苏科版九年级下第五章《二次函数》解答题专题训练(二)含答案

二次函数解答题专题训练（ 2） 一解答题（共 30 小题） 1如图，抛物线 y=x 3 与 x 轴交于 A、 B 两点，且 B（ 1， 0） （ 1）求抛物线的解析式和点 A 的坐标； （ 2）如图 1，点 P 是直线 y=x 上的动点，当直线 y=x 平分 ，求点 P 的坐标； （ 3）如图 2，已知直线 y= x 分别与 x 轴、 y 轴交于 C、 F 两点，点 Q 是直线 方的抛物线上的一个动点，过点 Q 作 y 轴的平行线，交直线 点 D，点 E 在线段 延长线上，连接 ：以 腰的等腰 面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由 2如图，抛物线 y= A（ 4， 0）， B（ 1， 3）两点，点 C、 B 关于抛物线的对称轴对称，过点 B 作直线 x 轴，交 x 轴于点 H （ 1）求抛物线的表达式； （ 2）直接写出点 C 的坐标，并求出 面积； （ 3）点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当 面积为 6 时，求出点 P 的坐标； （ 4）若点 M 在直线 运动，点 N 在 x 轴上运动，当以点 C、 M、 N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时 面积 3如图，在平面直角坐标系中，矩形 顶点 C 和 E 分别在 y 轴的正半轴和 x 轴的正半轴上， ， 7，抛物线 y= 3x+m 与 y 轴相交于点 A，抛物线的对称轴与 ，与 于点 K （ 1）将矩形 叠，点 O 恰好落在边 的点 F 处 点 B 的坐标为（ 、 ）， 长是 ， 长是 ； 求点 F 的坐标； 请直接写出抛物线的函数表达式； （ 2）将矩形 着经过点 E 的直线折叠，点 O 恰好落在边 的点 G 处，连接 痕与 交于点 H，点 M 是线段 的一个动点（不与点 H 重合），连接 点 G 作 点 P，交 点 N，连接 M 从点 E 开始沿线段 点 与点 N 重合时停止， 面积分别表示为 点 M 的运动过程中， 2（即 积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若 不变，请直接写出这个值 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答 4如图，抛物线 L： y=bx+c 与 x 轴交于 A、 B（ 3， 0）两点（ A 在 B 的左侧），与 （ 0， 3），已知对称轴 x=1 （ 1）求抛物线 L 的解析式； （ 2）将抛物线 L 向下平移 h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在 （包括 边界），求 h 的取值范围； （ 3）设点 P 是抛物线 L 上任一点，点 Q 在直线 l： x= 3 上， 否成为以点 P 为直角顶 点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点 P 的坐标；若不能，请说明理由 5如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（ 3， 0），与 y 轴交于点 C（ 0， 3） （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方上的动点，过点 M 作 y 轴交直线 点 N，求线段 最大值； （ 3）在（ 2）的条件下，当 得最大值时，在抛物线的对称轴 l 上是否存在点 P，使 等腰三角形？若存在，请直接写出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 6已知抛物线 C： y=3x+m，直线 l： y=k 0），当 k=1 时，抛物线 C 与直线 l 只有一个公共点 （ 1）求 m 的值； （ 2）若直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 A， B，直线 l 与直线 y= 3x+b 交于点 P，且，求 b 的值； （ 3）在（ 2）的条件下，设直线 y 轴交于点 Q，问：是否在实数 k 使 S 存在，求 k 的值，若不存在，说明理由 7如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 经过 三个顶点，其中点 A（ 0， 1），点 B（ 9，10）， x 轴，点 P 是直线 方抛物线上的动点 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 别交于点 E、 F，当四边形 面积最大时，求点 P 的坐标； （ 3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 是否存在点 Q，使得以 C、 P、 Q 为顶点的三角形与 似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理 由 8如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y= x 3 交于 A、 B 两点，其中点 A 在 y 轴上，点 4， 5），点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴于点 