2016年浙江省衢州市中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 24 页） 2016 年浙江省衢州市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 选、多选、错选均不给分 . 1已知点（ 1， 2）在反比例函数 的图象上，那么这个函数图象一定经过点（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 1） C（ 1， 2） D（ 2， 1） 2如果 = ， 则 =（ ） A B C D 3小芳从正面（图示 “主视方向 ”）观察如图的热水瓶时，得到的主视图是（ ） A B C D 4抛物线 y=2（ x 3） 2+4 的顶点坐标是（ ） A（ 3， 4） B（ 4， 3） C（ 3， 4） D（ 3， 4） 5已知： 半径分别为 10 4心距为 6 位置关系是（ ） A外切 B相离 C相交 D内切 6下列计算正确的是（ ） A a2a3= a2+a2= 32 5a a=4 7若用半径为 9，圆心角为 120的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（ ） A 9 B 3 C 1 D 6 8已知函数 y= x2+x+2，则当 y 0 时，自变量 x 的取值范围是（ ） 第 2 页（共 24 页） A x 1 或 x 2 B 1 x 2 C x 2 或 x 1 D 2 x 1 9如图，将宽为 1纸条沿 叠，使 5，则折叠后重叠部分的面积为（ ） A 0如图， C 为 O 直径 一动点，过点 C 的直线交 O 于 D， E 两点，且 5，点 F， 点 G，当点 C 在 运动时设 AF=x， DE=y，下列中图象中，能表示 y 与 x 的函数关系式的图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 .） 11若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 12将 y=2函数图象向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，得到二次函数解析式为 13工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10得钢珠顶端离零件表面的距离为 8图所示，则这个小圆孔的宽口 长度为 14如图，是小李设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 顶端 C 处，已知 测得 ， ， 9 米，那么该古城墙 高度是 米 第 3 页（共 24 页） 15一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 10重物上升 10，滑轮的一条半径 轴心 O 按逆时针方向旋转的角度约为 度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取 果精确到 1） 16在反比例函数 y= （ x 0）的图象上，有一系列点 、 ，若横坐标为 2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为 2现分别过点 2、 、 作 x 轴与 y 轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为 ， ， 2+ （用 三、解答题（共 66 分） 17计算： 18学校组织初三数学备课组全体教 师去外校听课，安排了两辆车，按 1 2 编号，程、李两位教师可任意选坐一辆车 （ 1）用画树状图的方法或列表法列出所有可能的结果； （ 2）求程、李两位教师同坐 2 号车的概率 19如图，直线 x+b 与 x 轴、 y 轴交于点 A、 B，与双曲线 （ x 0）交于点 C、 D，已知点 C 的坐标为（ 1， 4） （ 1）求直线和双曲线的解析式； （ 2）利用图象，说出 x 在什么范围内取值时，有 第 4 页（共 24 页） 20如图所示，小 杨在广场上的 A 处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端 0，然后他正对大楼方向前进 5m 到达 B 处，又测得该屏幕上端 C 处的仰角为45若该楼高为 杨的眼睛离地面 告屏幕的上端与楼房的顶端平齐求广告屏幕上端与下端之间的距离（ 果精确到 21如图，在 ， C=90， 平分线交 点 D，点 O 是 一点， O 过 B、 D 两点，且分别交 点 E、 F （ 1）求证： O 的切线； （ 2）已知 0， ，求 O 的半径 r 22为了扶持大学生自主创业，市政府提供了 80 万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款已知该产品的生产成本为每件 40 元，员工每人每月的工资为 2500 元，公司每月需支付其它费用15 万元该产品每月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的函数关系如图所示 （ 1）求月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （ 2）当销售单价定为 50 元时，为保证公司月利润达到 5 万元（利润 =销售额生产成本员工工资其它费用），该公司可安排员工多少人？ （ 3）若该公司有 80 名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？ 第 5 页（共 24 页） 23如图 1，一副直角三角板满足 C， E， 0， 0， 【操作 1】将三角板 直角顶点 E 放置于三角板 斜边 ，再将三角板 E 旋转，并使边 边 于点 P，边 边 点 Q 在旋转过程中，如图 2，当 时， 足怎样的数量关系？并给出证明 【操作 2】在旋转过程中，如图 3，当 时 足怎样的数量关系？，并说明理由 【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出 当时， 足的数量关系是什么？其中 m 的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明） 24如图，在矩形 ， 0， ，沿直线 叠矩形 一边 点 B 落在 上的点 E 处分别以 在的直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，抛物线 y=bx+c 经过 O， D， C 三点 （ 1）求 长及抛物线的解析式； （ 2）一动点 P 从点 E 出发，沿 每秒 2 个单位长的速度向点 C 运动，同时动点 Q 从点C 出发，沿 每秒 1 个单位长的速度向点 O 运动，当点 P 运动到点 C 时，两点同时停止运动设运动时间为 t 秒，当 t 为 何值时，以 P、 Q、 C 为顶点的三角形与 似？ （ 3）点 N 在抛物线对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M 与点 N，使以 M，N， C， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 与点 N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 24 页） 第 7 页（共 24 页） 2016 年浙江省衢州市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 选、多选、错选均不给分 . 1 已知点（ 1， 2）在反比例函数 的图象上，那么这个函数图象一定经过点（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 1） C（ 1， 2） D（ 2， 1） 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】 先根据点（ 1， 2）在反比例函数 的图象上求出 k 的值，再根据 k=特点对各选项进行逐一判断 【解答】 解： 点（ 1， 2）在反比例函数 的图象上， k=1 （ 2） = 2， A、 （ 1） 2= 2， 此点在反比例函数图象上； B、 （ 2） （ 1） =2 2， 此点不在反比例函数图象上； C、 （ 1） （ 2） =2 2， 此点不在反比例函数图象上； D、 2 1=2 2， 此点不在反比例函数图象上 故选 A 2如果 = ，则 =（ ） A B C D 【考点】 比例的性质 【分析】 先根据比例的性质可得 +1= +1，进而可得 = ， 再求倒数即可 【解答】 解： = ， +1= +1， = 故选： C 3小芳从正面（图示 “主视方向 ”）观察如图的热水瓶时，得到的主视图是（ ） 第 8 页（共 24 页） A B C D 【考点】 简单组合体的三视图 【分析】 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案 【解答】 解：从正面看下面是一个矩形，中间是一个梯形，上边是一个矩形，左边是一个矩形， 故选： A 4抛物线 y=2（ x 3） 2+4 的顶点坐标是 （ ） A（ 3， 4） B（ 4， 3） C（ 3， 4） D（ 3， 4） 【考点】 二次函数的性质 【分析】 已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴 【解答】 解： y=2（ x 3） 2+4 是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（ 3， 4） 故选 A 5已知： 半径分别为 10 4心距为 6 位置关系是（ ） A外切 B相离 C相交 D内切 【考点】 圆与圆的位置关系 【分析】 由 半径分别为 10 4圆的圆心距是 6据两圆位置关系与圆心距 d，两圆半径 R， r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系 【解答】 解： 半径分别为 10 4圆的圆心距是 6 又 10 4=6， 两圆的位置关系是内切 故选 D 6下列计算正确的是（ ） A a2a3= a2+a2= 32 5a a=4 【考点】 单项式乘单项式；合并同类项；同底数幂的乘法 【分析】 根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，单项式的乘法，系数 乘系数，同底数的幂相乘；合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案 第 9 页（共 24 页） 【解答】 解： A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 A 错误； B、合并同类项系数相加字母及指数不变，故 B 错误； C、系数乘系数，同底数的幂相乘，故 C 正确； D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故 