2016年安徽省“江淮十校”高考数学文科模拟试卷(5月)含解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年安徽省 “江淮十校 ”高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 M=x|0， N=x|4，则 MN=（ ） A（ 1， 2 B 1， 2） C（ 1， 2） D 1， 2 2设 i 是虚数单位， 表示复数 z 的共轭复数，且满足 z+ =z =2，则 z 的虚部是（ ） A 1 B i C 1 D 1 3某校共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如表中所示已知在全校学生中随机抽取 1名，抽到二年级女生的概率是 用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ） 一年级 二年级 三年级 女生 363 x y 男生 387 390 z A 12 B 16 C 18 D 24 4已知双曲线 3 1 的两条渐近线的夹角为（ ） A B 或 C D 或 5九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田 三三 ： “今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？ ”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长 30步，其所在圆的直径是 16 步，问这块田的面积是多少（平方步）？（ ） A 120 B 240 C 360 D 480 6若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 7设 a= ， b= ， c= ，则（ ） A a b c B b a c C c a b D b c a 8如果实数 x， y 满足 ，则 z=x2+2x 的最小值是（ ） 第 2 页（共 20 页） A 3 B C 4 D 9若将函数 f（ x） = 的图象向右平移 个单位，所得函数是奇函数，则 的最小正值是（ ） A B C D 10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A B C D 11设数列 前 n 项和为 ， Sn+常数列，则 ） A B C D 12设函数 f（ x） = 2x2+上单调递增且 4，则 + 的最小值为（ ） A 0 B C D 1 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量 =（ 1， 0）， =（ 0， ），若向量 满足（ ） （ ） =0，则 | |的最大值是 14某地区交管部门为了对该地区驾驶员的某项考试成绩进行分析，随机抽取了 15 分到 45分之间的 1000名学员的成绩，并根据这 1000名驾驶员的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在 30， 35）内的驾驶员人数共有 15已知数列 其前 n 项的和且满足 3Sn+n（ n N*），则 16经过点（ 2， 1）的直线 l 和两坐标轴相交于 A、 B 两点，若 O 是原点）的面积恰为 4，则符合要求的直线 l 有 条 第 3 页（共 20 页） 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在 ，设内角 A、 B、 C 的对边 分别为 a、 b、 c，向量 =（ ， 向量 =（ 若 | + |=2 （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 b=4 ，且 c= a，求 面积 18某校高三（ 1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： （ 1）求全班人数，并计算频率分布直方图中 80， 90）间的矩形的高； （ 2）若要从分数在 80， 100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，则在抽取的试卷中，求至少有一份分数在 90， 100之间的概率 19如图，三棱柱 ， B， 0 （ ）证明： （ ）若 B=2， ，求三棱柱 体积 20已知函数 f（ x） =（ x2+） x， a R） （ 1）当 a= ，求函数 f（ x）的极小值； （ 2）若 f（ x）在 R 单调，求 a 的取值范围 21平面上动点 M 到直线 x= 1 的距离比它到点 F（ 2， 0）的距离少 1 （ 1）求动 点 M 的轨迹 E 的方程； （ 2）已知点 B（ 1， 0），设过点（ 1， 0）的直线 l 与轨迹 E 交于不同的两点 P、 Q，证明：x 轴是 角平分线所在的直线 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22如图，圆内接四边形 ， 圆的直径， C，延长 延长线相交于点 E，作 F （ 1）证明： F； 第 4 页（共 20 页） （ 2）如果 ，试求 长 选修 4标系与参数方程 23以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C 的参数方程为：（ 为参数），直线 l 的极坐标方程为 （ =4 （ 1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （ 2）若点 P 在曲线 C 上，点 Q 在直线 l 上，求线段 最小值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x a| |x+3|， a R （ ）当 a= 1 时，解 不等式 f（ x） 1； （ ）若当 x 0， 3时， f（ x） 4，求 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年安徽省 “江淮十校 ”高考数学模拟试卷（文科）（ 