2016年河北省沧州市高考数学文科模拟试卷(4月)含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年河北省沧州市高考数学模拟试卷（文科）（ 4 月份） 一、选择题 1已知集合 A= 1， 0， 1， B=x|y=x R，则 AB=（ ） A 0， 1 B 1， 0， 1 C 1 D 2设复数 z= （ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A B C D 3同时掷两个均匀的正方体骰子，则向上的点数之和为 5 的概率为（ ） A B C D 4焦点为（ 6， 0）且与双曲线 相同渐近线的双曲线的方程为 （ ） A =1 B =1 C =1 D =1 5执行如图的程序 框图，如果输出结果为 2，则输入的 x=（ ） A 0 B 2 C 4 D 0 或 4 6若函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 2） =（ ） A 1 B C D 5 7命题 p：直线 y 1=0 与直线 x+（ a+1） y+4=0 互为平行的充要条件是 a= 2；命题 q：若平面 内存 在不共线的三点到平面 的距离相等，则 对以上两个命题，下列结论正确的是（ ） A命题 “p 且 q”为真 B命题 “p 或 q”为假 C命题 “ p 且 q”为真 D命题 “p 或 q”为假 第 2 页（共 20 页） 8设 f（ x）是定义在 R 上的恒不为 0 的函数，对任意实数 x， y R，都有 f（ x y） = ，已知 f（ 1） =2， an=f（ n）， n N+，则数列 前 n 项和 （ ） A 2n 1 B 2n C 2n+1 1 D 2n+1 2 9某几何体的三视图如图所示，此几何体的 体积为（ ） A 4 B 6 C 8 D 9 10函数 y= 0 x ）的值域为（ ） A ， 1+ B ， 1 C 0， 1 D ， 1 11已知点 M（ 1， 2）是抛物线 p 0）的准线上一点， A， B 在抛物线上，点F 为抛物线的焦点，且有 |8，则线段 垂直平分线必过点（ ） A（ 3， 0） B（ 5， 0） C（ 3， 2） D（ 5， 4） 12已知函数 f（ x） =x3+，函数 y=f（ x+1） 1 为奇函数，则函数 f（ x）的零点个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量 ， 满足 | |=1， | |= ， + =（ ， 1），则 ， =_ 14设 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z= 的取值范围是 _ 15已知四棱锥 P 面 矩形， 平面 B=2，该四棱锥外接球的体积为 8 ，则 面积为 _ 16已知 a， b， c 分别是锐角 三个内角 A， B， C 的对边， a=1， b=2 B） +B） =0，则 内角 B 的大小为 _ 三、解答题： 17已知等差数列 前 n 项和为 n N*，且 a5+4， 5 （ 1）求 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 第 3 页（共 20 页） 18某中学从高三甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩如下： 甲班： 92， 80， 79， 78， 85， 96， 85 乙班： 81， 91， 91， 76， 81， 92， 83 （ ）若竞赛成绩在 90 分以上的视为 “优秀生 ”，则从 “优秀生 ”中任意选出 2 名，乙班恰好只有 1 名的概率是多少？ （ ）根据两组数据完成两班数学竞赛成绩的茎叶图，指出甲班学生成绩的众数，乙班学 生成绩中位数，并请你利用所学的平均数、方差的知识分析一下两个班学生的竞赛成绩情况 19在三棱 ABC中，侧棱 底面 ， A=3， （ ）若 F 为线段 BC 上一点，且 = ，求证： 平面 ； （ ）若 E， F 分别是线段 BC 的中点，设平面 A三棱柱分割成左右两部分，记它们 的体积分别为 20如图，已知 P 是以 1， 0），以 4 为半径的圆上的动点， P 与 1， 0）所连线段的垂直平分线与线段 于点 M （ 1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）已知点 E 坐标为（ 4， 0），直线 l 经过点 1， 0）并且与曲线 C 相交于 A， B 两点，求 积的最大值 21已知函数 f（ x） =x +a R） （ 1）若函数 f（ x）在 1， +）上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ 2）已知 g（ x） = m 1） x+ ， m ， h（ x） =f（ x） +g（ x），当时 a=1， h（ x）有两个极值点 h（ h（ 最小值 选修 4何证明选讲 第 4 页（共 20 页） 22如图，在 ， 