D 错误； 故选： C 7若用半径为 9，圆心角为 120的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（ ） A 9 B 3 C 1 D 6 【考点】 圆锥的计算 【分 析】 根据扇形的周长 =圆锥的底面周长，列式计算 【解答】 解：设这个圆锥的底面半径是 r， =2r， r=3， 故选 B 8已知函数 y= x2+x+2，则当 y 0 时，自变量 x 的取值范围是（ ） A x 1 或 x 2 B 1 x 2 C x 2 或 x 1 D 2 x 1 【考点】 二次函数与不等式（组） 【分析】 先求出函数的图象与 x 轴的交点坐标，再根据函数的图象开口向下，即可得出当 y 0 时自变量 x 的取值范围 【解答】 解：当 y=0 时， x2+x+2=0， （ x+1）（ x+2） =0， 1， ， 由于函数开口向下， 可知当 y 0 时，自变量 x 的取值范围是 x 1 或 x 2 故选 A 9如图，将宽为 1纸条沿 叠，使 5，则折叠后重叠部分的面积为（ ） 第 10 页（共 24 页） A 考点】 解直角三角形的应用 【分析】 由题可知 一个顶角为 45的等腰三角形，即 A=45， B，过 C 作足为 D，根据三角函数定义求出 后就可以求出 积 【解答】 解：如图，由题可知 一个顶角为 45的等腰三角形， 即 A=45， B 作 足为 D， 则 A= ， = = S ， 折叠后重叠部分的面积为 故选 D 10如图， C 为 O 直径 一动点，过点 C 的直线交 O 于 D， E 两点，且 5， 点 F， 点 G，当点 C 在 运动时设 AF=x， DE=y，下列中图象中，能表示 y 与 x 的函数关系式的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 动点问题的函数图象 【分析】 本题考查动点函数图象的问题 第 11 页（共 24 页） 【解答】 解 ：点 C 从点 A 运动到点 B 的过程中， x 的值逐渐增大， 长度随 x 值的变化先变大再变小， 当 C 与 O 重合时， y 有最大值， x=0， y= AB x=， 点 O，此时： B x=y= 以，随着 x 的增大， y 先增后降，类抛物线 故选： A 二、填空题（本大题共有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 .） 11若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 x 1 【考点】 二次根式有意义的条件 【分析】 根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于 0，列出不等式即可求出 x 的取值范围 【解答】 解：根据二次根式有意义的条件， x 1 0， x 1 故答案为： x 1 12将 y=2函数图象向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，得到二次函数解析式为 y=2（ x+1） 2+3 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 利用平移的规律 “左加右减，上加下减 ”可得到答案 【解答】 解： 将 y=2函数图象向左平移 1 个单位，其解析式为 y=2（ x+1） 2， 再把 y=2（ x+1） 2 图象向上平移 3 个单位，其解析式为 y=2（ x+1） 2+3， 故答案为： y=2（ x+1） 2+3 13工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10得钢珠顶端离零件表面的距离为 8图所示，则这个小圆孔的宽口 长度为 8 【考点】 垂径定理的应用；勾股定理 【分析】 先求出钢珠的半径及 长，连接 点 O 作 点 D，则 利用勾股定理即可求出 长，进而得出 长 【解答】 解：连接 点 O 作 点 D，则 钢珠的直径是 10 第 12 页（共 24 页） 钢珠的半径是 5 钢珠顶端离零件表面的距离为 8 在 ， = =4 4=8 故答案为： 8 14如图，是小李设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 顶端 C 处，已知 测得 ， ， 9 米，那么该古城墙 高度是 11 米 【考点】 相似三角形的应用 【分析】 利用入射与反射得到 可判断 是根据相似三角形的性质即可求出 【解答】 解：根据题意得 0， = ，即 = ， 解得 1 答：该古城墙的高度为 11 米 故答案为 11 15一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径 是 10重物上升 10，滑轮的一条半径 轴心 O 按逆时针方向旋转的角度约为 57 度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取 果精确到 1） 第 13 页（共 24 页） 【考点】 弧长的计算 【分析】 设 转的角度为 n，由于重物上升 10 点 A 逆时针旋转的弧长为 10 据弧长公式即可求出 【解答】 解：设 转的角度为 n，由于重物上升 10 则点 A 逆时针旋转的弧长为 10 由弧长公式 l= ， 可求 n= 57 度 16在反比例函数 y= （ x 0）的图象上，有一系列点 、 ，若横坐标为 2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为 