华师大八年级上《第14章勾股定理》单元测试(二)含答案解析

第 1页（共 20页） 第 14章 勾股定理 一、选择题（共 13小题） 1如图，点 ，满足 0 ， ， ，则阴影部分的面积是（ ） A 48 B 60 C 76 D 80 2如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的 “ 弦图 ” ，它解决的数学问题是（ ） A黄金分割 B垂径定理 C勾股定理 D正弦定理 3如图， B 中点， C 上，且 0， 6，则 长度为何？（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 4下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A a=1， b=2， c=3 B a=2， b=3， c=4 C a=2， b=4， c=5 D a=3， b=4， c=5 5下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ） A 1， 2， 3 B 2， 3， 4 C 4， 5， 6 D 1， ， 6一直角三角形的两边长分别为 3和 4则第三边的长为（ ） 第 2页（共 20页） A 5 B C D 5或 7设 a、 该三角形的周长为 6，斜边长为 值是（ ） A 2 C 3 8如图，若 A=60 ， 0m，则 约是（结果精确到 （ ） A 如图，在矩形 M、 D、 接 四边形 等于（ ） A B C D 10如图，正六边形 ， ，点 接 ） A 2 B 4 C D 11如果一个直角三角形的两条边长分别是 6和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3和 4及 x，那么 ） A只有 1个 B可以有 2 个 C有 2个以上，但有限 D有无数个 12在等腰 0 ，且 过点 l B则点 ） A 1 B 1或 C 1或 D 或 第 3页（共 20页） 13如图，四边形 D， 0 ， 0 ， ，那么 ） A B C 2 D 二、填空题（共 15小题） 14如图，在平面直角坐标系中，点 A， 6， 0）、（ 0， 8）以点 ，则点 15在 B， ，点 接 ，则 16我国汉代数学家赵爽为了证明 勾股定理，创制了一幅 “ 弦图 ” ，后人称其为 “ 赵爽弦图 ” （如图（ 1）图（ 2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 方形 方形 面积分别为 正方形 ，则 2+ 17如图是 “ 赵爽弦图 ” ， 边形 果 0， ，那么 第 4页（共 20页） 18如图，在 B， ， ，则 19如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A、 B、 C、 ， 5， 1， 2则最大的正方形 20在 C=90 ， ， ，则边 21如图，矩 形 C 的中点，矩形 周长是 20 22如图，我国古代数学家得出的 “ 赵爽弦图 ” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为 1： 13，则直角三角形较短的直角边 第 5页（共 20页） 第 14章 勾股定理 参考答案与试题解析 一、选择题（共 13小题） 1如图，点 ，满足 0 ， ， ，则阴影部分的面积是（ ） A 48 B 60 C 76 D 80 【考点】勾股定理；正方形的性质 【分析】由已知得 勾股定理求正方形的边长 S 阴影部分 =S 正方形 S 【解答】解： 0 ， ， ， 在 00， S 阴影部分 =S 正方形 S = 100 6 8 =76 故选： C 【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质关键是判断 用勾股定理及面积公式求解 2如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的 “ 弦图 ” ，它解决的数学问题是（ ） 第 6页（共 20页） A黄金分割 B垂径定理 C勾股定理 D正弦定理 【考点】勾股定理的证明 【专题】 几何图形问题 【分析】 “ 弦图 ” ，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明 【解答】解： “ 弦图 ” ，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理 故选： C 【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明 3如图， B 中点， C 上，且 0， 6，则 长度为何？（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 【考点】勾股定理；直角三角 形斜边上的中线 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半这一性质可求出 根据勾股定理即可求出 长 【解答】解： 0， 0， 6， =12， 第 7页（共 20页） 故选 C 【点评】本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大 4下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A a=1， b=2， c=3 B a=2， b=3， c=4 C a=2， b=4， c=5 D a=3， b=4， c=5 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可 【解答】解： A、 12+22=5 32， 不能构成直角三角形，故本选项错误； B、 22+32=13 42， 不能构成直角三角形，故本选项错误； C、 22+42=20 52， 不能构成直角三角形，故本选项错误； D、 