平分线交 点 D，交 外接圆于点 E，延长 外接圆于点 F， （ ）求 （ ）若 0， ，求 长 选修 4标系与参数方程选讲 23在平向直角坐标系中，直线 l： （ t 为参数， 0 ），在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C： =4 I）求曲线 C 的直角坐标方程； （ ）已知点 P（ 2， 1），若直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，且 =2 ，求 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|1| （ 1）解不等式 f（ x） 2+2x； （ 2）设 a 0，若关于 x 的不等式 f（ x） +5 集非空，求 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年河北省沧州市高考数学模拟试卷（文科）（ 4 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知集合 A= 1， 0， 1， B=x|y=x R，则 AB=（ ） A 0， 1 B 1， 0， 1 C 1 D 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中 x 的范围确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解： A= 1， 0， 1， B=x|y=x R=R， AB=A= 1， 0， 1， 故选： A 2设复数 z= （ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A B C D 【考点】 复数求模 【分析】 直接利用复数的模的运算法则化简求解即可 【解答】 解：复数 z= （ i 为虚数单位），则 |z|= = = 故选： B 3同时掷两个均匀的正方体骰子，则向上的点数之和为 5 的概率为（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 使用排列数公式计算基本事件个数和符合条件的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式计算概率 【解答】 解：同时掷两个均匀的正方体骰子，共有 =36 个基本事件， 其中向上的点数之和为 5 的基本事件共有 4 个，分别是（ 1， 4），（ 2， 3），（ 3， 2）（ 4， 1） 向上的点数之和为 5 的概率为 P= 故选： A 4焦点为（ 6， 0）且与双曲线 相同渐近线的双曲线的方程为 （ ） A =1 B =1 C =1 D =1 第 6 页（共 20 页） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设所求的双曲线方程是 ，由焦点（ 6， 0）在 x 轴上，知 k 0，截距列出方程，求出 k 值，即得所求的双曲线方程 【解答】 解：由题意知，可设所求的双曲线方程是 ， 焦点（ 6， 0）在 x 轴上， k 0， 由 2k+k=6， k=12， 故所求的双曲线方程是： =1 故选： A 5执行如图的程序 框图，如果输出结果为 2，则输入的 x=（ ） A 0 B 2 C 4 D 0 或 4 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出 x= 的值，分类讨论求出对应的 x 的范围，综合讨论结果可得答案 【解答】 解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出 x= 的值， 输出结果为 2， 或 ， 解得 x=4 故选： C 6若函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 2） =（ ） 第 7 页（共 20 页） A 1 B C D 5 【考点】 分段函数的应用 【分析】 直接利用分段函数的表达式，逐步求解函数值即可 【解答】 解：函数 f（ x） = ， 则 f（ f（ 2） =f（ 22 3 2+1） =f（ 1） = = 故选： C 7命题 p：直线 y 1=0 与直线 x+（ a+1） y+4=0 互为平行的充要条件是 a= 2；命题 q：若平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等，则 对以上两个命题，下列结论正确的是（ ） A命题 “p 且 q”为真 B命题 “p 或 q”为假 C命题 “ p 且 q”为真 D命题 “p 或 q”为假 【考点】 复合命题的真假 【分析】 对于命题 p：对 a 分类讨论，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出对于命题 q：若平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等，可得 