2现分别过点 2、 、 作 x 轴与 y 轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为 ， 5 ， 2+ （用n 的代数式表示） 【考点】 反比例函数综合题 【分析】 由已知条件横坐标成等差数列，再根据点 、 在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出 表达式，把 n=1 代入求得 值 【解答】 解： 点 、 在反比例函数 y= （ x 0）的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横 坐标的差都为 2， 又点 横坐标为 2， 2， 5）， 4， ） （ 5 ） =5； 由题图象知， 2n， ）， （ 2n+2， ）， 第 14 页（共 24 页） （ ） = ， 图中阴影部分的面积知： （ ） = ，（ n=1， 2， 3， ） = ， 2+0（ + + ） =10（ 1 ） = 故答案为： 5， 三、解答题（共 66 分） 17计算： 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指 数幂；特殊角的三角函数值 【分析】 分别进行零指数幂、负整数指数幂及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可 【解答】 解：原式 =1+3+2 =4 18学校组织初三数学备课组全体教师去外校听课，安排了两辆车，按 1 2 编号，程、李两位教师可任意选坐一辆车 （ 1）用画树状图的方法或列表法列出所有可能的结果； （ 2）求程、李两位教师同坐 2 号车的概率 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 （ 1）依据题意列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果即可， （ 2）根据概率公式程、李两位教师同坐 2 号车的概率 【解答】 解：（ 1）画树形图得： （ 2）由（ 1）可知 P（程、李两位教师同坐 2 号车） = 19如图，直线 x+b 与 x 轴、 y 轴交于点 A、 B，与双曲线 （ x 0）交于点 C、 D，已知点 C 的坐标为（ 1， 4） （ 1） 求直线和双曲线的解析式； （ 2）利用图象，说出 x 在什么范围内取值时，有 第 15 页（共 24 页） 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （ 1）因为两个函数的图象都过 C 点，将 C 点坐标代入求得 b、 k 的值，所以易求它们的解析式； （ 2）先求出 D 点的横坐标，再观察直线落在双曲线上方的部分对应的 x 的取值范围即可 【解答】 解：（ 1）将 C（ 1， 4）分别代入 x+b， ， 得 4=2 （ 1） +b， 4= ， 解得 k= 4， b=6， x+6， ； （ 2） x+6， ， 当 2x+6= 时， 1， 2， D 点的横坐标为 2， 当 2 x 1 时， 20如图所示，小杨在广场上 的 A 处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端 0，然后他正对大楼方向前进 5m 到达 B 处，又测得该屏幕上端 C 处的仰角为第 16 页（共 24 页） 45若该楼高为 杨的眼睛离地面 告屏幕的上端与楼房的顶端平齐求广告屏幕上端与下端之间的距离（ 果精确到 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 易得 E，利用 30的正切值即可求得 ， 进而可求得 去 【解答】 解：设 延长线相交于点 E 5， E 5， 5 B+0 在 ， 0， E 30 =10 ， E 5 10 25 10 m） 答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为 21如图，在 ， C=90， 平分线交 点 D，点 O 是 一点， O 过 B、 D 两点，且分别交 点 E、 F （ 1）求证： O 的切线； （ 2）已知 0， ，求 O 的半径 r 【考点】 切线的判定；相似三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）连接 证 O 的切线，只需证明 可； （ 2）利用平行线截线段成比例推知 = ；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得 r 的值，即 O 的半径 r 的值 【解答】 （ 1）证明：连接 D， 角对等边）； 分 第 17 页（共 24 页） 量代换）， 错角相等，两直线平行）； 又 C=90（已知）， 0（两直线平行， 同位角相等）， O 的切线； （ 2）解：由（ 1）知， = （平行线截线段成比例）， = ， 解得 r= ，即 O 的半径 r 为 22为了扶持大学生自主创业，市政府提供了 80 万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款已知该产品的生产成本为每件 40 元，员工每人每月的工资为 2500 元，公司每月需支付其它费用15 万元该产品每月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的函数关系如图所示 （ 1）求月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （ 2）当销售单价定为 50 元时，为保证公司月利润达到 5 万元（利润 =销售额生产成本 员工工资其它费用），该公司可安排员工多少人？ （ 3）若该公司有 80 名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？ 【考点】 一次函数的应用；分段函数 【分析】 （ 1）从图中看，这是一个分段一次函数， 40 x 60 和 60 x 100 时，函数的表达式不同，每段函数都经过两点，使用待定系数法即可求出函数关系式； 第 18 页（共 24 页） （ 2）利用（ 1）中的函数关系，当销售单价定为 50 元时，可计算出月销售量，设可安排员工 m 人，利润 =销售额一生产成本员工工资其它费用，列出方程即 可解； （ 3）先分情况讨论出利润的最大值，即可求解 【解答】 解：（ 1）当 40 x 60 时，令 y=kx+b， 则 ， 解得 ， 故 ， 同理，当 60 x 100 时， 故 y= ； （ 2）设公司可安排员工 a 人，定价 50 元时， 由 5=（ 50+8）（ 50 40） 15 得 30 15 ， 解得 a=40， 所以公司可安排员工 40 人； （ 3）当 40 x 60 时， 利润 x+8）（ x 40） 15 20= （ x 60） 2+5， 则当 x=60 时， 万元； 当 60 x 100 时， x+5）（ x 40） 15 80 = （ x 70） 2+10， x=70 时， 0 万元， 要尽早还清贷款，只有当单价 x=70 元时，获得最大月利润 10 万元， 设该公司 n 个月后还清贷款，则 10n 80， n 8，即 n=8 为所求 23如图 1，一副直角三角板满足 C， E， 0， 0， 【操作 1】将三角板 直角顶点 E 放置于三角板 斜边 ，再将三角板 旋转， 并使边 边 于点 P，边 边 点 Q 在旋转过程中，如图 2，当 时， 足怎样的数量关系？并给出证明 第 19 页（共 24 页） 【操作 2】在旋转过程中，如图 3，当 时 足怎样的数量关系？，并说明理由 【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出 当时， 足的数量关系是什么？其中 m 的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明） 【考点】 相似形综合题 【分析】 （操作 1）连接 据已知条件得到 E 是 中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明 E， C根据等角的余角相等可以证明 可得到全等三角形，从而证明结论； （操作 2）作 M、 N，根据两个角对应相等证明 现 M： 根据等腰直角三角形的性质得到 E： （总结操作）根据（ 2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求 m 的取 值范围，根据交点的位置的限制进行分析 【解答】 （操作 1） Q， 证明：连接 据 E 是 中点和等腰直角三角形的性质，得： E， C=45， 0 在 ， Q； 如图 2， M： E： ： 2， 理由是：作 M， N， 0， M： E： ： 2； 如图 3，过 E 点作 点 M，作 点 N， 在四边形 ， B= 0， 80， 第 20 页（共 24 页） 又 80， = ， =m= ， =1： m= ， 足的数量关系式 1： m，即 EQ= 0 m 2+ ，（因为当 m 2+ 时， 成不相交） 24如图，在矩形 ， 0， ，沿直线 叠矩形 一边 点 B 落在 上的点 E 处分别以 在的直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，抛物线 y=bx+c 经过 O， D， C 三点 （ 1）求 长及抛物线的解析式； （ 2）一动点 P 从点 E 出发，沿 每秒 2 个单位长的速度向点 C 运动，同时动点 Q 从点C 出发，沿 每秒 1 个单位长的速度向点 O 运动，当点 P 运动到点 C 时，两点同时停止运动设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，以 P、 Q、 C 为顶点的三角形与 似？ （ 3）点 N 在抛物线对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M 与点 N，使以 M，N， C， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 与点 N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ 1）根据折叠图形的轴对称性， 等，首先在 求出长，进而可得到 长；在 ， B D，利用勾股定理可求出 长进一步能确定 D 点坐标，利用待定系数法即 可求出抛物线的解析式 第 21 页（共 24 页） （ 2）由于 0，首先能确定的是 以 P、 Q、 C 为顶点的三角形与 似，那么 0或 0，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的 t 的值 （ 3）由于以 M， N， C， E 为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论： 平行四边形的对角线，那么 互相平分，由于 中点正好在抛物线对称轴上，所以 M 点一定是抛物线的顶点； 平行四边形的边，那么 行且相等，首先设出点 N 的坐标