2.“极性重合”相.ppt

第3章非参量检测与稳健检测,信号检测与估计,本章内容,3.1引言3.2非参量检测3.3稳健检测,3.1引言,经典检测理论的前提是已知噪声的概率密度函数，实际中，有时很难获得噪声的概率密度函数，只知道概率密度函数的一些定性知识，如对称性、中位数等。确定只有某些定性知识的噪声概率密度函数需要无限多个参数，称这类概率密度函数为非参量类。在非参量噪声中的信号检测称为非参量检测。另一种情况是噪声的统计特性局部已知，但缺乏关于密度函数“尾部”分布的数据。对于这类噪声，虽然不能用一个确知的概率密度函数来描述，但又有比非参量检测更多的统计知识可资利用。针对这种噪声中的信号检测称为稳健检测。,3.2非参量检测,3.2.1检测器渐进相对效率与检测效验3.2.2符号检测3.2.3秩检测3.2.4双输入检测3.2.5自适应检测3.2.6两步序贯秩检测,二元假设检验问题：1）若只知道噪声的密度函数是对称的，可表示成：2）若只知道噪声分布的中位数为零，可表示为：,定义非随机检验函数（连续型）：在和为真时，的数学期望分别定义为：定义随机检验函数（离散型）：,非参量检测中常用的两种非高斯噪声模型广义高斯噪声的概率密度函数为：混合型噪声的概率密度函数为：,3.2.1衡量检测器性能的指标,1.检测器渐近相对效率假设二元假设检验问题有两个检测器，若它们具有相同的虚警概率和检测概率所需的观测样本数分别为，则定义第2个检测器对于第1个的相对效率为:渐近相对效率定义如下:渐近相对效率是检测器在条件下样本数趋于无穷时的相对效率。它是比较两种检测器性能的一种指标。,2.检测器的效验检测器的效验定义为：对两个具有相同虚警概率及检测概率的检测器，可以证明：当检验统计量满足一定条件时，检测器2的效验相对于检测器1的效验之间存在以下关系：,3.2.2符号检测,1.符号检测器利用观测样本的正负信息的非参量恒虚警检测器。二元假设检验问题：噪声分布的中位数为零，且，观测样本矢量为，各样本彼此统计独立，则二元假设为：,定义检验统计量为：判决规则为：门限由虚警概率确定，相应的符号检测器如图：,符号检测器还可以采用正负样本之差作为统计检验量：判决规则和检测器分别为：,表示大于零观测样本的个数，其概率分布为：检测门限由下式确定：检测概率可由下式计算：,2.符号检测器的性能分析噪声独立同分布。若采用纽曼皮尔逊检测器，其检验统计量为：在为真时：在为真时：,门限由下式确定：其中是给定的虚警概率。检测概率为：,若采用符号检测器，其检验统计量为：在为真时：根据中心极限定理，当很大时，趋近高斯分布，可由下式确定:,在为真时：根据中心极限定理，当很大时,若检测器和具有同样的和，可得：,写成样本数的比值：则对于的渐近相对效率为：,当观测样本为独立同分布的高斯变量时可见：当观测样本为独立同分布的高斯变量时，纽曼皮尔逊检测器的性能优于符号检测器。还可考虑中位数为0的其他分布，如拉普拉斯分布（但假设为高斯分布），此时：,3.2.3秩检测,1.秩检测器利用样本正负符号信息和幅值信息的非参量恒虚警检测器。假设观测样本为，将其按绝对值从小到大排列：。设表示观测样本的排列序号，定义检验统计量为：,判决规则和相应的秩检测器分别为：不失一般性，设各个样本之间有如下关系：则检验统计量可写为：,基于各个样本之间的上述关系，在为真时，个样本共有种符号组合。若用表示第j种符号组合出现时取正号或负号的概率第j种符号组合出现的概率为,则检测概率为：在为真时的均值和方差分别为,在为真时的均值和方差分别为其中是取正值的概率。根据中心极限定理，在时检验统计量趋于高斯变量，虚警概率和检测概率分别为：,2.秩检测器的性能分析若采用纽曼皮尔逊检测器，其检验统计量为：在和下都是高斯变量且有则纽曼皮尔逊检测器的效验为：,若采用秩检测器，其检验统计量可改写为：定义为在为真时的概率，可得：,秩检测器的效验：秩检测器对于纽曼皮尔逊检测器的渐进相对效率（高斯分布高斯分布）（拉氏分布高斯分布）,3.秩检测器效验的下界考虑满足下面的约束条件：这是一个对求有约束条件的极值问题。,采用变分法求解。令目标函数为令得其中,因此，使秩检测器效验为最小的概率密度函数为最终可得秩检测器的下界4.秩检测器中需进一步讨论的情况观测样本中出现样本值为0；样本值中出现两个及以上的绝对值相等。,3.2.4双输入检测,Mann-Whitney检测器二元假设检验问题：为对称分布白噪声，。