或相交，即可判断出真假 【解答】 解：命题 p： a= 1 时，两条直线不平行； a 1 时，两条直线方程分别化为： y= x+ ， y= x ，由于两条直线相互平行， ， ，解得 a= 2 或 1 直线 y 1=0 与直线 x+（ a+1） y+4=0 互为平行的充要条件是 a= 2 或 1，因此 p 是假命题 命题 q：若平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等，则 或相交，因此是假命题 对以上两个命题，下列结论正确的是命题 “p 或 q”为假 故选： D 8设 f（ x）是定义在 R 上的恒不为 0 的函数，对任意实数 x， y R，都有 f（ x y） = ，已知 f（ 1） =2， an=f（ n）， n N+，则数列 前 n 项和 （ ） A 2n 1 B 2n C 2n+1 1 D 2n+1 2 【考点】 数列与函数的综合 【分析】 令 x=n， y=1，由条件可得 f（ n） =f（ n 1） f（ 1） =2f（ n 1），进而发现数列 以 2 为首项，以 2 的等比数列，运用等比数列的求和公式可以求得 【解答】 解：对任意实数 x， y R，都有 f（ x y） = ， 且 f（ 1） =2， an=f（ n）， 可得 f（ x） =f（ x y） f（ y）， 第 8 页（共 20 页） 令 x=n， y=1，可得 f（ n） =f（ n 1） f（ 1） =2f（ n 1）， 即有数列 2 为首项， 2 为公比的等比数列， 则 n， =2n+1 2 故选： D 9某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为（ ） A 4 B 6 C 8 D 9 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知该几何体为底面边长分别为 3， 4 的长方形，侧立的一个四棱锥，其中一个长方形的侧面垂直于底面，高为 2 【解答】 解：由三视图可知该几何体为底面边长分别为 3， 4 的长方形， 侧立的一个四棱锥，其中一个长方形的侧面垂直于底面，高为 2 故其体积 V= 2=8 故选： C 10函数 y= 0 x ）的值域为（ ） A ， 1+ B ， 1 C 0， 1 D ， 1 【考点】 三角函数的最值；两角和 与差的正弦函数 【分析】 由三角函数公式化简可得 y=2x+ ） ，由 0 x 和三角函数的值域可得 【解答】 解：由三角函数公式化简可得 y= =（ 1 = =2x+ ） ， 0 x ， 第 9 页（共 20 页） 2x+ ， 2x+ ） 1， 2x+ ） 1 ， 故选： D 11已知点 M（ 1， 2）是抛物线 p 0）的准线上一点， A， B 在抛物线上，点F 为抛物线的焦点，且有 |8，则线段 垂直平分线必过点（ ） A（ 3， 0） B（ 5， 0） C（ 3， 2） D（ 5， 4） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 确定抛物线的方程，由 |8，利用抛物线的定义转化为 x1+=8，从而求出 A， B 两点横坐标的和，设出 C 的坐标，利用 C 在 垂直平分线上得 |代入两点间的距离公式后移向整理，代入两横坐标的和后可求 m 的值 【解答】 解：设 A（ B（ 点 M（ 1， 2）是抛物线 p 0）的准线上一点， 抛物线方程为 x，其准线 x=1 |8， 由定义得 x1+=8，则 x1+ 设直线 垂直平分线 l 与 x 轴的交点 C（ m， 0） 由 C 在 垂直平分线上，从而 | 即（ m） 2+ m） 2+ 即（ x1+2m）（ =44 4（ x1+2m= 4 又 x1+， m=5， 点 C 的坐标为（ 5， 0） 即直线 垂直平分线 l 与 x 轴的交点为定点（ 5， 0） 故选： B 12已知函数 f（ x） =x3+，函数 y=f（ x+1） 1 为奇函数，则函数 f（ x）的零点个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 化简 y=f（ x+1） 1=（ x+1） 3+a（ x+1） 2+b（ x+1） +1 1= 3+a） 3+2a+b）x+1+b+a，从而可得 ，从而化简出 f（ x） =3x+1，求导 f（ x） =36x+2=3（ x 1） 2 1=3（ x 1 ）（ x 1+ ）以确定函数的单调性，从而确定函数的零点的个数 【解答】 解： f（ x） =x3+， y=f（ x+1） 1=（ x+1） 3+a（ x+1） 2+b（ x+1） +1 1 =x+1+ax+a+bx+b = 3+a） 3+2a+b） x+1+b+a， 第 10 页（共 20 页） 函数 y=f（ x+1） 1 为奇函数， ， 解得， a= 3， b=2； 故 f（ x） =3x+1， f（ x） =36x+2=3（ x 1） 2 1=3（ x 1 ）（ x 1+ ）， 故 f（ x）在（ ， 1 ）上是增函数，在（ 