C，交点 D （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）以 O， A， P， D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由 （ 3）当点 P 运动到直线 方某一处时，过点 P 作 足为 M，连接 等腰直角三角形，请直接写出此时点 P 的坐标 9如图 1，二次函数 x 2）（ x 4）的图象与 x 轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），其对称轴 l 与 x 轴交于点 C，它的顶点为点 D （ 1）写出点 D 的坐标 （ 2）点 P 在对称轴 l 上，位于点 C 上方，且 P 为顶点的二次函数 y2=bx+c（ a 0）的图象过点 A 试说明二次函数 y2=bx+c（ a 0）的图象过点 B； 点 R 在二次函数 x 2）（ x 4）的图象上，到 x 轴的距离为 d，当点 R 的坐标为 时，二次函数 y2=bx+c（ a 0）的图象上有且只有三个点到 x 轴的距离等于 2d； 如图 2，已知 0 m 2，过点 M（ 0， m）作 x 轴的平行线，分别交二次函数 x 2）（ x 4）、 y2=bx+c（ a 0）的图象于点 E、 F、 G、 H（点 E、 G 在对称轴 l 左侧），过点 H 作 x 轴的垂线，垂足为点 N，交二次函数 x 2）（ x 4）的图象于点 Q，若 实数 m 的值 10如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 y= 的顶点为 M，与 y 轴相交于点 N，先将抛物线 x 轴翻折，再向右平移 p 个单位长度后得到抛物线 线 l：y=kx+b 经过 M， N 两点 （ 1）结合图象，直接写出不等式 x+2 kx+b 的解集； （ 2）若抛物线 顶点与点 M 关于原点对称，求 p 的值及抛物线 解析式； （ 3）若直线 l 沿 y 轴向下平移 q 个单位长度后，与（ 2）中的抛物线 在公共点，求 3 4q 的最大值 11如图，直线 l： y= x+1 与 x 轴， y 轴分别交于 A， B 两点，点 P， Q 是直线 l 上的两个动点，且点 P 在第二象限，点 Q 在第四象限， 35 （ 1）求 周长； （ 2）设 AQ=t 0，试用含 t 的代数式表示点 P 的坐标； （ 3）当动点 P， Q 在直线 l 上运动到使得 周长相等时，记 m，若过点 A 的二次函数 y=bx+c 同时满足以下两个条件： 6a+3b+2c=0； 当 m x m+2 时，函数 y 的最大值等于 ，求二次项系数 a 的值 12已知抛物线与 x 轴交于 A（ 6， 0）、 B（ ， 0）两点，与 y 轴交于点 C，过抛物线上点 M（ 1， 3）作 x 轴于点 N，连接 （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）如图 1，将 x 轴向右平移 t 个单位（ 0 t 5）到 OMN的位置， MO与直线 别交于点 E、 F 当点 F 为 MO的中点时，求 t 的值； 如图 2，若直线 MN与抛物线相交于点 G，过点 G 作 MO交 点 H，试确定线段 否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时 t 的值；若不存在，请说明理由 13如图，已知二次函数 y= x2+bx+c 的图象交 x 轴于点 A（ 4， 0）和点 B，交 y 轴于点C（ 0， 4） （ 1）求这个二次函数的表达式； （ 2）若点 P 在第二象限内的抛物线上，求四边形 积的最大值和此时点 P 的坐标； （ 2）在平面直角坐标系内，是否存在点 Q，使 A， B， C， Q 四点构成平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 14如图所示，抛物线 y=x+c 经过原点 O 与点 A（ 6， 0）两点，过点 A 作 直线 y=2x 2 于点 C，且直线 y=2x 2 与 x 轴交于点 D （ 1）求抛物线的解析式，并求出点 C 和点 D 的坐标； （ 2）求点 A 关于直线 y=2x 2 的对称点 A的坐标，并判断点 A是否在抛物线上，并说明理由； （ 3）点 P（ x， y）是抛物线 上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线，交线段 点 Q，设线段 长为 l，求 l 与 x 的函数关系式及 l 的最大值 15如图，抛物线 y=bx+c（ a 0）与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C（ 0， 3），且此抛物线的顶点坐标为 M（ 1， 4） （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）设点 D 为已知抛物线对称轴上的任意一点，当 积相等时，求点 （ 3）点 P 在线段 ，当 y 轴垂直时，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 E，将 E 翻折，使点 P 的对应点 P与 P、 E、 C 处在同一平面内，请求出点 P坐标，并判断点 P是否在该抛物线上 