同时存在两路独立观测样本：接收信号参考噪声,Mann-Whitney检测器检验统计量定义为：判决规则和检测器分别为：,双输入纽曼-皮尔逊检测器的检验统计量可以表示为:其条件均值和条件方差分别为:定义等效样本长度：推得双输入纽曼-皮尔逊检测器的效验为,Mann-Whitney检测器检验统计量，为了计算效验，首先计算Mann-Whitney检测器的效验为Mann-Whitney检测器对于纽曼皮尔逊检测器的渐进相对效率,2.“极性重合”相关检测器存在两路独立观测样本，分别为二元假设检验问题：为对称分布白噪声，为随机信号如何构造统计量？,如下构造检验统计量：可得到“极性重合”相关检测器，判决规则为：等于观测样本x与y中正负极性相同的样本数。当为真，服从二项分布代表为真时与同时为正值的概率与同时为负值的概率之和。可证：,3.2.5自适应检测,考虑噪声的统计特性往往随时间变化，于是提出能自动适应噪声统计特性变化的自适应非参量检测器。单输入自适应符号检测器二元假设检验问题：噪声样本独立同分布，且,检验统计量定义为：其中为加权系数。矢量内积形式表示：判决规则和检测器分别为,计算校验：其中的第i个分量为：可得,在为真时，,在为真时：其中是噪声的绝对平均值，则检测器的效验：,当和时，效验分别为一般情况下，对于具体的噪声环境，选取适当的使取值最大。,最佳校验若噪声是高斯型，当噪声是拉氏型，,渐进相对效率作为的函数，比较发现自适应符号检测器总是优于其它二者。门限的选取,2.双输入自适应符号检测器检测器具有双“观测样本”输入，噪声样本独立同分布，具有对称概率密度函数,双输入自适应符号检测器的检验统计量为最佳校验其中为信号矩阵,二元假设检验模型：噪声样本独立同分布，且。定义秩检测检验统计量,3.2.6两步序贯秩检测,两步秩检测器判决准则：第一步：取个样本，第二步：第一种方案：舍去先前样本，重新获取个样本，,第二种方案：第三种方案：继续获取个样本，联合个样本判决,以第一种方案为例，定义：则第一步中,在假设下，由于样本成对称分布，可如下计算概率其中表示k等于中一个或多个数的和的可能个数，如。定义可以得到,此时,虚警概率,检测概率,则两种假设下，结束判决所需的样本数分别为,可得序贯秩检测器(D2)对于秩检测器(D1)的渐近相对效率为,其中为满足下式的解：,给定下，可根据两种假设对应的ARE的和最大原则选择参数进而估计出判决门限。,3.3稳健检测,3.3.1稳健假设检验3.3.2确定信号的有限样本稳健检测3.3.3确知信号的渐进稳健检测,当噪声的概率密度函数在允许的范围内变化，检测器的性能起伏不大，可以被接受。这样的检测器称为稳健检测器。稳健检测的噪声模型的典型形式是混合型（或污染型）概率密度函数：其中：是确定概率密度函数（或名义概率密度函数），是不确定的概率密度函数（或污染概率密度函数），属于约束很松或任意的密度函数集合。,稳健检测的二元假设模型为：其中：是不同的名义概率密度函数，并在中不存在任何公共的概率密度函数，任意概率密度函数集合，是污染度。稳健检测的基本思路类似极大极小准则。先在混合型概率密度函数族中按某种准则找出“最不利概率密度函数对”，然后在该函数对条件下依据选择的最佳准则设计最佳（或局部）最佳检测器。,3.3.1稳健假设检验,稳健似然比检验采用平均风险作为选择最不利分布的指标。假定正确判决风险为0、错误判决风险为1，检验函数为为真时对应的平均风险为：（虚警概率）为真时对应的平均风险为：（漏警概率）,稳健检测的具体要求：在混合型概率密度函数族中寻找一对特殊的函数对，并以它们为基础构成似然比检验当为真时的概率密度函数分别为时，最佳检测器的性能应满足：称为混合型概率密度函数族中最不利的函数对。,最不利概率密度函数对表达式：最不利函数对应彼此最为接近。可推得为：其中选择应保证,其中同理，可得其中,2.稳健检验统计量的构成单个样本的似然比其中，简化可得：,单样本对数似然比：推广到独立同分布多观测样本情况，稳健检验统计量为：可以证明：,3.3.2确定信号的有限样本稳健检测,确定信号稳健检测假设检验为：其中为确定信号序列，为信号幅值，为污染白噪声：是均值为0、方差为1的高斯概率密度函数，为任意概率密度函数。有,上式中判决规则为：其中,令，则稳健检测器示意图,3.3.3确知信号的渐进稳健检测,有限样本稳健检测存在信号幅值必须大于某一阈值的限制，无法应用于弱信号的检测。引入渐进稳健检测概念，在信号幅值、样本数条件下进行弱信号检测的理论分析。在渐进情况下，基于广义纽曼皮尔逊准则的局部最优检测可推导出非线性相关检测器，它是一种局部最佳检测器。噪声的概率密度函数属于污染型高斯分布函数集合：,令表示虚警概率为的所有检验函数的集合，势函数为其中表示虚警概率，表示检测概率。泰勒展开可采用局部势作为指标来求最不利概率密度函数。,（局部