一次函数复习讲义

一次函数的图像和性质一、知识要点：1、一次函数：像y=kx b (k0，k，b是常数)这样的函数。注意： (1)k0，否则，参数x的最高项的系数不是1(2)在b=0时，将y=kx，y称为x的正比函数。2、图像：一次函数的图像为直线(1)与y轴相交(0，b )与x轴相交(-，0 )(2)由图像可知，直线y=kx b与直线y=kx平行，例如，直线： y=2x 3和直线y=2x-5都与直线y=2x平行。三、性质：(1)图像位置：(2)增减性k0时，y随着x变大而变大k0时，y随着x的增大而减小4 .求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)根据已知函数导出或估计(2)从实际问题列举二元方程式，转换为函数解析式。 这种问题，一般在不写函数解析式之前，无法判断两个变量之间存在什么样的函数关系。(3)用未定系数法求出函数解析式。“保留系数法”的基本思想是方程式思想，通过导入几个保留系数，把具有某种确定形式的数学问题变换成方程式(组)来解决，问题的已知的常数方程式中包含几个确定等待系数，一般需要列举几个包含保留系数的方程式。 本单元的结构方程式一般有以下情况利用一次函数的定义建立方程式。利用一次函数y=kx b中的常数项b，由函数图像和y轴的交点的纵轴，即b定点的直线y=kx b与y=kx平行，由k决定方向。利用函数图像上点的横、纵轴，满足该函数解析式结构方程式。利用主题已知条件直接构建方程式。二、例题示例：例1 .已知的y=，其中=(k0的常数)成比例，求证y也与x成比例。 证明： 822222222220000设为=a(a0的常数)y=，=(k0的常数)y=a=akx其中，ak0的常数为y也与x成比例。已知一次函数=(n-2)x -n-3的图像和y轴的交点的纵轴为-1，判断=(3- )，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在正交坐标系中的位置和增减性。解：根据问题得到n=-1=-3x-1=(3-)x是正比函数=-3x-1的图像通过第二、三、四象限，随着x的增大而减少=(3-)x的图像穿过第一、第三象限，随着x变大而变大。说明：一次函数的解析式包含未定系数n，因此求解析式的关键是建立关于n的方程式，该问题利用“一次函数解析式的常数项为图像与y轴的交点纵轴”建立方程式。例3 .直线y=kx b与直线y=5-4x平行，与直线y=-3(x-6 )相交，交点在y轴上，求出该直线解析式.解析：直线y=kx b的位置由系数k、b决定：用k确定方向，用b确定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。 例子y=2x，y=2x 3的图像是平行的。解：AAAAAAAAAAMMMMMK与y=5-4x平行k=-4y=kx b和y=-3(x-6)=-3x 18与y轴相交b=18y=-4x 18。说明：一次函数y=kx b的图像的位置由系数k、b决定方向：由k决定方向，由b决定定点，即函数图像与直线y=kx平行，通过(0，b )点，反之亦然，由函数图像的方向决定k，由与y轴的交点决定b。例4 .直线和x轴为点a (-4，0 )，y轴为点b，从点b到x轴的距离为2时，求出直线的解析式。解：从点b到x轴的距离为2，点b的坐标为(0，2 )如果将直线的解析式设为y=kx2，HHR直线通过点a (-4，0 )，0=-4k2，则k=、直线AB的解析式是y=x 2或y=-x-2 .说明：这个例子看起来很简单，但实际上暗示了很多推论过程。 这些推论是求一次函数解析式所必需的。(1)图像是直线的函数是一次函数(2)直线和y轴与b点相交，则点B(0，)(3)从点b到x轴的距离为2的情况|=2； (4)点b的纵轴为直线解析式的常数项，即b=；(5)知道直线和y轴交点的纵轴可以设为y=kx以下只是保留k。已知一次函数的图像，交点x轴在a (-6，0，0 )，交点比例函数的图像在点b，点b在第三象限，其横轴是-2，AOB的面积以6平方单位，求出比例函数和一次函数的解析式。分析：草图如下解：设正比函数y=kx一次函数y=ax b点b位于第三象限，横轴为-2B(-2，其中0，=6，MMMMMMMMMM当将点B(-2，-2)代入比例函数y=kx时，k=1将点a (-6，0 )，B(-2，-2)代入y=ax b了解：求出y=x，y=-x-3。说明： (1)本例使用比例函数、一次函数定义包含保留系数的构造式，必须注意用不同的字母表示两个函数中的系数(2)在该例子中，有必要将条件(面积)变换为点b的坐标。 该变换本质上包括使用面积式AOBD=6(把过点b作为BDAO计算d )计算线长BD=2，再使用|=BD和点b在第三象限计算=-2这两个阶段。 如果排除第三象限的条件，考虑b的位置，结果会有什么变化？ (a )可能有两个可能性，点b可能在第二象限(-2，2 )，结果增加了y=-x，y=(x 3 )的组例6 .已知正比函数y=kx (k0 )的图像上的一点和原点之间的距离为13，通过该点在x轴上画垂线，从该点知道脚之间的线段和x轴及其图像包围的图形的面积为30，求该正比函数的解析式。分析：草图如下OA=13，=30列方程式只要求点a的坐标就可以了。解法1 :设图像上的一点A(x，y )被满足理解： 灬如果代入y=kx (k0 )，则为k=-、k=-.y=-x或y=-x。解法2 :假设图像上一点A(a，ka )满足.从(2)到=-，如果代入(1)，则得到(1 )(-)=)整理的话，变成60 169k 60=0解k=-或k=-.y=-x或y=-x。