16综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=8 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 l 经过坐标原点 O，与抛物线的一个交点为 D，与抛物线的对称轴交于点 E，连接 知点 A， D 的坐标分别为（ 2， 0），（ 6， 8） （ 1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 B 和点 E 的坐标； （ 2）试探究抛物线上是否存在点 F，使 存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由； （ 3）若点 P 是 y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（ 0， m），直线 直线 l 交于点Q，试探究：当 m 为何值时， 等腰三角形 17如图，在平面直角坐标系 ，抛物线 y=a（ x+1） 2 3 与 x 轴交于 A， B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（ 0， ），顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 H，过点 H 的直线 l 交抛物线于 P， Q 两 点，点 Q 在 y 轴的右侧 （ 1）求 a 的值及点 A， B 的坐标； （ 2）当直线 l 将四边形 为面积比为 3： 7 的两部分时，求直线 l 的函数表达式； （ 3）当点 P 位于第二象限时，设 中点为 M，点 N 在抛物线上，则以 对角线的四边形 否为菱形？若能，求出点 N 的坐标；若不能，请说明理由 18如图，在平面直角坐标系 ，抛物线 y=过两点 A（ 1， 1）， B（ 2， 2）过点 B 作 x 轴，交抛物线于点 C，交 y 轴于点 D （ 1）求此抛 物线对应的函数表达式及点 C 的坐标； （ 2）若抛物线上存在点 M，使得 面积为 ，求出点 M 的坐标； （ 3）连接 坐标平面内，求使得 似（边 边应）的点 N 的坐标 19如图，二次函数 y=bx+c 的图象交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于点 C，且 B（ 1， 0），C（ 0， 3），将 点 O 按逆时针方向旋转 90， C 点恰好与 A 重合 （ 1）求该二 次函数的解析式； （ 2）若点 P 为线段 的任一动点，过点 P 作 点 E，连结 积 S 的最大值； （ 3）设抛物线的顶点为 M， Q 为它的图象上的任一动点，若 以 底的等腰三角形，求 Q 点的坐标 20阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的 “特征线 ”例如，点 M（ 1， 3）的特征线有： x=1， y=3， y=x+2，y= x+4 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形 B 在第一象限， A、 C 分别在x 轴和 y 轴上，抛物线 经过 B、 C 两点，顶点 D 在正方形内部 （ 1）直接写出点 D（ m， n）所有的特征线； （ 2）若点 D 有一条特征线是 y=x+1，求此抛物线的解析式； （ 3）点 P 是 上除点 A 外的任意一点，连接 着 叠，点 A 落在点 A的位置，当点 A在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足（ 2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶 点落在 ？ 21如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=bx+c 的顶点坐标为（ 2， 9），与 y 轴交于点 A（ 0， 5），与 x 轴交于点 E、 B （ 1）求二次函数 y=bx+c 的表达式； （ 2）过点 A 作 行于 x 轴，交抛物线于点 C，点 P 为抛物线上的一点（点 P 在 方），作 行与 y 轴交 点 D，问当点 P 在何位置时，四边形 面积最大？并求出最大面积； （ 3）若点 M 在抛物线上，点 N 在其对称轴上，使得以 A、 E、 N、 M 为顶点的四边形是平行四边形，且 其一边，求点 M、 N 的坐标 22如图，抛物线 y=经过点 A（ 1， 0）和点 B（ 5， 0），与 y 轴交于点 C （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）以点 A 为圆心，作与直线 切的 A，请判断 A 与 y 轴有怎样的位置关系，并说明理由； （ 3）在直线 方的抛物线上任取一点 P，连接 问： 面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 23如图，在矩形 片中， ， ， D 为 上动点，将 叠，当点 C 的对应点落在直线 l： y= x+7 上时，记为点 E， F，当点 C 的对应点落在边 为点 G （ 1）求点 E， F 的坐标； （ 2）求经过 E， F， G 三点的抛物线的解析式； （ 3）当点 C 的对应点落在直线 l 上时，求 长； （ 4）在（ 2）中的抛物线上是否存在点 P，使以 E， F， P 