高等数学第8章8节ppt课件

.,第八节多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值和最值二、条件极值拉格朗日乘数法三、小结,.,.,一、多元函数的极值和最值,1、二元函数极值的定义,.,例1,例,例,.,2、多元函数取得极值的条件,证,.,说明：从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面，则切平面成为平行于坐标面得平面。,.,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,偏导数存在的极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,.,.,例4求函数,的极值,解,先解方程组,求得驻点为,将上方程组再分别对,求偏导数,在点处,所以函数在,处有极小值,又,在点处，,所以,不是极值；,在点处，,所以,不是极值；,在点,处,又,所以函数在处有极大值,.,与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，,偏导数不存在的点也可能是极值点。,例如，显然函数,不存在。,因此,在考虑函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应当考虑.,.,求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,.,例5某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取多少时才能使用料最省,解,根据题意可知水箱所用材料面积的最小值一定存在并在开区域D(xy)|x0y0内取得又因为函数在D内只有一个驻点(22)所以此驻点一定是A的最小值点,设水箱的长为xm宽为ym则所用材料的面积为,水箱所用的材料最省,.,根据题意可知断面面积的最大值一定存在并且在D(xy)|0x120a90内取得又函数在D内只有一个驻点因此可以断定当x8cma60时就能使断面的面积最大,令Ax24sina4xsina2xsinacosa0Aa24xcosa2x2cosax2(cos2asin2a)0,解这方程组得a60x8cm,例6有一宽为24cm的长方形铁板把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽问怎样折可使断面的面积最大？,解,则断面面积为,设折起来的边长为xcm倾角为a,A24xsina2x2sinax2sinacosa,(0x120a90),.,实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y盒录音磁带达到最佳果，效果函数为U(x,y)=lnx+lny设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求在条件下的极值点,三、条件极值拉格朗日乘数法,.,条件极值：对自变量有附加条件的极值,.,求解方程组,解出x,y,z,t即得可能极值点的坐标.,.,解,则,例7求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的长、宽、高为x,y，z.体积为V.,则问题就是条件,求函数,的最大值.,令,.,即,由(2),(1)及(3),(2)得,.,由(2),(1)及(3),(2)得,于是，,代入条件，得,解得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，,所以，,最大值就在此