32+42=25=52， 能构成直角三角形，故本选项正确 故选 D 【点评】本题考查的是勾股定理的 逆定理，熟知如果三角形的三边长 a， b， a2+b2=么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键 5下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ） A 1， 2， 3 B 2， 3， 4 C 4， 5， 6 D 1， ， 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可 【解答】解： A、 12+22 32，不能组成直角三角形，故错误； B、 22+32 42，不能组成直角三角形，故错误； C、 42+52 62，不能组成直角三角形，故错误； D、 12+（ ） 2=（ ） 2，能够组成直角三角形，故正确 故选 D 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断 6一直角三角形的两边 长分别为 3和 4则第三边的长为（ ） 第 8页（共 20页） A 5 B C D 5或 【考点】勾股定理 【专题】分类讨论 【分析】本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析 【解答】解：（ 1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为 5， （ 2）当 4为斜边时，由勾股定理得，第三边为 ， 故选： D 【点评】题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析 7（ 2013德宏州）设 a、 该三角形的周长为 6，斜边长为 ） A 2 C 3 【考点】勾股定理 【专题】压轴题 【分析】由该三角形的周长为 6，斜边长为 a+b+，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出 【解答】解： 三角形的周长为 6，斜边长为 a+b+， a+b= a、 条直角边， a2+ 由 可得 ， 故选 D 【点评】本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用 8如图，若 A=60 ， 0m，则 约是（结果精确到 （ ） 第 9页（共 20页） A 考点】勾股定理；含 30 度角的直角三角形 【分析】首先计算出 根据直角三角形的性质可得 0m，再利用勾股定理计算出 【解答】解 ： A=60 ， C=90 ， B=30 ， 0m， 0m， = = =20 m）， 故选： B 【点评】此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中， 30 角所对的直角边等于斜边的一半在任何一个直角三 角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 9如图，在矩形 M、 D、 接 四边形 等于（ ） A B C D 【考点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质 【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角 【解答】解： 四边形 菱形， 第 10页（共 20页） B 四边形 A=90 设 AB=x， AM=y，则 x y，（ x、 在 x2+ 2x y） 2， 解得 x= y， B=2x y= y， = = 故选： C 【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用 10如图，正六边形 ， ，点 接 ） A 2 B 4 C D 【考点】勾股定理 【分析】连接 出正六边形的 F=120 ，再求出 0 ，然后求出 0 并求出 长，再求出 后在 用勾股定理列式进行计算即可得解 【解答】解：如图，连接 在正六边形中， F= （ 6 2） 180=120 ， F， （ 180 120 ） =30 ， 20 30=90 ， 22 2 =2 ， 第 11页（共 20页） 点 D 的中点， 2=1， 在 = = 故选： C 【点评】本题考查了勾股定理，正六边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键 11如果一个直角三角形的两条边长分别是 6和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3和 4及 x，那么 ） A只有 1个 B可以有 2 个 C有 2个以上，但有限 D有无数 个 【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质 【专题】分类讨论 【分析】两条边长分别是 6 和 8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者 8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答 【解答】解：根据题意，两条边长分别是 6和 8的直角三角形有两种可能，一种是 6和 8为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为 10；另一种可能是 6是直角边，而 8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为 所以另一个与它相似的直角 三角形也有两种可能， 第一种是 ，解得 x=5； 第二种是 ，解得 x= 所以可以有 2个 故选： B 【点评】本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识本题学生常常漏掉第二种情况，是一道易错题 第 12页（共 20页） 