人教版八年级数学上《第15章分式》单元测试(四)含答案解析

第 1页（共 19页） 第 15 章 分式 一、填空题 1下列各式： （ 1 x）， ， ， ，其中分式共有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 2下列计算正确的是（ ） A xm+xm= 2 C x3 x6=x 4 3下列约分正确的是（ ） A B C D 4若 x， 倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A B C D 5计算 的正确结果是（ ） A 0 B C D 6在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时 坡时的速度为每小时 他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ） A 千米 B 千米 C 千米 D无法确定 7某厂接到加工 720件衣服的订单，预计每天做 48 件，正好按时完成，后因客户要求提前 5天交货，设每天应多做 ） A B = C D 8若 xy=x y 0，则分式 =（ ） 第 2页（共 19页） A B y x C 1 D 1 二、填空题 9分式 的最简公分母为 10约分： = ， = 11分式方程 的解是 12利用分式的基本性质填空： （ 1） = ，（ a 0）；（ 2） = 13对分式方程 去分母时，应在方程两边都乘 以 14要使 与 的值相等，则 x= 15 = 16若关于 解，则 17若分式 的值为负数，则 18已知 ，则的 y+ 三、解答题：（共 56分） 19计算：（ 1） + + ； （ 2） 3 20 23m 3 21计算 第 3页（共 19页） （ 1） （ 2） 22 +1，其中 a= ， b= 3 23解分式方程： （ 1） = ； （ 2） + = 24（ 1 ） 25已知 + + 为整数，求所有符合条件的 26先阅读下面一段文字，然后解答问题： 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔 301 支以上（包括 301支）可以按批发价付款；购买 300支以下（包括 300支）只能按零售价付款现有学生小王购买铅笔，如果给初三年 级学生每人买 1支，则只能按零售价付款，需用（ 1）元，（ 1 100）如果多买 60支，则可按批发价付款，同样需用（ 1）元 设初三年级共有 x 的取值范围是 ； 铅笔的零售价每支应为 元； 批发价每支应为 元（用含 x、 27从甲地到乙地有两条公路，一条是全长 600一条是全长 480高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快 45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的 一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间 28问题探索： （ 1）已知一个正分数 （ m n 0），如果分子、分母同时增加 1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论 （ 2）若正分数 （ m n 0）中分子和分母同时增加 2， 3k （整数 k 0），情况如何？ （ 3）请你用上面的结论解释下面的问题： 第 4页（共 19页） 建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于 10%，并且 这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由 第 5页（共 19页） 第 15 章 分式 参考答案与试题解析 一、填空题 1下列各式： （ 1 x）， ， ， ，其中分式共有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【考点】分式的定 义 【分析】根据分式的定义对上式逐个进行判断，得出正确答案 【解答】解： （ 1 x）是整式，不是分式； ， 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式 分母中含有字母，因此是分式 故选 A 【点评】本题考查了分式的定义，注意 不是字母，是常数，所以 不是分式，是整式 2下列计算正确的是（ ） A xm+xm= 2 C x3 x6=x 4 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断利用排除法求解 【解答】解： A、 xm+本选项错误； B、 2xn=本选项错误； C、 x3x3=本选项错误； D、 x6=6=x 4，故本选项正确 故选 D 第 6页（共 19页） 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，熟记性质并理清指数的变化是解题的关键 3下列约分正确的是（ ） A B C D 【考点】约分 【分析】根据分式的基本性质作答 【解答】解： A、 ，错误； B、 ，错误； C、 ，正确； D、 ，错误 故选 C 【点评】本题主要考查了分式的性质，注意约分是约去分子、分母的公因式，并且分子与分母相同时约分结果应是 1，而不是 0 4若 x， 倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A B C D 【考点】分式的基本性质 【分析】根据分式的基本性质， x， 倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是 【解答】解：根据分式的基本性质，可知若 