1 ， 1+ ）上是减函数， 在（ 1+ ， +）上是增函数； 且 f（ 1 ） =1+1 4+2 +2 +1 0， f（ 1+ ） =1+1+ + 4 2 +2+ +1 0， 函数 f（ x）的零点个数为 1， 故选 B 二、填空题：本大 题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量 ， 满足 | |=1， | |= ， + =（ ， 1），则 ， = 0 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 利用已知条件求出 ， ，然后求解 ， 【解答】 解：向量 ， 满足 | |=1， | |= ， + =（ ， 1）， 可知 =（ 0， 1）， =（ ， 0）， 则 ， = =0 故答案为： 0 14设 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z= 的取值范围是 ， 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，结合数形结合即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： z= 的几何意义为平面区域内的点到定点 D（ 2， 3）的斜率， 由图象知 斜率最小， 斜率最大， 其中 C（ 0， 2）， 由 得 ，即 A（ ， 1），由 ，解得 ，即 C（ 4， 1） 第 11 页（共 20 页） 则 斜率 z= = ， 斜率 z = ，即 z ， 故答案为： ， 15已知四棱锥 P 面 矩形， 平面 B=2，该四棱锥外接球的体积为 8 ，则 面积为 2 【考点】 球内接多面体 【分析】 利用四棱锥外接球的体积为 8 ，求出四棱锥外接球的半径，利用勾股定理求出可求出 面积 【解答】 解：设四棱锥外接球的半径为 R，则 四棱锥外接球的体积为 8 ， =8 ， R=3 ， 设 BC=x，则 4+4+ x= ， 面积为 = =2 ， 故答案为： 2 16已知 a， b， c 分别是锐角 三个内角 A， B， C 的对边， a=1， b=2 B） +B） =0，则 内角 B 的大小为 【考点】 余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦定理 第 12 页（共 20 页） 【分析】 a=1， b=2用正弦定理可得： B） B） =0，利用诱导公式可得： 2 2B） =0， 利用倍 角公式可得： 2 2立化简即可得出 【解答】 解： 锐角 ， a=1， b=2 ，可得 B） +B） =0， +B） = ， B） B） =0， 2 2B） =0， ， 2 2 2A+C） = 2 21=0， 解得 ， B ， B= 故答案为： 三、解答题： 17已知等差数列 前 n 项和为 n N*，且 a5+4， 5 （ 1）求 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和 【分析】 （ 1）利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出； （ 2）利用 “裂项求和 ”方法即可得出 【解答】 解：（ 1）设等差数列 公差为 d， a5+4， 5 2d=24， 3d=15， 解得 ， d=2 +2（ n 1） =2n+1 （ 2） = = ， 数列 前 n 项和 + = 第 13 页（共 20 页） = 18某中学从高三甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩如下： 甲班： 92， 80， 79， 78， 85， 96， 85 乙班： 81， 91， 91， 76， 81， 92， 83 （ ）若竞赛成绩在 90 分以上的视为 “优秀生 ”，则从 “优秀生 ”中任意选出 2 名，乙班恰好只有 1 名的概率是多少？ （ ）根据两组数据完成两班数学竞赛成绩的茎叶图，指出甲班学生成绩的众数，乙班学生成绩中位数，并请你利用所学的平均数、方差的知识分析一下两个班学生的竞赛成绩情况 【考点】 茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差 【分析】 （ ）先列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可 （ ） 画出茎叶图，根据众数和中位数的概念求出甲班学生成绩的众数，乙班学生成绩中位数，再求出平均数、方差，分析即可 【解答】 解：（ ）乙班有四名学生成绩为优秀，设为 班有两名学生成绩为优秀，设为 则选取两名成绩为优秀的学生的所有可能为：（ （ （ （ （ a2，（ （ （ （ （ 10 种可能， 其中乙班恰好只有 1 名的有 6 种可能， 故乙班恰好只有 1 名的概率是概率 P= = ； （ ）茎叶图如图 甲班学生成绩的众数 85，乙班学生成绩中位数 83， = （ 78+79+80+85+85+92+96） =85， = （ 