山东省泰安市2016届高三上期末数学试卷（理）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2015年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1设全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，集合 A=1， 2， 3， 5， B=2， 4， 6，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A 2 B 4， 6 C 1， 3， 5 D 4， 6， 7， 8 2设 公差为正数的等差数列，若 a1+0，且 6，则 于（ ） A 75 B 90 C 105 D 120 3已知 p： 0 a 4， q：函数 y=ax+a 的值恒为正，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4下列命题错误的是（ ） A如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么 l 平面 D如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内 一定不存在直线垂直于平面 5不等式 |x 5|+|x+1| 8 的解集为（ ） A（ ， 2） B（ 2， 6） C（ 6， +） D（ 1， 5） 6已知点 别是椭圆 的左、右焦点，过 垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 M、 N 两点，若 M 等腰直角三角形，则该椭圆的离心率 e 为（ ） A B C D 7设 f（ x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数 f（ x）的图象可能是（ ） A B C D 8已知实数 a， b 满 足 2a=3， 3b=2，则函数 f（ x） =ax+x b 的零点所在的区间是（ ） A（ 2， 1） B（ 1， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 2） 第 2 页（共 20 页） 9已知函数 f（ x） =2x+） +1（ 0， | ），其图象与直线 y= 1 相邻两个交点的距离为 若 f（ x） 1 对任意 x （ ， ）恒成立，则 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D（ ， 10已知函数 f（ x） = ，若 a b， f（ a） =f（ b），则实数 a 2b 的取值范围为（ ） A B CD 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，请把答案填写在答题卡相应位置 . 11若 （ 0， ）且 +2） = ，则 12直线 ax+y+1=0 被圆 x2+2ax+a=0 截得的弦长为 2，则实数 a 的值是 13如果实数 x， y 满足条件 ，则 z=x+y 的最小值为 14某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为 15规定记号 “*”表示一种运算， a*b=a2+函数 f（ x） =x*2，且关于 x 的方程 f（ x） =ln|x+1|（ x 1）恰有 4 个互不相等的实数根 x1+x2+x3+ 三、解答题：本大题共有 6 小题，满分 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16 内角 A、 B、 C 所对的边 a、 b、 c，且 第 3 页（共 20 页） （ ）求角 A （ ）若 ，求 a 的最小值 17如图，多面体 边形 面 F=， 点 P （ ）证明： 面 （ ）求二面角 B A 的大小 18已知正项等比数列 前 n，且 ， 0， n N*，数列 足 bn=an， （ I）求 （ ）求数列 前 n 项和为 19如图，是一 曲边三角形地块，其中曲边 以 A 为顶点， 对称轴的抛物线的一部分，点 B 到边 距离为 2外两边 长度分别为 82 欲在此地块内建一形状为直角梯形 科技园区 （ ）求此曲边三角形地块的面积； （ ）求科技园区面积的最大值 20已知椭圆 C： 的右顶点 A（ 2， 0），且过点 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 B（ 1， 0）且斜率为 0）的直线 l 于椭圆 C 相交于 E， F 两点，直线 F 分别交直线 x=3 于 M， N 两点，线段 中点为 P，记直线 斜率为 证：k1定值 21已知函数 f（ x） =点（ t， f（ t）处切线方程为 y=2x 1 （ ）求 a 的值 （ ）若 ，证明：当 x 1 时， 第 4 页（共 20 页） （ ）对于在（ 0， 1）中的 任意一个常数 b，是否存在正数 得： 第 5 页（共 20 页） 2015年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1设全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，集合 A=1， 2， 3， 5， B=2， 4， 6，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A 2 B 4， 6 C 1， 3， 5 D 4， 6， 7， 8 【考点】 表达集合的关系及运算 【分析】 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（ B，根据集合的运算求解即可 【解答】 解：全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，集合 A=1， 2， 3， 5， B=2， 4， 6， 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（ B， 4， 6， 7， 8， （ B=4， 6 故选 B 2设 公差为正数的等差数列，若 a1+0，且 6，则 于（ ） A 75 B 90 C 105 D 120 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由已知得 方程 10x+16=0 的两个根，解方程 10x+16=0，得 ， ，由此求出公差，从而能求出 值 【解答】 解： 公差为正数的等差数列， a1+0，且 6， 方程 10x+16=0 的两个根， 解方程 10x+16=0，得 ， ， 2+2d=8，解得 d=3， 3d=3 2+33 3=105 故选： C 3已知 p： 0 a 4， q：函数 y=ax+a 的值恒为正，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】 解：若函数 y=ax+a 的值恒为正， 即 ax+a 0 恒成立， 第 6 页（共 20 页） 则判别式 =4a 0，则 0 a 4， 则 p 是 q 的充要条件， 故选： C 4下列命题错误的是（ ） A如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么 l 平面 D如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 【考点】 平面与平面之间的位置关系 【分析】 命题 A， B 可以通过作图说明；命题 C 可以直接进行证明；命题 D 可以运用反证法的思维方式说明是正确的 【解答】 解： A、如图，平面 平面 ， =l， l ， l 不垂直于平面 ，所以不正确； B、如 A 中的图，平面 平面 ， =l， a ，若 a l，则 a ，所以正确； C、如图， 设 =a， =b，在 内直线 a、 b 外任取一点 O，作 a，交点为 A，因为平面 平面 ， 所以 ，所以 l，作 b，交点为 B，因为平面 平面 ，所以 ，所以l，又 B=O， 所以 l 所以正确 D、若平面 内存在直线垂直于平面 ，根据面 面垂直的判定，则有平面 垂直于平面 ，与平面 不垂直于平面 矛盾，所以，如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ，正确； 故选： A 5不等式 |x 5|+|x+1| 8 的解集为（ ） A（ ， 2） B（ 2， 6） C（ 6， +） D（ 1， 5） 【考点】 绝对值不等式的解法 【分析】 由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式 |x 5|+|x+1| 8 的解集 【解答】 解：由于 |x 5|+|x+1|表示数轴上的 x 对应点到 5、 1 对应点的距离之和， 而数轴上的 2 和 6 对应 点到 5、 1 对应点的距离之和正好等于 8， 第 7 页（共 20 页） 故不等式 |x 5|+|x+1| 8 的解集为（ 2， 6）， 故选： B 6已知点 别是椭圆 的左、右焦点，过 垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 M、 N 两点，若 M 等腰直角三角形，则该椭圆的离心率 e 为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 把 x= c 代入椭圆 ，解得 y= 由于 等腰直角三角形，可得 =2c，由离心率公式化简整理即可得出 【解答】 解：把 x= c 代入椭圆方程 ， 解得 y= ， 等腰直角三角形， =2c，即 由 e= ，化为 e 1=0， 0 e 1 解得 e= 1+ 故选 C 7设 f（ x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数 f（ x）的图象可能是（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 由 f（ x）的图象可得在 y 轴的左侧，图象下降， f（ x）递减， y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有 y 轴左侧导数小于 0，右侧导数先小于 0，再大于 0，最后小于 0，对照选项，即可判断 【解答】 解：由 f（ x）的图象可得，在 y 轴的左侧，图象下降， f（ x）递 减， 即有导数小于 0，可排除 C， D； 第 8 页（共 20 页） 再由 y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降， 函数 f（ x）递减，再递增，后递减， 即有导数先小于 0，再大于 0，最后小于 0， 可排除 A； 则 B 正确 故选： B 8已知实数 a， b 满足 2a=3， 3b=2，则函数 f（ x） =ax+x b 的零点所在的区间是（ ） A（ 2， 1） B（ 1， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 2） 【考点】 函数的零点；指数函数的图象与性质 【分析】 根据对数，指数的转化得出 f（ x） =（ x+x 调递增，根据函数的零点 判定定理得出 f（ 0） =1 0， f（ 1） =1 1 0，判定即可 【解答】 解： 实数 a， b 满足 2a=3， 3b=2， a=1， 0 b=1， 函数 f（ x） =ax+x b， f（ x） =（ x+x 调递增， f（ 0） =1 0 f（ 1） =1 1 0， 根据函数的零点判定定理得出函数 f（ x） =ax+x b 的零点所在的区间（ 1， 0）， 故选： B 9已知函数 f（ x） =2x+） +1（ 0， | ），其图象与直线 y= 1 相邻两个交点的距离为 若 f（ x） 1 对任意 x （ ， ）恒成立，则 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D（ ， 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由题意求得 