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 24在直角坐标系 ， A（ 0， 2）、 B（ 1， 0），将 过旋转、平移变化后得到如图 1 所示的 （ 1）求经过 A、 B、 C 三点的抛物线的解析式； （ 2）连结 P 是位于线段 方的抛物线上一动点，若直线 面积分成 1： 3 两部分，求此时点 P 的坐标； （ 3）现将 别向下、向左以 1： 2 的速度同时平移，求出在此运动过程中 叠部分面积的最大值 25已知抛物线 y= 2m+1） x+m（ m 3）（ m 为常数， 1 m 4） A（ m 1， B（ ， C（ m， 该抛物线上不同的三点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点 0得到直线 a，过抛物线顶点 P 作 a 于 H （ 1）用含 m 的代数式表示抛物线的顶点坐标； （ 2）若无论 m 取何值，抛物线与直线 y=x k 为常数）有且仅有一个公共点，求 k 的值； （ 3）当 1 6 时，试比较 间的大小 26如图 1（注：与图 2 完全相同），二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（ 3， 0），B（ 1， 0）两点，与 y 轴交于点 C （ 1）求该二次函数的解析式； （ 2）设该抛物线的顶点为 D，求 面积（请在图 1 中探索）； （ 3）若点 P， Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当 P， Q 运动到 t 秒时， 在的直线翻折，点 A 恰好落在抛物线上 E 点处，请直接判定此时四边形 形状，并求出 E 点坐标（请在图 2 中探索） 27如图，直线 y= x+3 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 B、 C，经过 B、 C 两点的抛物线 y=bx+c与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P，且对称轴为直线 x=2 （ 1）求该抛物线的解析式； （ 2）连接 面积； （ 3）连接 x 轴上是否存在一点 Q，使得以点 P， B， Q 为顶点的三角形与 似？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 28如图，在直角坐标系中，抛物线 y=a（ x ） 2+ 与 M 交于 A， B， C， D 四点，点A， B 在 x 轴上，点 C 坐标为（ 0， 2） （ 1）求 a 值及 A， B 两点坐标； （ 2）点 P（ m， n）是抛物线上的动点，当 锐角是，请求出 m 的取值范围； （ 3）点 e 是抛物线的顶点， M 沿 在直线平移，点 C， D 的对应点分别为点 C， D，顺次连接 A， C， D， E 四点，四边形 E（只要考虑 凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心 M的坐标；若不存在，请说明理由 29如图 1，已知一次函数 y=x+3 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，抛物线 y= x2+bx+、 B 两点，且与 x 轴交于另一点 C （ 1）求 b、 c 的值； （ 2）如图 1，点 D 为 中点，点 E 在线段 ，且 接 延长交抛物线于点 M，求点 M 的坐标； （ 3）将直线 点 A 按逆时针方向旋转 15后交 y 轴于点 G，连接 图 2， P 为 以点，连接 别以 边，在他们的左侧作等边 边 接 求证： Q； 求 C+最小值，并求出当 C+得最小值时点 P 的坐标 30如图，抛物线 y=4（ a 0）与 x 轴交于 A（ 4， 0）、 B（ 1， 0）两点，过点A 的直线 y= x+4 交抛物线于点 C （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）在直线 有一动点 E，当点 E 在某个位置时，使 周长最小，求此时 E 点坐标； （ 3）当动点 E 在直线 抛物线围成的封闭线 ACBDA 上运动时，是否存在使 直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的 E 点的坐标；若不存在，请说明理由 31如图，已知抛物线 y=x+6（ a 0）交 x 轴与 A， B 两点（点 A 在点 B 左侧），将直尺 x 轴负方向成 45放置，边 过抛物线上的点 C（ 4， m），与抛物线的另一交点为点 D，直尺被 x 轴截得的线段 ，且 面积为 6 （ 1）求该抛物线的解析式； （ 2）探究：在直线 方的抛物线上是否存在一点 P，使得 面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 （ 3）将直尺以每秒 2 个单位的速度沿 x 轴向左平移，设平移的时间为 t 秒，平移后的直尺为 WXYZ，其中边 XY所在的直线与 x 轴交于点 M，与抛物线的其中一个交点为点 N，请直接写出当 t 为何值时，可使得以 C、 D、 M、 N 为顶点的四边形是平行四边形 32如图，在平面直角坐标系中，四边形 以 直径的 M 的内接四边形，点A， B 在 x 轴上， 边长为 2 的等边三角形，过点 M 作直线 l 与 x 轴垂直，交 ，垂足为点 M，且点 D 平分 （ 1）求过 A， B， E 三点的抛物线的解析式； （ 2）求证：四边形 菱形； （ 3）请问在抛物线上是否存在一点 P，使得 面积等于定值 5？