76+81+81+83+91+91+92） =85， = （ 78 85） 2+（ 79 85） 2+（ 80 85） 2+（ 85 85） 2+（ 85 85） 2+（ 92 85） 2+（ 96 85） 2=40 = （ 76 85） 2+（ 81 85） 2+（ 81 85） 2+（ 83 85） 2+（ 91 85） 2+（ 91 85） 2+（ 92 85） 2=34 统计 结论甲班的平均成绩等于乙班的平均成绩； 乙班的成绩比甲班的成绩更稳定 第 14 页（共 20 页） 19在三棱 ABC中，侧棱 底面 ， A=3， （ ）若 F 为线段 BC 上一点，且 = ，求证： 平面 ； （ ）若 E， F 分别是线段 BC 的中点，设平面 A三棱柱分割成左右两部分，记它们的体积 分别为 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ I）过 A 作 足为 M，连结 过计算 得 ，于是 于是 面 ，再利用侧棱 底面 出 可得出结论； （ 出截面 A右两侧的几何体，则右侧为四棱锥，且底面为矩形，高与 等，利用三棱柱的体积减去 为 【解答 】 解：（ I）过 A 作 足为 M，连结 平面 面 ， ， = ， = = ， C 面 又 平面 ， A=A， 平面 （ 点 N，连结 平面 平面 面 面 第 15 页（共 20 页） 又 面 C， 平面 C， B=B， 平面 C， A BC= =3 又 ABC=S A= =9， ABC 20如图，已知 P 是以 1， 0），以 4 为半径的圆上的动点， P 与 1， 0）所连线段的垂直平 分线与线段 于点 M （ 1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）已知点 E 坐标为（ 4， 0），直线 l 经过点 1， 0）并且与曲线 C 相交于 A， B 两点，求 积的最大值 【考点】 轨迹方程 【分析】 （ 1）根据题意， |则 |4 |故 是以 焦点，长轴长为 4 的椭圆，从而可求动点 M 的轨迹 C 的方程 （ 2）设直线 l 的方程为 x=，设 A（ B（ 与椭圆方程联立化为（ 3）9=0，再利用弦长公式与点到直线的距离公式即可得出 【解答】 解：（ 1）根据题意， | 则 |4 | 故 M 的轨迹 C 是以 焦点，长轴长为 4 的椭圆， a=2， c=1， 所以 b= ， 所以点 M 的轨迹方程为 =1 （ 2）设直线 l 的方程为 x=，代入 =1， 可得 3（ ） 2+42， （ 3） 9=0， 设 A（ B（ 则 y1+ ， ， 第 16 页（共 20 页） E 到直线 l 的距离为 d= ， | | 积 S= |18 ， 设 3=t（ t 4），则 S=18 = = ， t 4， t=4， m=0 时， 积的最大值为 21已知函数 f（ x） =x +a R） （ 1）若函数 f（ x）在 1， +）上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ 2）已知 g（ x） = m 1） x+ ， m ， h（ x） =f（ x） +g（ x），当时 a=1， h（ x）有两个极值点 h（ h（ 最小值 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可 （ 2）求出函数 h（ x）的表达式，求出函数 h（ x）的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关系进行求解 【解答】 解：（ 1） f（ x） =x + f（ x） =1+ + ， f（ x）在 1， +）上单调递增， f（ x） =1+ + 0 在 1， +）上恒成立， a （ x+ ）在 1， +）上恒成立， y= x 在 1， +）上单调递减， y 2， a 2； （ 2） h（ x） =f（ x） +g（ x） =x2+定义域为（ 0， +）， 求导得， h（ x） = ， 若 h（ x） =0 两根分别为 有 x1， x1+ m， ，从而有 m= ， 第 17 页（共 20 页） m ， ， 1 则 h（ h（ =h（ h（ ） =2（ ） +（ ）（ ）， 令 （ x） =2（ ）， x ， 1 则 h（ h（ （ x） （ x） = ， 当 x （ ， 1时， （ x） 0， （ x）在 ， 1上单调递减， （ x） （ 1） =0， h（ h（ 最小值为 0 选修 4何证明选讲 22如图，在 ， 平分线交 点 D，交 外接圆于点 E，延长 外接圆于点 F， （ ）求 （ ）若 0， ，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）由同弧或等弧所对的圆周角相等，运用全等三角形的判定，可得 可得到 F； （ 2）运用对应角相等，证得 得 D DE=x，求得 由直角三角形 用勾股定理，解方程可得 【解答】 解：（ 1）由同弧或等弧所对的圆周角相等可得， 即有 又 平分线交 点 D，可