《流体力学教学资料》PPT课件

第六章量纲分析和相似原理,在长期的科学研究和工程实践中，人们逐渐探索出了以量纲分析和相似原理为基础的模型实验研究方法。,运用相似原理则有助于解决如何设计实验模型，如何确定实验参数，如何将模型实验的结果换算到实物上去等问题。,量纲分析和相似原理不仅被用于指导模型实验的设计及实验数据的整理，也经常被用于理论分析；它们不仅被广泛地应用于流体力学问题，也被广泛地应用于传热、传质、燃烧、船舶设计、土木建筑、水工建筑等问题。下面简要介绍量纲分析和相似原理的基本方法及其工程应用。,第一节单位与量纲,为了描述物理参数的大小，需要制定单位制。在每种单位制中都规定了数个不同类别的基本物理量为基本单位，在度量物理参数的大小时，实际上就是将它们与那些被定义为单位的同类基本物理量相比较。,在制定单位制时一般只规定几个相互独立的基本物理单位，所有其它的物理单位都可以由这些基本单位组合而得到。由基本单位组合而成的物理单位也称为导出单位。,物理参数度量单位的类别称为量纲或者因次。,基本单位：长度质量时间,基本单位的量纲被称为基本量纲，导出单位的量纲则被称为导出量纲。,基本量纲的个数取决于问题所涉及到的物理参数。一般的流体力学问题只涉及到四个基本量纲，不可压缩流体的流动问题与温度变量无关，通常只涉及到三个基本量纲。,其它量的量纲，根据物理意义推导：,同一物理参数在不同的单位制中可能具有不同的量纲。我国法定的单位制是国际单位制。,只有同类别的物理参数才能够比较彼此的大小。由于物理方程描述的是同类物理参数之间的等量关系，因此无论采用何种单位制来建立反映物理现象的方程，方程中每一项的量纲都必须是相同的。这也称为量纲的一致性原理。,例写出流体动力粘度系数在国际单位制和工程单位制中的量纲。,解由牛顿内摩擦定律可知动力粘度系数的量纲为：在国际单位制中，力的量纲是LMT-2，应力的量纲是L-1MT-2，而速度V的量纲是LT-1，因此动力粘度系数的量纲为：在工程单位制中，应力的量纲是L-2F，所以动力粘度系数的量纲为：,有一些物理参数是无量纲的。例如，弧度是孤长与径长的比值，它就是一个无量纲参数。当几个物理参数组合而成的综合参数无量纲，则称它为无量纲综合参数。如果数个物理参数中任意一个参数的量纲都不能由其它参数的量纲组合而得到，则这些物理参数是相互独立的。,假设对相互独立的物理参数q1,q2,q3,qk进行量纲组合而得到另一物理参数q的量纲，即：,其中m1,m2,m3,mk为有理数，则显然可以由下列方式组成一个无量纲综合参数：,无量纲综合量：,这些综合量决定一个流动的本质,如雷诺数，马赫数等,各种力的相对大小比值确定流动本质。,流体质点受力：惯性力，粘性力，压力差，重力，表面张力。,对于一个具体的流动问题，如何确定有关的无量纲综合量？,第二节量纲分析与定理,定理：,设一物理现象与n个物理参数q1,q2,q3,qn有关，并且可以由函数关系所描述：,如果所有相关物理参数所涉及到的基本量纲数为m，就可以将n个物理参数组合成n-m个独立的无量纲参数1,2,3,n-m，而同一物理现象则可以由无量纲参数之间的函数关系所描述：,由于无量纲参数的个数(n-m)少于原物理参数的个数(n)，所以函数关系(b)所涉及到的变量个数少于函数关系(a)，这样就使问题得到了简化。,运用定理的目的是确定独立的无量纲参数。确定无量纲量的步骤：,如果n个物理参数的基本量纲数为m，则应该在n个物理参数中选取m个作为循环量。