若存在，请求出所有的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 33如图，在平面直角坐标系中，有抛物线 y=a（ x h） 2抛物 线 y=a（ x 3） 2+4 经过原点，与 x 轴正半轴交于点 A，与其对称轴交于点 B， P 是抛物线 y=a（ x 3） 2+4 上一点，且在 x 轴上方，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线 y=a（ x h） 2 于点 Q，过点 Q 作 垂线交抛物线 y=a（ x h） 2 于点 Q（不与点 Q 重合），连结 设点 P 的横坐标为 m （ 1）求 a 的值； （ 2）当抛物线 y=a（ x h） 2 经过原点时，设 叠部分图形的周长为 l 求 的值； 求 l 与 m 之间的函数关系式； （ 3）当 h 为何值时 ，存在点 P，使以点 O， A， Q， Q为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出 h 的值 34已知，抛物线 y=a 0）经过点 A（ 4， 4）， （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）如图 1，抛物线上存在点 B，使得 以 直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 B 的坐标： （ 3）如图 2，直线 l 经过点 C（ 0， 1），且平行与 x 轴，若点 D 为抛物线上任意一点（原点 O 除外），直线 l 于点 E，过点 E 作 l，交抛物线于点 F，求证：直线 定经 过点 G（ 0， 1） 35如图，顶点为 A（ ， 1）的抛物线经过坐标原点 O，与 x 轴交于点 B （ 1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （ 2）过 B 作 平行线交 y 轴于点 C，交抛物线于点 D，求证： （ 3）在 x 轴上找一点 P，使得 周长最小，求出 P 点的坐标 36如图，抛物线 L： y= （ x t）（ x t+4）（常数 t 0）与 x 轴从左到右的交点为 B，A，过线段 中点 M 作 x 轴，交双曲线 y= （ k 0， x 0）于点 P，且 P=12， （ 1）求 k 值； （ 2）当 t=1 时，求 长，并求直线 L 对称轴之间的距离； （ 3）把 L 在直线 侧部分的图象（含与直线 交点）记为 G，用 t 表示图象 G 最高点的坐标； （ 4）设 L 与双曲线有个交点的横坐标为 满足 4 6，通过 L 位置随 t 变化的过程，直接写出 t 的取值范围 37如图，抛物线 y= x 的顶点为 A，与 x 轴的正半轴交于点 B （ 1）将抛物线 的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的 2 倍，求变换后得到的抛物线的解析式； （ 2）将抛物线 的点（ x， y）变为（ |k| 1），变换后得到的抛物线记作物线 顶点为 C，点 P 在抛物线 ，满足 S 0 当 k 1 时，求 k 的值； 当 k 1 时，请直接写出 k 的值，不必说明理由 38如图，在平面直角坐标系 ，将二次函数 y=1 的图象 M 沿 x 轴翻折，把所得到的图象向右平移 2 个单位长度后再向上平移 8 个单位长度，得到二次函数图象 N （ 1）求 N 的函数表达式； （ 2）设点 P（ m， n）是以点 C（ 1， 4）为圆心、 1 为半径的圆上一动点，二次函数的图象M 与 x 轴相交于两点 A、 B，求 最大值； （ 3）若一个点的横坐 标与纵坐标均为整数，则该点称为整点求 M 与 N 所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数 39如图，已知二次函数 y= x2+bx+c（ b， c 为常数）的图象经过点 A（ 3， 1），点 C（ 0，4），顶点为点 M，过点 A 作 x 轴，交 y 轴于点 D，交该二次函数图象于点 B，连结 （ 1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标； （ 2）若将该二次函数图象向下平移 m（ m 0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 内部（不包括 边界），求 m 的取值范围 ； （ 3）点 P 是直线 的动点，若点 P，点 C，点 M 所构成的三角形与 似，请直接写出所有点 P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程） 40如图，已知抛物线 y= x+2 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C （ 1）求点 A， B， C 的坐标； （ 2）点 E 是此抛物线上的点，点 F 是其对称轴上的点，求以 A， B， E， F 为顶点的平行四边形的面积 ； （ 3）此抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得 