说明：主题给出了包含未定系数的结构式y=kx，其中k为未定系数，所以解这个例子的关键是建立与k有关的方程式。 本例给出的两种解法代表两种不同的想法：解法1首先将已知条件转换为函数图像上的求点的坐标，求解结构方程式后求k的解法2导入辅助未知数a，用毕达哥拉斯定理、三角形面积公式直接构造关于a、k的方程式，在解决问题时消去a后再求k 例7 .在正交坐标系x0y中，一次函数y=x的图像和x轴，y轴分别与a、b两点相交，点c坐标为(1，0 )，点d在x轴上，且BCD=ABD，求出图像通过b、d两点的一次函数的解析式。分析：已知的a点坐标(-3，0 )，b点坐标(0)，点c确定点(1，0 )，问题解决的关键是确定点d的坐标，点d在x轴上，在cd=abd的条件下，根据草图确定BCD的边BC，边c确定解：点a、b分别是直线y=x和x轴和y轴的交点a (-3，0 )，B(0)，系点c坐标(1，0 )根据毕达哥拉斯定理，BC=，AB=，设点d的坐标为(x，0 )。(1)点d为c点右侧，即x1时喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6222222222222222222226522222222222卡卡卡卡=- - - - 2222222222卡卡卡卡8-22x 5=0x1=、x2=检查： x1=，x2=，都是方程式的根。822222222222222652x=，d点坐标是(，0 )。设图像过b、d两点的一次函数解析式为y=kx b时2220求的一次函数是y=-x(2)如果点d是点c的左侧，则x1可以证明的ABCADB2220-8-18x-5=0x1=-，x2=，检查的x1=-，x2=，都是方程式的根。22222222222222222222226d点坐标为(-，0 )，图像过b，D(-，0 )两点的一次函数解析式为y=4x根据以上内容，满足问题意思的一次函数是y=-x或y=4x已知如图所示，求出一次函数y=x-3的图像和x轴、y轴分别与a、b两点相交，超过点c (4，0 ) ab的垂线与点e相交，y轴与点d相交的点d、e的坐标。解：直线y=x-3与x轴和点a (6，0 )相交，与y轴和点B(0，-3)相交PS=6，OB=311122200航空航空653UUUR=UURAUUUUUUUUUUUUUUUR=UUR UUUUUUUOD=8。点d的坐标为(0，8 )。设CD的直线解析式为y=kx 8，代入c (4，0 )。0=4k 8，解k=-2直线CD:y=-2x 8解开。点e的坐标是(，- )说明：点e既在直线AB上，又在直线CD上，所以可将两条直线的解析式联合起来构成二项一次方程式，由解方程式求出。一次函数综合提高问题o.o(第三题)第一部分：灵活的应用程序1 .一次函数y=mx 1和y=nx-2的图像在x轴上的点相交的情况下，mn=2 .一次函数和图像相交于轴上的点时3 .直线如图所示被简化了4 .如图所示，若设与p (2，2 )点相交的相互垂直的直线与x轴的正半轴的交点为a，与y轴的正半轴的交点为b，则四边形OAPB的面积为_ .5 .平行四边形ABCD的对角线的交点o为直角坐标系的坐标原点、点A(-2，-1)、点b (，-1)、点c和点d的坐标分别为_ .6 .如果已知点P(x，-2)和点Q(3，y )重叠，则当p和q关于_ _ _ _ _ _对称时，x=-3，y=2； PS的垂直y轴、x轴、y轴7 .一次函数的图像全部通过点，与轴分别相交于两点时，面积为8 .函数和轴的交点在轴上为整数时，满足条件的是9 .当点p的坐标为(，)、从点p到两个坐标轴的距离相等时，点p的坐标为10 .已知有直线与轴相交于点，轴与点相交，直线通过点，轴与点相交，求出的面积.11 .已知一次函数y=kx b的图像过点(1，2 )，当设y轴与点p相交的直线y=-0.5x 2与y轴的交点为q时，点q和点p关于x轴成为轴对称，求出该函数解析式.12 .已知直线y=2x 1.(1)求出已知直线和y轴交点m的坐标(2)如果直线y=kx b和已知直线关于y轴对称，则求出k、b的值.已知在13.y2与x成比例且x=-2的情况下，y=0.(1)求y和x之间的函数关系式(2)画函数的图像(3)观察图像，x取哪个值时，y0？(4)若点(m，6 )在该函数的图像上，求出m的值(5)将点p放置在y轴负半轴上，(2)中的图像与x轴、y轴分别与a、b两点相交，并设SABP=4，求出p点的坐标.众所周知，ya与x b(a，b是常数)成比例。(1)y是x的一次函数吗？ 请说明理由(2)在什么条件下，y是x的正比函数？15 .如图所示，直线l:x轴、y轴分别与a、b两点相交，在y轴上有一点c (0，4 )，可动点m从a点以每秒1单位的速度沿x轴向左移动。(1)求a、b两点的坐标(2)求2)com的面积s和m的移动时间t的函数关系式(3)t在什么值时求出com -AOB，然后求出此时的m点的坐标。一次函数的增减性和不等式1 .如果已知点(-4，y1 )、(2，y2 )都在直线y=- x b上，则y1，y2的大小关系为2 .已知关于x的不等式ax 10(a0 )的解集为x1时，直线y=ax 1与x轴的交点如果正比函数y=(2-3m)x的图像通过点A(x1，y1 )和B(x2，y2 )，并且在x1y2，则m的值的范围为4 .在已知2x-y=0，x-5y的情况下，x的可能值的范围是_ .5、如图所示，若已知函数y=3x b和y=ax-3的图像与点P(-2，-5)相交，则从图像中不等式3x bax-3的解集成为_。如图所示，一次函数y1=k1x b1和y2=k2x b2的图像与a (3，7 )相交时，不等式(k2-k1)x b2-b