5月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 M=x|0， N=x|4，则 MN=（ ） A（ 1， 2 B 1， 2） C（ 1， 2） D 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据题意，化简集合 M、 N，求出 MN 即可 【解答】 解： 集合 M=x|0=x|x 1， N=x|4=x| 2 x 2， MN=x|1 x 2=（ 1， 2 故选： A 2设 i 是虚数单位， 表示复数 z 的共轭复数，且满足 z+ =z =2，则 z 的虚部是（ ） A 1 B i C 1 D 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 设 z=a+a， b R），则 =a z+ =z =2，可得 2a=2， a2+，联立解出即可得出 【解答】 解：设 z=a+a， b R），则 =a 满足 z+ =z =2， 2a=2， a2+， 解得 a=1， b= 1 则 z 的 虚部是 1 故选： C 3某校共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如表中所示已知在全校学生中随机抽取 1名，抽到二年级女生的概率是 用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ） 一年级 二年级 三年级 女生 363 x y 男生 387 390 z A 12 B 16 C 18 D 24 【考点】 分层抽样方法 【分析】 先求出三年级学生数是多少，再求用分层抽样法在三年级抽取的学生数 【解答】 解：根据题意得，共有学生 2000 名，抽到二年级女生的概率是 二年级的女生的人数为 2000 60， 一、二年级学生总数 363+387+360+390=1500， 三年级学生总数是 2000 1500=500； 用分层抽样法在三年级抽取的学生数为 第 6 页（共 20 页） 64 =16 故选： B 4已知双曲线 3 1 的两条渐近线的夹角为（ ） A B 或 C D 或 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的渐近线，结合直线的斜率求出直线的倾斜角即可得到结论 【解答】 解：双曲线的标准方程为 ， 则渐近线方程为 y= x， 由 y= x 得渐近线的斜率 k= = = ， 则两条渐近线的夹角为 2=2 = ， 故选： C 5九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田 三三 ： “今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？ ”译成现代汉语其意思为：有一块扇形 的田，弧长 30步，其所在圆的直径是 16 步，问这块田的面积是多少（平方步）？（ ） A 120 B 240 C 360 D 480 【考点】 扇形面积公式 【分析】 利用扇形面积计算公式即可得出 【解答】 解：由题意可得： S= =120（平方步）， 故选： A 6若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 第 7 页（共 20 页） 【考点】 程序框图 【分析】 根据所给数值判定 是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出 i，从而到结论 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 n=10， i=1 执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=5， i=1 不满足条件 n=1，执行循环体，满足条件 n 是奇数， n=16， i=2 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=8， i=3 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=4， i=4 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=2， i=5 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=1， i=6 满足条件 n=1，退出循环，输出 i 的值为 6 故选： C 7设 a= ， b= ， c= ，则（ ） A a b c B b a c C c a b D b c a 【考点】 对数值大小的比较；不等式比较大小 【分析】 由已知条件，直接利用对数函数的单调性求解 【解答】 解： a= = b= = c= = ， y=增函 数， a b c 故选： A 8如果实数 x， y 满足 ，则 z=x2+2x 的最小值是（ ） A 3 B C 4 D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的距离公式，以及数形结合进行求解即可 【解答】 解：由 z=x2+2x=（ x 1） 2+1， 设 m=（ x 1） 2+ 则 m 的几何意 义是区域内的点到点 D（ 1， 0）的距离的平方， 作出不等式组对应的平面区域如图： 第 8 页（共 20 页） 由图象知 D 到 距离为最小值， 此时 d= = ， 则 m= ） 2= ， 则 z=m 1= 1= ， 故选： B 9若将函数 f（ x） = 的图象向右平移 个单位，所得函数是奇函数，则 的最小正值是（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用三角恒等变换化简 f（ x）的解析式，再利用正弦函数的奇偶性，求得 的最小正值 【解答】 解：将函数 f（ x） = = = 2x+ ） 的图象向右平移 个单位， 得到 y= （ x ） + = 2x+ 2）的图象 再根据所得函数是奇函数，则 2=k Z，则 的最小正值为 ， 故选： D 10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） 