等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与 解析 1（ 2016深圳）如图，抛物线 y=x 3 与 x 轴交于 A、 B 两点，且 B（ 1， 0） （ 1）求抛物线的解析式和点 A 的坐标； （ 2）如图 1，点 P 是直线 y=x 上的动点，当直线 y=x 平分 ，求点 P 的坐标； （ 3）如图 2，已知直线 y= x 分别与 x 轴、 y 轴交于 C、 F 两点，点 Q 是直线 方的抛物线上的一个动点，过点 Q 作 y 轴的平行线，交直线 点 D，点 E 在线段 延长线上，连接 ：以 腰的等腰 面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由 【分析】 （ 1）把 B 点坐标代入抛物线解析式可求得 a 的值，可求得抛物线解析式，再令 y=0，可解得相应方程的根，可求得 A 点坐标； （ 2）当点 P 在 x 轴上方时，连接 y 轴于点 B，可证 ，可求得 B坐标，利用待定系数法可求得直线 解析式，联立直线 y=x，可求得 P 点坐标；当点 P 在 x 轴下方时，同理可求得 B B 内部，可知此时没有满足条件的点 P； （ 3）过 Q 作 点 H，由直线 解析式可求得点 C、 F 的坐标，结合条件可求得 分别用 示出 长，分 E 和 E 两种情况，分别用 长表示出 面积，再设出点 Q 的坐标，利用二次函数的性质可求得 【解 答】 解： （ 1）把 B（ 1， 0）代入 y=x 3， 可得 a+2 3=0，解得 a=1， 抛物线解析式为 y=x 3， 令 y=0，可得 x 3=0，解得 x=1 或 x= 3， A 点坐标为（ 3， 0）； （ 2）若 y=x 平分 如图 1，若 P 点在 x 轴上方， y 轴交于点 B， 由于点 P 在直线 y=x 上，可知 45， 在 B ， B O=1， 设直线 析式为 y=kx+b，把 A、 B两点坐标代入可得 ，解得 ， 直线 析式为 y= x+1， 联立 ，解得 ， P 点坐标为（ ， ）； 若 P 点在 x 轴下方时，同理可得 B B 又 B 内部， 此时没有满足条件的 P 点， 综上可知 P 点坐标为（ ， ）； （ 3）如图 2，作 点 H， y= x ， 可求得 C（ ， 0）， F（ 0， ）， = ， y 轴， ， 不妨设 DQ=t， t， t， 以 腰的等腰三角形， 若 E，则 S Q= t t= 若 E，则 S Q= 2Q= t t= 当 E 时 面积比 E 时大 设 Q 点坐标为（ x， x 3），则 D（ x， x ）， Q 点在直线 下方， DQ=t= x （ x 3） = x+ ， 当 x= 时， ， （ S ， 即以 腰的等腰三角形的面积最大值为 【点评】 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、二次函数的性质及分类讨论等在（ 2）中确定 出直线 解析式是解题的关键，在（ 3）中利用 示出 题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大 2（ 2016丹东）如图，抛物线 y= A（ 4， 0）， B（ 1， 3）两点，点 C、 B 关于抛物线的对称轴对称，过点 B 作直线 x 轴，交 x 轴于点 H （ 1）求抛物线的表达式； （ 2）直接写出点 C 的坐标，并求出 面积； （ 3）点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当 面积为 6 时，求出点 P 的坐 标； （ 4）若点 M 在直线 运动，点 N 在 x 轴上运动，当以点 C、 M、 N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时 面积 【分析】 （ 1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （ 2）根据二次函数的对称轴 x=2 写出点 C 的坐标为（ 3， 3），根据面积公式求 面积； （ 3）因为点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点 P 的坐标（ m， m），利用差表示 面积，列式计算求出 m 的值，写出点 P 的坐标； （ 4）分别以点 C、 M、 N 为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求 N 的长，利用面积公式进行计算 【解答】 解：（ 1）把点 A（ 4， 0）， B（ 1， 3）代入抛物线 y=， 得 解得： ， 抛物线表达式为： y= x； （ 2）点 C 的坐标为（ 3， 3）， 又 点 B 的坐标为（ 1， 3）， ， S 2 3=3； （ 3）过 P 点 作 点 D， 设点 P（ m， m）， 根据题意，得： H=3， HD=4m， PD=m 1， S 四边形 S 6= 3 3+ （ 3+m 1）（ 4m） （ m 1）（ 3+4m）， 315m=0， （舍去）， ， 点 P 坐标为（ 5， 5） （ 4）以点 C、 M、 N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论： 以点 M 为直角顶点且 M 在 x 轴上方时，如图 2， N， 0， 则 H=2， N=3 2=1， M（ 