x+） = 1，函数 y=x+）的图象和直线 y= 1 邻两个交点的距离为 ，根据周期性求得 的值，可得 f（ x）的解析式再根据当 x （ ， ）时， f（ x） 1，可得 2x+） 0，故有 + 2 + 2，由此求得 的取值范围 【解答】 解：函数 f（ x） =2x+） +1（ 0， | ）的图象与直线 y= 1 相邻两个交点的距离为 ， 令 2x+） +1= 1，即 x+） = 1， 即 函数 y=x+）的图象和直线 y= 1 邻两个交点的距离为 ， 故 T= =，求得 =2， f（ x） =22x+） +1 由题意可得，当 x （ ， ）时， f（ x） 1，即 2x+） 0， 第 9 页（共 20 页） 故有 + 2 + 2，求得 2，且 2， k Z， 故 的取值范围是 2， 2， k Z， 结合所给的选项， 故选： B 10已知函数 f（ x） = ，若 a b， f（ a） =f（ b），则实数 a 2b 的取值范围为（ ） A B CD 【考点】 函数的值 【分析】 由已知得 a 1， a 2b=a 1，再由函数 y= ex+a 1，（ x 1）单调递减，能求出实数 a 2b 的范围 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， a b， f（ a） =f（ b）， a 1， f（ a） =f（ b） =2b 1，且 f（ a） =f（ b）， b 1，得 b= ， a 2b=a 1， 又 函数 y= ex+a 1（ x 1）为单调递减函数， a 2b f（ 1） = e 1= ， 实数 a 2b 的范围是（ ， ） 故选： B 二、填空题： 本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，请把答案填写在答题卡相应位置 . 11若 （ 0， ）且 +2） = ，则 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用 【分析】 首先根据诱导公式和同角三角函数的关系式进行恒等变换，整理成正切函数的关 系式，进一步求出正切的函数值 【解答】 解： +2） = ， 则： ， 则： ， 第 10 页（共 20 页） 整理得： 307=0， 所以：（ 31）（ ） =0 解得： 7， 由于： （ 0， ）， 所以： 故答案为： 12直线 ax+y+1=0 被圆 x2+2ax+a=0 截得的弦长为 2，则实数 a 的值是 2 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解 【解答】 解：圆 x2+2ax+a=0 可化为（ x a） 2+y2=a 圆心为：（ a， 0），半径为 ： 圆心到直线的距离为： d= = 直线 ax+y+1=0 被圆 x2+2ax+a=0 截得的弦长为 2， +1=a， a= 2 故答案为： 2 13如果实数 x， y 满足条件 ，则 z=x+y 的最小值为 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 第 11 页（共 20 页） 联立 ，解得 A（ ）， 化目标函数 z=x+y 为 y= x+z， 由图可知，当直线 y= x+z 过 A 时 ，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为 故答案为： 14某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为 120，又由侧视图知几 何体的高为 4，底面圆的半径为 2，把数据代入圆锥的体积公式计算 【解答】 解：由三视图知几何体是圆锥的一部分， 由正视图可得：底面扇形的圆心角为 120， 又由侧视图知几何体的高为 4，底面圆的半径为 2， 几何体的体积 V= 22 4= 第 12 页（共 20 页） 故答案为： 15规定记号 “*”表示一种运 算， a*b=a2+函数 f（ x） =x*2，且关于 x 的方程 f（ x） =ln|x+1|（ x 1）恰有 4 个互不相等的实数根 x1+x2+x3+ 4 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 由题意可得 f（ x） =x，可得图象关于 x= 1 对称，由函数图象的变换可得函数 y=ln|x+1|（ x 1）的图象关于直线 x= 1 对称，进而可得四个根关于直线 x= 1 对称，由此可得其和 【解答】 解：由题意可得 f（ x） =x*2=x， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x= 1， 函数 y=ln|x+1|可由 y=ln|x|向左平移 1 个单位得到， 而函数函数 y=ln|x|为偶函数，图象关于 y 轴对称， 故函数 y=ln|x+1|的图象关于直线 x= 1 对称， 故方程为 f（ x） =ln|x+1|（ x 1）四个互不相等的实数根 也关于直线 x= 1 对称，不妨设 称， 称， 必有 x1+ 2， x3+ 2， 故 x1+x2+x3+ 4， 故答案为： 4 三、解答题：本大题共有 6 小题，满分 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16 内角 A、 B、 C 所对的边 a、 b、 c，且 （ ）求角 A （ ）若 ，求 a 的最小值 【考点】 正弦定理 【分析】 （ ）由正弦定理化简已知可得 0，从而可求 于 0 A ，即可解得 A 的值 （ ）利用平面向量数量积的运 算和余弦定理化简已知等式可得 ，利用余弦定理及基本不等式即可求得 a 的最小值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ）因为 ， 由正弦定理，得 又 0，从而 ， 第 13 页（共 20 页） 由于 0 A ，所以 A= 4 分 （ ）由题意可得： = + （ ） = + =c2+2 ， ， 由余弦定理得： a2=b2+2b2+2bc=， a 2， a 