第 9 页（共 20 页） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图判断出几何体是四棱锥，且底面是直角梯形，依据三 视图的数据，求出表面积 【解答】 解：由三视图判断出几何体是四棱锥，且底面是直角梯形高为 S 1 1= ， S = ， S =1， S 梯形 = （ 1+2） 1= ， ， ， ， ， ， 面积 = = ， 表面积为： = 故选； B 11设数列 前 n 项和为 ， Sn+常数列，则 ） A B C D 第 10 页（共 20 页） 【考点】 数列递推式 【分析】 由于 Sn+常数列，可得 n 2 时， Sn+n 1+（ n 1） 1，化为： = ，再利用 “累乘求积 ”方法即可得出 【解答】 解： Sn+常数列， n 2时， Sn+n 1+（ n 1） 1，化为： = ， = n=1 时上式也成立 故选： A 12设 函数 f（ x） = 2x2+上单调递增且 4，则 + 的最小值为（ ） A 0 B C D 1 【考点】 基本不等式 【分析】 由题意， f（ x） 0 恒成立，可求出关于 a， c 的不等式，联立 4，化简+ 并求出其最小值 【解答】 解：由题意， 因为函数 f（ x） = 2x2+ R 上单调递增， 所以 f（ x） =4x+c 0 恒成立， 所以 ， 所以 4， 又因为 4， 所以 且 a 0， c 0， + = = = =（ ） =1 = ； 故选： C 第 11 页（共 20 页） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量 =（ 1， 0）， =（ 0， ），若向量 满足（ ） （ ） =0，则 | |的最大值是 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 设 =（ x， y），根据向量数量积的垂直的等价条件，求出 x， y 满足的条件，结合| |的几何意义进行求解即可 【解答】 解：设 =（ x， y），则 =（ 1 x， y）， =（ x， y）， （ ） （ ） =0， （ 1 x， y） （ x， y） =0， 即 x（ 1 x） y（ y） =0， 即 x+y=0， 即（ x ） 2+（ y ） 2=1， 则圆心 C（ ， ）， 则 | |= ，则 | |的几何意义是圆 C 上的点到原点的距离， 则 | =1， 则 | |的最大值是 |1=1+1=2， 故答案为： 2 14某地区交管部门为了对该地区驾驶员的某项考试成绩进行分析，随机抽取了 15 分到 45分之间的 1000名学员的成绩，并根据这 1000名驾驶员的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在 30， 35）内的驾驶员人数共有 300 【考点】 频率分布直方图 【分析】 结合图形，求出成绩在 30， 35）内的驾驶员人数的频率，即可求出成绩在 30， 35）内的驾驶员人数 【解答】 解：根据题意，成绩在 30， 35）内的 驾驶员人数的频率为 第 12 页（共 20 页） 1（ 5=1 成绩在 30， 35）内的驾驶员人数为： 1000 00； 故答案为： 300 15已知数列 其前 n 项的和且满足 3Sn+n（ n N*），则 【考点】 数列递推式 【分析】 3Sn+n（ n N*）， n=1 时， 3，解得 n 2 时，可得： 331=2，化为 1+1，变形为： 3（ 1+ ），利用等比数列的通项公式可得 而得出 【解答】 解： 3Sn+n（ n N*）， n=1 时， 3，解得 n 2 时， 31=21+（ n 1），可得： 331=2， 化为 1+1，变形为： 3（ 1+ ）， 数列 是等比数列，首项为 ，公比为 3 = 3n 1，即 =2Sn+n，解得 故答案为： 16经过点（ 2， 1）的直线 l 和两坐标轴相交于 A、 B 两点，若 O 是原点）的面积恰为 4，则符合要求的直线 l 有 3 条 【考点】 直线的截距式方程 【分析】 直线 l 的方程为 y 1=k（ x 2），再由 面积为 4，由此构造关于 k 的方程，求出结果 【解答】 解：设直线 l 的方程为 y 1=k（ x 2），当 x=0 时， y= 2k+1，当 y=0 时， x=2 ， O 是原点）的面积恰为 4 | 2k+1|2 |=4， 即 |4 4k|=8， 即 4 4k= 8， 即 412k+1=0 或 4k+1=0； 第 13 页（共 20 页） 解得 k= 或 k= ； 满足条件的直线 l 有 3 条， 故答案为： 3 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在 ，设内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，向量 =（ ， 向量 =（ 若 | + |=2 （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 b=4 ，且 c= a，求 面积 【考点】 余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理 【分析】 （ 1）先根据向量模的运算表示出 | + |2，然后化简成 y=） +b 的形式，再根据正弦函数的性质和 | + |=2 可求出 A 的值 （ 2）先根据余弦定理求出 a， c 的值，再由三角形面积公式可得到最后答案 【解答】 解：（ 1） + =（ | + |2=（ 2+（ 2， =2+2 （ +（ 2+（ 2 =2+2 （ +2 =4 4A ）， | + |=2， 4A ） =0， 又 0 A ， A ， A =0， A= （ 2） 由余弦定理， a2=b2+2 b=4 ， c= a， A= ， 得： 2+22 4 a ， 即： 8 a+32=0，解得 a=4 ， c=8， S b16 18某校高三（ 1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据 此解答如下问题： 第 14 页（共 20 页） （ 1）求全班人数，并计算频率分布直方图中 80， 