x， 倍， A、 = = ； B、 = ； 第 7页（共 19页） C、 ； D、 = = 故 故选 A 【点评】本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为 0的数，分式的值不变 5计算 的正确结果是（ ） A 0 B C D 【考点】分式的加减法 【专题】计算题 【分析】对异分母分式通分计算后直接选取答案 【解答】解：原式 = = ，故选 C 【点评】异分母分式加减，必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减 6在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时 坡时的速度为每小时 他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ） A 千米 B 千米 C 千米 D无法确定 【考点】列代数式（分式） 【专题】行程问题 【分析】 平均速度 =总路程 总时间，题中没有单程，可设单程为 1，那么总路程为 2 【解答】解：依题意得： 2 （ + ） =2 = 千米 第 8页（共 19页） 故选 C 【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为 1 7某厂接到加工 720件衣 服的订单，预计每天做 48 件，正好按时完成，后因客户要求提前 5天交货，设每天应多做 ） A B = C D 【考点】由实际问题抽象出分式方程 【专题】应用题 【分析】本题的关键是要弄 清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语 “ 提前 5天 ” 找到等量关系，然后列出方程 【解答】解：因客户的要求每天的工作效率应该为：（ 48+x）件，所用的时间为： ， 根据 “ 因客户要求提前 5天交货 ” ，用原有完成时间 减去提前完成时间 ， 可以列出方程： 故选： D 【点评】这道题的等量关系比较明确，直接分析题目中的重点语句即可得知，再利用等量关系列出方程 8若 xy=x y 0，则分式 =（ ） A B y x C 1 D 1 【考点】分式的加减法 【专题】计算题 【分析】异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 【解答】解：原式 = 故选 C 第 9页（共 19页） 【点评】本题主要考查异分母分式的加减运算，通分是解题的关键 二、填空题 9分式 的最简公分母为 10 【考点】最简公分母 【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 【解答】解：因为系数的最小公倍数为 10， ， ，所以最简公分母为10 【点评】此题主要考查了学生的最简公分母的定义即通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这 样的公分母叫做最简公分母 10约分： = ， = 【考点】约分 【分析】第一个式子分子、分母同时约去公分母 5二个式子约分时先把分子、分母进行分解因式，再约分 【解答】解： = ； = 【点评】分式的约分的依据是分式的基本性质，约分时分子、分母能分解因式的要先分解因式 11分式方程 的解是 x= 5 【考点】解分式方程 【专题】计算题 【分析】观察方程可得最简公分母是： x（ x 2），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答 【解答】 解：方程两边同乘以 x（ x 2）， 第 10页（共 19页） 得 7x=5（ x 2）， 解得 x= 5 经检验： x= 5是原方程的解 【点评】（ 1）解分式方程的基本思想是 “ 转化思想 ” ，把分式方程转化为整式方程求解 （ 2）解分式方程一定注意要验根 12利用分式的基本性质填空： （ 1） = ，（ a 0）；（ 2） = 【考点】分式的基本性质 【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案 【解答】解：（ 1） = （ a 0）； （ 2） = 故答案为： 6a 2 【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变 13对 分式方程 去分母时，应在方程两边都乘以 （ x+1）（ x 1） 【考点】解分式方程 【专题】计算题；换元法 【分析】本题考查解分式方程的能力，因为 1=（ x+1）（ x 1），所以可确定方程最简公分母为：（ x+1）（ x 1），（ x+1）（ x 1）两边同乘（ x+1）（ x 1）即可将分式方程转化为整式方程 【解答】解：由于 1=（ x+1）（ x 1）， 方程最简公分母为：（ x+1）（ x 1） 故本题答案为：（ x+1）（ x 1） 【点评】（ 1）解分式方程的基本思想是 “ 转化思想 ” ，把分式方程转化为整式方程求解 （ 2）解分式方程一定注意要验根 第 11页（共 19页） 14要使 与 的值相等，则 x= 6 【考点】解分式方程 【专题】计算题 【分析】根据题意可列方程： ，确定最简公分母为（ x 1）（ x 2），去分母，化为整式方程求解 【解答】解：根据题意可列方程： ， 去分母，得 5（ x 2） =4（ x 1）， 解得 x=6， 经检验 x=6是方程的解， 所以方程的解为： x=6， 故答案为： 6 【点评】（ 1）解分式方程的基本思想是 “ 转化思想 ” ，把分式方程转化为整式方程求解； （ 2）解分式方程一定注意要验根 15 = a 3 【考点】分式的加减法 【专题】计算题 【分析】因为分母相同，所以分母不变，分子直接相加，然后化简 