循环量选取的一般原则是：为了保证几何相似，应该选取一个与长度直接相关的变量；为了保证运动相似，应该选取一个与速度直接相关的变量；为了保证动力相似，应该选取一个与质量直接相关的物理量。m个循环量应包含问题所涉及到的所有m个基本量纲。用这m个循环量与其它n-m个物理参数中的其它所有参数依次组合成无量纲综合参数。,例流体作用在圆球上的阻力F与球的运动速度（或者流体的来流速度）V、球的直径D、流体密度和流体动力粘度系数有关，试运用定理求出与该物理现象有关的所有无量纲综合参数。,解流动所涉及到的物理参数共有五个，即F、V、D、，因此。五个物理参数的量纲分别是：F=MLT-2V=LT-1=ML-3D=L=ML-1T-1涉及到基本量纲M、L、T，因此m=3。由定理可知，可以组合得到n-m=2个独立的无量纲参数。,选、V、D作为循环量，三个变量分别与质量、速度和长度直接相关，并且它们包含问题所涉及到的所有基本量纲M、L、T。用循环量与余下的F和依次组合成无量纲综合参数1和2。1=FaVbDc=MLT-2(ML-3)a(LT-1)bLc=M1+aL1-3a+b+cT-2-b因为1无量纲，所以应该有：,求解代数方程组得到：a=-1，b=-2，c=-2,于是第一个无量纲综合参数为：,工程中常用无量纲的阻力系数描述物体的阻力。显然，CD=21。,2=aVbDc=MLT-1(ML-3)a(LT-1)bLc=M1+aL-1-3a+b+cT-1-b因为2无量纲，所以应该有：,求解代数方程组得到：a=-1，b=-1，c=-1,于是第二个无量纲综合参数为：,记Re=1/2=VD/，Re就是雷诺数。,圆球在流体中的运动阻力问题与五个物理参数有关，通常需要由五个参数之间的函数关系：F=f1(，V，D，),现在运用量纲分析法构造了两个无量纲综合参数后，同一物理问题只与两个参数有关，因此可以由下列两个独立的无量纲参数之间的函数关系来描述，使实验大为简化。,例粘性不可压缩流体在等截面直管中做定常运动，两个截面之间的压力降p取决于截面之间的距离l、截面平均速度V、流体密度、流体动力粘度系数、管道直径d和管壁粗糙度，试用定理确定有关参数之间的函数关系。,解流动共涉及到七个物理参数,即p、l、V、d和，压力降p与其它六个参数之间的一般关系式可以被写为：p=f1(l,V,d,)运用量纲分析简化关系式，七个物理参数的量纲为：,p=ML-1T-2V=LT-1=ML-3=ML-1T-1l=Ld=L=L,选、V、d作为循环量,它们含有基本量纲M、L、T，用它们依次与p、l，组合成四个无量纲综合参数1、2、3、4。,1=aVbdcp=(ML-3)a(LT-1)bLcL-1MT-2=L-3a+b+c-1M1+aT-2-b因为1无量纲，所以应该有：,a=-1，b=-2，c=0,2=aVbdc=(ML-3)a(LT-1)bLcL-1MT-1=L-3a+b+c-1M1+aT-1-b因为2无量纲，所以应该有：,a=-1，b=-1，c=-1,根据雷诺数的定义，Re=1/2=Vd/。,另外两个无量纲综合参数为：,所以无量纲参数之间的一般关系可以表示为：,对于等截面管道中的定常流动，压力降与两截面之间的距离成线性的正比关系，所以上式还可以进一步简化为：,沿程水头损失：,沿程阻力系数：,可见，沿程阻力系数只是雷诺数Re和相对粗糙度/d的函数。这就是尼古拉兹曲线和莫迪曲线的理论依据。,第二节流动相似原理,1相似性的概念,一般而言，当两个流动现象满足以下三个层次的相似性条件时，可以说它们是相似的。,几何相似：两流场中各对应夹角相等，对应长度成一定比例；运动相似：两流场中各对应点上的速度方向一致，大小成一定比例；动力相似：两流场中各对应点上力的方向一致，大小成一定比例。