90）间的矩形的高； （ 2）若要从分数在 80， 100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，则在抽取的试卷中，求至少有一份分数在 90， 100之间的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；茎叶图 【分析】 （ 1）由茎叶图先分析出分数在 50， 60）之间的频数，结合频率分布直方图中该组的频率，可由样本容量 = ，得 到全班人数，再由茎叶图求出数在 80， 90）之间的频数，结合频率分布直方图中矩形的高 = = ，得到频率分布直方图中 80， 90间的矩形的高； （ 2）先对分数在 80， 100之间的分数进行编号，并统计出从中任取两份的所有基本事件个数，及至少有一份分数在 90， 100之间的所有基本事件个数，代入古典概型概率计算公式可得答案 【解答】 解：（ 1）由茎叶图知，分数在 50， 60）之间的频数为 2，频率为 10= 全班人数为 =25 人 又 分数在 80， 90）之间的频数为 25 2 7 10 2=4 频率分布直方图中 80， 90）间的矩形的高为 = （ 2）将 80， 90）之间的 4 个分数编号为 1， 2， 3， 4， 90， 100之间的 2 个分数编号为 5，6， 在 80， 100之间的试卷中任取两份的基本事件为： （ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4）， （ 1， 5），（ 1， 6）， （ 2， 3），（ 2， 4），（ 2， 5），（ 2， 6），（ 3， 4）， （ 3， 5），（ 3， 6），（ 4， 5），（ 4， 6），（ 5， 6），共 15 个， 其中，至少有一个在 90， 100之间的基本事件有 9 个， 故至少有一份分数在 90， 100之间的频率是 = 19如图，三棱柱 ， B， 0 （ ）证明 ： （ ）若 B=2， ，求三棱柱 体积 第 15 页（共 20 页） 【考点】 直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ ）由题目给出的边的关系，可想到去 点 O，连结 通过证明平面 要证的结论； （ ）在三角形 ，由勾股定理得到 根据 到 三棱柱 高，利用已知给出的边 的长度，直接利用棱柱体积公式求体积 【解答】 （ ）证明：如图， 取 中点 O，连结 因为 B，所以 由于 ，故 等边三角形， 所以 因为 ，所以 平面 又 面 （ ）解：由题设知 是边长为 2 的等边三角形， 所以 又 ，则 ，故 因为 B=O，所以 平面 三棱柱 高 又 面积 ，故三棱柱 体积 20已知函数 f（ x） =（ x2+） x， a R） （ 1）当 a= ，求函数 f（ x）的极小值； （ 2）若 f（ x）在 R 单调，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 第 16 页（共 20 页） 【分析】 （ 1）求得 a= 时，函数 f（ x） =（ x+2） 出 f（ x）的导数，求得极值点，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间，即可得到极小值 f（ 1）； （ 2）求出 f（ x）的导数，由于 0 恒成立，可令 g（ x） = 2+a） x+a+2，结合二次函数的图象和性质，可得 f（ x）在 R 单调递增，即为 g（ x） 0 恒成立，运用判别式小于等于 0，解不等式即可得到 a 的范围 【解答】 解：（ 1）当 a= 时，函数 f（ x） =（ x+2） 可得导数 f（ x） =（ x ） 由 f（ x） =0，可得 x=1 或 ， 当 x 1 或 x 时， f（ x） 0， f（ x）在（ ， ），（ 1， +）递增； 当 x 1 时， f（ x） 0， f（ x）在（ ， 1）递减 可得 f（ x）在 x=1 处取得极小值，且为 f（ 1） = e； （ 2）函数 f（ x） =（ x2+） 导数为 f（ x） =（ 2x+a） x2+） 2+a） x+a+2 由于 0 恒成立，可令 g（ x） = 2+a） x+a+2， 由 f（ x）在 R 单调，结合二次函数的图象和性质， 可得 f（ x）在 R 单调递增，即为 g（ x） 0 恒成立， 即有 =（ 2+a） 2 4（ 2+a） 0， 解得 2 a 2 则 a 的取值范围是 2， 2 21平面上动点 M 到直线 x= 1 的距离比它到点 F（ 2， 0）的距离少 1 （ 1）求动点 M 的轨迹 E 的方程； （ 2）已知点 B（ 1， 0），设过点（ 1， 0）的直线 l 与轨迹 E 交于不同的两点 P、 Q，证明：x 轴是 角平分线所在的直线 【考点】 轨迹方程 【分析】 （ 1）把直线 x= 1 向左平移一个单位变为 x= 2，此时点 M 到直线 x= 2 的距离等于它到点（ 2， 0）的距离，即可得到点 M 的轨迹方程 （ 2）将 y=k（ x 1）代入 x 中，得 2） x+，利用根与系数的关系，证明 + =0，即可证明结论 【解答】 解：（ 1）因为点 M 到直线 x= 1 的距离比它到点（ 2， 0）的距离小 1， 所以点 M 到直线 x= 2 的距离等于它到点（ 2， 0）的距离， 因此点 M 的轨迹为抛物线，方程为 x （ 2）将 y=k（ x 1）代入 x 中， 得 2） x+， 第 17 页（共 20 页） 由根与系数的关系得， x1+ ， + = =0， = ， x 轴是 解平分线 k 不存在时，结论同样成立 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22如图，圆内接四边形 ， 圆的直径， C，延长 延长线相交于点 E，作 F （ 1）证明： F； （ 2）如果 ，试求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）通过证明 可证明： F； （ 2）如果 ，证明 用等腰三角形的性质求 长 【解答】 （ 1）证明：由圆内接四边形的性质，可求得 C， 圆的直径， E， F； （ 2）解： ， 0