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导数的应用,一、洛必达法则二、函数的单调性与曲线的凹凸性三、函数的极值与最大值最小值,洛必达法则,二、其他未定式,引在求极限时，有时会遇到两个无穷小量之比的极限或者两个无穷大量之比的极限，这类极限有的存在，有的不存在，通常称这种类型的极限式为未定式，简记为型或型.如何计算这种未定式呢？,例如,如果当xa(或x)时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限,一、,存在(或为),定理1.,(洛必达法则),例1求,原式=,说明1.,定理1中,换为,之一,说明2.,若,满足洛必达法则,则,条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.,对洛必达法则的两点说明：,例3,解,例4求,解,例5求,解,=0.,例6,解,使用洛必达法则的几点注意:,例如,事实上,用洛必达法则,1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.,2)洛必达法则与其他求极限的方法，比如等价无穷小代换，结合使用效果会更好.,例7求,解先对分母使用等价无穷小，x2sinxx3,例8,解,例9求,解这是,型未定式,故,3),例如,极限不存在,不能用洛必达法则!,即,必须是未定式才可使用洛必达法则！,4)若,例如,使用洛必达法则的几点注意:,二、其他未定式,若limu(x)=1,limv(x)=,则称极限式limu(x)v(x)为1型未定式,此外还有0型和00型等未定式.,这些未定式求值时不能直接使用洛比达法则，,若limu(x)=,limv(x)=,则称极限式limu(x)-v(x)为-型未定式.,若limu(x)=0,limv(x)=,则称极限式limu(x)v(x)为0型未定式.,但可以利用通分、取对数等初等方法将其化成,例1,解原式=,“通分”,洛,洛,例2.,解：,解:原式,例3.求,洛,洛,例4求,解,“倒代换”,“通分”,例5求,解这是0型未定式,可化为,则,“取倒数”,（0）,洛,例6求,解,原式,是幂指函数，,时，它是未定式。,利用恒等变形将其变为复合函数：,是,类型的未定式。,“取倒数”,洛,例7,解：,幂指函数,恒等变形,洛,例8,幂指函数,解：,恒等变形,原式=,洛,对于,型未定式还有一种解法，即利用重要极限二。,此外还可以利用如下方法：,若limu(x)=1,limv(x)=,则称limu(x)v(x）为1型未定式。,恒等变形,等价无穷小,例8,解法2：原式=,洛,小结：洛必达法则是针对,步骤:,即将其中一个因子下放至分母就可转化为,步骤:,即采用通分的方法将其转
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