,几何相似要求模型与原型所有对应长度之比等于同一常数CL，即：,其中lm1、lm2、lm3等表示模型流场中某些具有特征意义的长度，而lp1、lp2、lp3等则表示原型流场中的对应长度。,运动相似要求模型流场与原型流场上对应点上的速度方向相同而速度的大小成一定比例。假设两流场的速度比为常数CV，则：,其中Vm1、Vm2、Vm3等表示模型流场中具有特征意义的速度，而Vp1、Vp2、Vp3等则表示原型流场中的对应速度。,运动相似还要求时间相似，即指对应的时间间隔成比例。设该比例为CT。因为CL与CV均为常数，故CT=CL/CV也等于常数。,除此而外，运动相似还要求模型流场与原型流场的流动状态相同，例如，两流场同处于层流状态或者同处于湍流状态，两流场中均不出现空蚀现象等。,动力相似要求在模型流场和原型流场的对应点上各种作用力（如惯性力、粘性力、质量力及压力等）方向相同，大小成同一比例。用CF表示力的比例，则有：,其中Fm1、Fm2、Fm3等是模型流场中的力，Fp1、Fp2、Fp3等则是原型流场中所对应的力。,几何相似并不能保证动力相似。,满足了几何相似的前提下，运动相似和动力相似才有可能。,例用同一翼型模型在不同粘度的流体中测量升力和阻力，由于升力与流体粘度无关，阻力与粘度相关，所以在两个流场中测出的升力相等而阻力却不等。,几何相似运动相似动力相似流动相似,如果两个流场的相似性参数均相等，并且它们之间还具有几何相似、运动相似和动力相似的边界条件、初始条件，那么这两个流场的无量纲物理参数满足相同的控制方程和边界条件、初始条件，因此它们的无量纲物理参数必定是完全相同的，两个流场之间也一定具有运动相似和动力相似。这样的两个流动被称为相似流动。此时，我们可以由两个流场相似性参数的相等关系，确定物理参数之间的对应关系。,2物理特征量及力的量级,设流场的长度、时间、速度及压强的特征量分别为l0、t0、v0、p0。这些物理特征量将被作为衡量相应物理参数变化的基本尺度，它们的具体定义需要根据实际流动的主要特征来确定。,定义无量纲参数：,基本方程：,方程成为：,其中,其中无量纲参数(相似性参数),斯特罗哈尔数(局部惯性力/对流惯性力),欧拉数(压力差/惯性力),雷诺数(惯性力/粘性力),弗汝德数(惯性力/质量力),马赫数(弹性力/惯性力),例考虑等截面水平圆管中的流动。压力降p取决于管长l、平均流速V、流体粘度系数、流体密度、管直径D、管壁粗糙度。试确定独立的无量纲参数。,例已知作用在圆球上的阻力与球的运动速度V、球的直径D、流体密度及流体动力粘度系数相关，试确定独立的无量纲参数。,欧拉数雷诺数,欧拉数雷诺数,例为了确定在深水中航行的潜艇所受的阻力，用缩尺1/20的模型在水洞中做实验。设潜艇速度Vp=2.572m/s，海水密度p=1010kg/m3，运动粘度系数p=1.310-6kg/(ms)，实验用水密度m=988kg/m3，运动粘度系数m=0.55610-6kg/(ms)。试确定模型实验的拖拽速度Vm及潜艇与模型的阻力比Fp/Fm。,解这是定常流动问题，并且与质量力无关，不需要考虑St和Fr。,模型的特征长度为,设潜艇特征长度为Lp，对于潜艇周围的流场可以定义雷诺数,设两流场的特征压强为,由得到,潜艇和模型的速度比、阻力比都不等于它们的缩尺比例。,例为了估算船舶在水面上行驶的阻力，用缩尺1/20的船体模型在拖拽水池中做实验。设船体长Lp=30m,速度Vp=5m/s,水密度p=1000kg/m3，粘度系数p=0.001kg/(ms)。如何安排实