12在等腰 0 ，且 过点 l B则点 ） A 1 B 1或 C 1或 D 或 【考点】勾股定理；平行线之间的距离；等腰直角三角形 【专题】压轴题 【分析】如图，延长 ， 点为 E，可得四边形 正方形，则P=C；等腰 ， C=90 ， ，所以，可求出 ， ，又 P；所以，在直角 运用勾股定理求得 长即为点 【解答】解： 如图，延长 点为 D， 点为 E， 5 ， 四边形 则 P=C， 在等腰直角 C=1， P， = ， ； 在直角 1+2+ （ 1+2+ ） 2， 解得， ； 如图，延长 点为 D，延长 ， 同理可证，四边形 P=C， 同理可得，在直角 1） 2+ （ 1） 2+ ） 2， 解得， ； 故选 D 第 13页（共 20页） 【点评】本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了学生的空间想象能力 13如图，四边形 D， 0 ， 0 ， ，那么 是（ ） A B C 2 D 【考点】勾股定理；含 30 度角的直角三角形 【专题】计算题 【分析】如图，过点 E E，过点 F 构建矩形 过含 30度角的直角三角形的性质求得 长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可 【解答】解：如图，过点 A 作 E，过点 F 设 D=x 又 四边形 F=x 在 0 ，则 0 ， 第 14页（共 20页） x， E= = x， 在 0 ，则 F x 又 ， F+，即 x+x+ x=6， 解得 x=2 F= x x= 22= ， 故选： A 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积以及含 30度角的直角三角形解题的难点是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得 D 以及该边上的高线 二、填空题（共 15小题） 14如图，在平面直角坐标系中，点 A， 6， 0）、（ 0， 8）以点 ，则点 （ 4， 0） 【考点】勾股定理；坐标与图形性质 【分析】首先利用勾股定理求出 而得到 为 C 以 出，继而求出点 C 的坐标 【解答】解： 点 A， 6， 0）、（ 0， 8）， ， ， =10， 第 15页（共 20页） 以点 A 为圆心，以 C=10， C ， 交 ， 点 4， 0）， 故答案为：（ 4， 0） 【点评】本题考查了勾股定理的运用、圆的半径处处相等的性质以及坐标与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出 15在 B， ，点 C 边上，连接 ，则 6 【考点】勾股定理；等腰直 角三角形；锐角三角函数的定义 【分析】根据等腰直角三角形的性质可求 长，在 据锐角三角函数的定义可求 C 入数据计算即可求解 【解答】解：如图， 在 B， ， B=9， 在 ， ， C 3=6 故答案为： 6 【点评】综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，线段的和差关系，难度不大 16我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅 “ 弦图 ” ，后人称其为 “ 赵爽弦图 ” （如图（ 1）图（ 2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 方形 方形 1、 正方形 ，则 2+12 第 16页（共 20页） 【考点】勾股定理的证明 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形 出 G， G=根据 G） 2， 2， 2+2得出 32 【解答】解： 八个直角三角形全等，四边形 G， G= G） 2 =G =G， 2=2F， 2+G+2F=32， 故答案是： 12 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出 2+2是解题的难点 17如图是 “ 赵爽弦图 ” ， 边形 果 0， ，那么 6 【考点 】勾股定理的证明 【分析】根据面积的差得出 a+利用 a b=2，解得 a， 【解答】解： 0， ， 第 17页（共 20页） 大正方形的面积是 100，小正方形的面积是 4， 四个直角三角形面积和为 100 4=96，设 a， b，即 4 6， 26， a2+00， （ a+b） 2=a2+00+96=196， a+b=14， a b=2， 解得： a=8， b=6， ， ， 2=6 故答案为： 6 【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得 18如图，在 B， ， ，则 3 【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 【分析】根据等腰三角形的性质可知：两腰上的高相等所以 E=4，再利用勾股定理即可求出 【解答】解： 在 B， E=4， ， =3， 故答案为： 3 【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，题目比较简单 第 18页（共 20页） 19如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A、 B、 C、 ， 5， 1， 2则最大的正方形 10 【考点】勾股定理 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形 A， B， C， 【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得 A、 1， C、 2， 2=是 1+ 即 +5+1+2=10 故答案是： 10 【点评】本题考查了勾股定理的应用能够发现正方形 A， B， C， 据勾股定理最终能够证明正方形 A， B， C，