，C=90，A=30， AB 的垂直平分线l交 AC 与 D， 交 AB 与 E。 求证： AD=2DC。 证明：连接 BD, 由于 ED 是 AB 的垂直平分线， 所以EDAB,AD=BD，即ABD=A=30 在RtABC 中，A=30 则B=60 所以DBC=30，故 BD 是B 的角平分线,DE=DC. 在RtABC 中，A=30， 所以 AD=2DE=2DC 3. 如图， 30AOB，OC 平分AOB，P 为 OC 上任意一点，PDOA 交 OB 于 D，PEOA 于 E。若 OD=4cm，求 PE 的长。 4. 如图，在ABC 中，CD是高，E是CD的中点，AE的延长线交CB于点F，CDAE ，且 CBAF ，若1 EF，求AE的长。 证明， E是CD的中点，CDDE 2 1 ， 又CDAE AEDE 2 1 在ADERt 中，易知 0 30EAD, 0 30BCD, 3 / 9 CEEF 2 1 ,CDEF 4 1 AEEF 4 1 ,4 AE. 【等腰直角三角形】 5. 如图，在ABC 中，ACB=90，D、E 为 AB 上的点，且 AE=AC，BD=BC，EFCD 于 F。求 证：CF=EF。 证明：由于AEAC ，BDBC ，AECACE ，BDCBCD 故BDCAECDCE 0 180 )180( 2 1 )180( 2 1 180 000 BA )( 2 1 900BA 0 45 而EFCD 于 F，所以CEF 是等腰直角三角形。即 CF=EF。 6. 如图，在ABC 中，C=90，AC=BC，D、E 分别在边 BC 与 AC 上，且 BD=CE，又 M 为 AB 的中点。求证：MDE 为等腰直角三角形。 证明：连接 MC，由于 M 为 AB 的中点，得 MB=MC。 又 BD=CE，MBC=MCA=45 则MBDMCE，得 MD=ME 且BMD=CME 故CME+DMC=BMD+DMC=90 即DME=90又 MD=ME 所以MDE 为等腰直角三角形 7. 如图，ABC 是等边三角形，DBC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，AECD 与 E。求证： AE=ED。 证明：连接 AD。易证ABDACD（SAS）, 即BAD=CAD=30 又ACD =ABD =ABCDBC =6030=15 在RtAEC 中，EAC =9015=75 所以EAD =7530=45 在RtAED 中，EAD =45 4 / 9 所以AED 等腰直角三角形，即 AE=ED。 8. 如图，C 为线段 AB 上的点，过 A，B，C 分别作 AB 的垂线 AD，BE，CF，使 AD=BC，BE=AC， CF=AB。求证：AFD=BFE。 证明：连接 AE,BD。由于 AD=BC，BE=AC，CF=AB 易证ABDBCF，ABEACF 可得BD=BF, ABD=CFB， 即DBF=ABD+CBF=CFB+CBF=90 同理可得 AE=AF,且EAF=90 所以AEF，BDF 都是等腰直角三角形. AFD=AFEDFE=45DFE BFE=DFBDFE=45DFE 所以AFD=BFE 【综合运用】 9. 如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点，当它 靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知 0 60BAC， 0 45DAE，点D到地面的垂 直距离mDE23 。求点B到地面的垂直距离BC。 解： 在AEDRt 中， 0 45DAE，mDE23 ， 易知mAD6 ， mAB6 ，在ACBRt 中， 0 60BAC，mAB6 ，易知 mAC3 ，有勾股定理得，mBC33 。 10. 如图，ABCRt中， 7890BACB，。 过C作CFAB， 连AF与BC相交于G， 若GF=2AC， 求BAG的大小。 11. 在ABCRt 中， 0 90ACB，ABCD 于D，设bAC ，aBC ，cAB ，hCD 。 求证： （1） 222 111 hba ； 5 / 9 （2）hcba； （3）以ba ，h，hc 为边的三角形，是直角三角形。 证明： （1）ABC 是 Rt， 222 cba，由面积关系易知 chab ，所以 h ab c ，代入 abc 222 化简得 222 111 hba 。 （2） 222 cba，chab ，chcbaba22 222 ， 2222 22hchcbaba， 22 )()(hcba，hcba 。 （3）由（2）知hcba， 22222 2)(hbabahba， 222 cba，chab ， 222222 )(22hchchchbaba， 222 )()(hchba 以ba ，h，hc 为边的三角形，是直角三角形。 12. 如图，正方形 ABCD 中，点 M 为 AB 的中点，ADAE 4 1 ，点 N 是 EC 的中点， 求证：ECMN 2 1 。 N M E D C B A 6 / 9 M E D C B A 13. 如图，两个全等的含 0 30， 0 60角的三角板ADE和ABC，E、A、C在一条直线上，连接BD， 取BD的中点M，连接ME、MC，试判断EMC 的形状，并说明理由。 解：连接MA，由ABCDAE，得BADA , 0 90DAB， 又M点是BD的中点，MBMD ，DBMA ， 又 0 105MACEDM，ACDE ， MACMDEMCME ，AMCDME ， 0 90EMCEMC 是等腰直角三角形。 14. 如图，在ABC中，分别以 AB、AC 为边向形外作正方形 ABMN 与正方形 ACPQ，连接 NQ。求 证： ANQABC SS 。 证明：作 CDAB，QENA 的延长线于 E 点， 易证ADCAEQ，得 CDQE ABC ANQ SABCD SANQE 1 2 1 2 因为 ANAB，所以 ANQABC SS 。 7 / 9 15. 如图，在ABCRt中，M 是斜边 BC 的中点，P，Q 分别为 AB，AC 上的点，求证：MPQ的周 长大于 BC。 16. 如图，P 为ABC边 BC 上一点，且 PC=2PB，已知 604