的最小值为 12 分 17如图，多面体 边形 面 F=， 点 P （ ）证明： 面 （ ）求二面角 B A 的大小 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）取 点 G，连结 导出四边形 平行四边形，由此能证明 平面 （ ）以 在直线为 x 轴， 在直线为 y 轴， 在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出二面角 B A 的大小 【解答】 证明：（ ）取 点 G，连结 点 P 为矩形 角线交点， 在 ， D， 又 ， ， G， 四边形 平行四边形， 又 面 平面 平面 解：（ ）由题意，以 在直 线为 x 轴， 第 14 页（共 20 页） 在直线为 y 轴， 在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 F（ 0， 0， 1）， B（ 1， 0， 0）， C（ 1， 2， 0）， E（ 0， 1， 1）， =（ 0， 2， 0）， =（ 1， 1， 1）， =（ 1， 2， 0）， 取 点 H，连结 =（ ）， =0， =0， 平面 故取平面 向量为 =（ ）， 设平面 法向量 =（ x， y， 1）， 则 ， =（ 2， 1， 1）， = = = ， 二面角 B A 的大小为 18已知正项等比数列 前 n，且 ， 0， n N*，数 列 足 bn=an， （ I）求 （ ）求数列 前 n 项和为 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）设正项等比数列 公比为 q（ q 0），由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比均为 2，可得 an=1=2n；再由 n 换为 n+1，可得数列 奇数项，偶数项均为公比为 2 的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可得到所求 （ ）讨论 n 为奇数和偶数，运用分组求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和 【解答】 解：（ I）设正项等比 数列 公比为 q（ q 0）， 由题意可得 a1+， a1+0， 解得 a1=q=2（负的舍去）， 可得 an=1=2n； 由 bn=n， ， 可得 ， 第 15 页（共 20 页） 即有 =n+1， 可得 =2， 可得数列 奇数项，偶数项均为公比为 2 的等比数列， 即有 ； （ ）当 n 为偶数时，前 n 项和为 1+2+.+ ） +（ 2+4+.+ ） = + =3（ ） n 3； 当 n 为奇数时，前 n 项和为 n 1+ =3（ ） n 1 3+ =（ ） n+3 3 综上可得， 19如图，是一曲边三角形地块，其中曲边 以 A 为顶点， 对称轴的抛物线的一部分，点 B 到边 距离为 2外两边 长度分别为 82 欲在此地块内建一形状为直角梯形 科技园区 （ ）求此曲边三角形地块的面积 ； （ ）求科技园区面积的最大值 【考点】 扇形面积公式；弧度制的应用 【分析】 （ ）以 在的直线为 y 轴， A 为坐标原点建立平面直角坐标系，求出曲边 用积分计算曲边三角形 块的面积； （ ）设出点 D 为（ x， 表示出 | | |长，求出直角梯形 面积表达式，利用导数求出它的最大值即可 第 16 页（共 20 页） 【解答】 解：（ ）以 在的直线为 y 轴， A 为坐标原点，建立平面直角坐标系 图所示； 则 A（ 0， 0）， C（ 0， 8）， 设曲边 在的抛物线方程为 y=a 0）， 则点 B（ 2， 4a）， 又 | =2 ， 解得 a=1 或 a=3（此时 4a=12 8，不合题意，舍去）； 抛物线方程为 y=x 0， 2； 又 ， 此曲边三角形 块的面积为 S 梯形 （ 8+4） 2 = ； （ ）设点 D（ x， 则 F（ 0， 直线 方程为： 2x+y 8=0， E（ x， 8 2x）， |x， |8 2x |8 直角梯形 面积为 S（ x） = x（ 8 2x +（ 8 = x， x （ 0， 2）， 求导得 S（ x） = 32x+8， 令 S（ x） =0，解得 x= 或 x= 2（不合题意，舍去）； 当 x （ 0， ）时， S（ x）单调递增， x （ ， 2）时， S（ x）单调递减， x= 时， S（ x）取得最大值是 第 17 页（共 20 页） S（ ） = +8 = ； 科技园区面积 S 的最大值为 20已知椭圆 C： 的右顶点 A（ 2， 0），且过点 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 B（ 1， 0）且斜率为 0）的直线 l 于椭圆 C 相交于 E， F 两点，直线 F 分别交直线 x=3 于 M， N 两点，线段 中点为 P，记直线 斜率为 证：k1定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由题意可得 a=2，代入点 ，解方程可得椭圆方程； （ ）设过点 B（ 1， 0）的直线 l 方程为： y=k（ x 1），由 ，可得（ 4）84=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线 斜率 ，由此能证明 kk为定值 【解答】 解：（ ）由题意可得 a=2， + =1， b2= 解得 b=1， 即有椭圆方程为 +； （ ）证明：设过点 B（ 1， 0）的直线 l 方程为： y=x 1）， 由 ， 可得：（ 4） 84=0， 因为点 B（ 1， 0）在椭圆内，所以直线 l 和椭圆都相交， 即 0 恒成立 设点 E（ F（ 则 x1+， 因为直线 方程为： y= （ x 2）， 直线 方程为： y= （ x 2）， 第 18 页（共 20 页） 令 x=3，得 M（ 3， ）， N（ 3， ）， 所以点 P 的坐标（ 3， （ + ） 直线 斜率为 = （ + ） = = = = 所以 k1定值 21已知函数 f