1， 2）， N（ 2， 0）， 由勾股定理得： = ， S = ； 以点 M 为直角顶点且 M 在 x 轴下方时，如图 3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形： 得 D=5， E=2， 由勾股定理得： = ， S = ； 以点 N 为直角顶点且 N 在 y 轴左侧时，如图 4， N， 0，作辅助线， 同理得： = ， S =17； 以点 N 为直角顶点且 N 在 y 轴右侧时，作辅助线，如图 5，同理得： = ， S =5； 以 C 为 直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形； 综上所述： 面积为： 或 或 17 或 5 【点评】 本题是二 次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质；本题的一般思路为： 根据函数的表达式设出点的坐标，利用面积公式直接表示或求和或求差列式，求出该点的坐标； 利用等腰直角三角形的两直角边相等，构建两直角三角形全等，再利用全等性质与点的坐标结合解决问题 3（ 2016沈阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形 顶点 C 和 E 分别在 y 轴的正半轴和 x 轴的正半轴上， ， 7，抛物线 y= 3x+m 与 y 轴相交于点 A，抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 B，与 于点 K （ 1）将矩形 叠，点 O 恰好落在边 的点 F 处 点 B 的坐标为（ 10 、 0 ）， 长是 8 ， 长是 10 ； 求点 F 的坐标； 请直接写出抛物线的函数表达式； （ 2）将矩形 着经过点 E 的直线折叠，点 O 恰好落在边 的点 G 处，连接 痕与 交于点 H，点 M 是线段 的一个动点（不与点 H 重合），连接 点 G 作 点 P，交 点 N，连接 M 从点 E 开始沿线段 点 与点 N 重合时停止， 面积分别表示为 点 M 的运动过程中， 2（即 积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答 【分析】 （ 1） 根据四边形 矩形以及对称轴公式即可解决问题 在 利用勾股定理即可解决问题 设 F=x，在 ， x， AF=x， ，利用勾股定 理即可解决问题 （ 2）不变 2=289由 = ，得到 N出 据 2= N M 即可解决问题 【解答】 解：（ 1）如图 1 中， 抛物线 y= 3x+m 的对 称轴 x= =10， 点 B 坐标（ 10， 0）， 四边形 矩形， B=10， C=8， 故答案分别为 10， 0， 8， 10 在 ， 0， B=10， C=8， =6， K ， 点 F 坐标（ 4， 8） 设 F=x， 在 ， （ 8 x） 2+42= x=5， 点 A 坐标（ 0， 5），代入抛物线 y= 3x+m 得 m=5， 抛物线为 y= 3x+5 （ 2）不变 2=289 理由：如图 2 中，在 ， O=17， ， = =15， D ， = =2 ， 0， 0， 0， = ， N H= ， M=17， 2= N M=（ 2 ） 217=289 【点评】 本题考查二次函数综合题、矩形的性质、翻折变换相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明 出 M 的值，属于中考压轴题 4（ 2016玉林）如图，抛物线 L： y=bx+c 与 x 轴交于 A、 B（ 3， 0）两点（ A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（ 0， 3），已知对称轴 x=1 （ 1）求抛物线 L 的解析式； （ 2）将抛物线 L 向下平移 h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在 （包括 边界），求 h 的取值范围； （ 3）设点 P 是抛物线 L 上任一点，点 Q 在直线 l： x= 3 上， 否成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点 P 的坐标；若不能，请说明理由 【分析】 （ 1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （ 2）先求出直线 析式为 y= x+3，再求出抛物线顶点坐标，得出当 x=1 时， y=2；结合抛物线顶点坐即可得出结果； （ 3）设 P（ m， m+3）， Q（ 3， n），由勾股定理得出 m 3） 2+（ m+3）2， m+3） 2+（ m+3 n） 2， 6，过 P 点作 直于 y 轴，交 y 轴与 P 的延长线于 出 P，N，则 m+3 n， m，得出方程 m+3 n=3 m，解方程即可 【解答】 解：（ 1） 抛物线的对称轴 x=1， B（ 3， 0）， A（ 1， 0） 抛物线 y=bx+c 过点 C（ 0， 3） 当 x=0 时， c=3 又 抛物线 y=bx+c 过点 A（ 1， 0）， B（ 3， 0） ， 抛物线的解析式为： y= x+3； （ 2） C（ 0， 3）， B（ 3， 0）， 直线 析式为 y= x+3， y= x+3=（ x 1） 2+4， 顶点坐标为（ 1， 4） 对于直线 y= x+