【解答】解： = 故答案为 a 3 【点评】此题分式分母相同，直接分子相减，结果一定化到最简 16若关于 解，则 1或 【考点】分式方程的解 【分析】去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解分两种情况，分别求 【解答】解：去分母，得 x m（ x 3） = 第 12页（共 19页） 整理，得（ 1 m） x=3m， 当 m=1时，整式方程无解，则分式方程无解， 当 x=3时，原方程有增根，分式方程无解， 此时 3（ 1 m） =3m， 解得 m= ， 故答案为： 1或 【点评】本题考查了分式方程的解分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根 17若分式 的值为负数，则 【考点】解一元一次不等式组；分式的值 【专题】计算题 【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可 【解答】解：根据题意 或 ， 解得 1 x 【点评】本题考查分式的值的正负性和解一元一次不等式组的知识点，不是很难 18已知 ，则的 y+2 【考点 】分式的化简求值 【分析】此题可先从 下手，通过变形可得 ，再变形即可求得结果 【解答】解：由于 ，则通过变形可得： ， 即 ， y+x=2 【点评】本题考查了分式的化简求值，关键是从题中所给的等式下手，找到切入点 第 13页（共 19页） 三、解 答题：（共 56分） 19计算：（ 1） + + ； （ 2） 3 【考点】分式的混合运算 【专题】计算题 【分析】（ 1）先确定最简公分母 6x，再通分； （ 2）分式的除法可以转化为乘法来计算 【解答】（ 1）解： ； （ 2）解：原式 = 故答案为 、 【点评】分式的加减，关键是确定最简公分母；分式的乘除，关键是约分 20（ 22） 23m 3 【考点】负整数指数幂 【专题】计算题 【分析】先根据积的乘方得到原式 =2 2m 4m 3根据同底数幂的乘法得到原式 =3 2 2m 7后根据负整数指数幂的意义把结果写成正整数整数幂 即可 【解答】解：原式 =2 2m 4m 33 2 2m 7 【点评】本题考查了负整数指数幂： a p= （ a 0， 也考查了同底数幂的乘法运算和积的乘方 21计算 第 14页（共 19页） （ 1） （ 2） 【考点】分式的加减法；约分 【专题】计算题 【分析】（ 1）对分子提公因式，分母写成完全平方的形式，然后进行约分 （ 2）将分母都变成 n 后分子进行计算 【解答】解：（ 1）原式 = = ； （ 2）原式 = + = 【点评】本题考 查分式的运算，属于基础题，注意不同分母的分式进行加减时要先通分 22 +1，其中 a= ， b= 3 【考点】分式的化简求值 【专题】计算题 【分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再把除法转化为乘法，约分化为最简，最后代值计算 【解答】解：原式 = +1 = +1； 当 a= ， b= 3时，原式 = 【点评】本题主要考查分式的化简求值，通分、约分是解答的关键 23解分式方程： （ 1） = ； （ 2） + = 第 15页（共 19页） 【考点】解分式方程 【专题】计算题 【分析】本题考查解分式方程的能力，观察可得： （ 1）最简公分母为 3x（ x 2）； （ 2）因为 1=（ x+1）（ x 1），所以可得最简公分母为（ x+1）（ x 1）方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解即可，对分式方程要进行检验 【解答】解：（ 1）方程两边同乘 3x（ x 2）， 得： 3x=x 2， 整理解得： x= 1， 检验：将 x= 1代入 3x（ x 2） 0， x= 1 是原方程的根 （ 2）方程两边同乘（ x+1）（ x 1）， 得： x 1+2（ x+1） =4， 解得： x=1， 检验：将 x=1代入（ x+1）（ x 1） =0， x=1是增根，原方程无解 【点评】（ 1）解分式方程的基本思想是 “ 转化思想 ” ，把分式方程转化为整式方程求解 （ 2）解分式方程一定注意要验根 24（ 1 ） 【考点】分式的混合运算 【专题】计算题 【分析】本题考查分式的混合运算，要注意运算顺序，有括号 先算括号里的，再把除法转化为乘法来做，经过约分把结果化为最简 【解答】解：原式 = =1 【点评】此题一要注意运算顺序，二要注意符号的处理，如： 1 x=（ x 1） 25已知 + + 为整数，求所有符合条件的 第 16页（共 19页） 【考点】分式的化简求值 【专题】计算题 【分析】原式三项通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据结果与 出 【解答】解：原式 = = = ， 结果为整数，且 x 3=2； x 3=1； x 3= 2； x 3= 1， 解得： x=1、 2、 4、 5 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 26先阅读下面一段文字，然后解答问题： 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔 301 支以上（包括 301支）可以按批发价付款；购买 300支以下（包括 300支）只能按零售价付款现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买 1支，则只能按零售价付款，需用（ 1）元，（ 1 100）如果多买 60支，则可按批发价付款，同样需用（ 1）元 设初三年级共有 x 的取值范围是 241 x 300 ； 铅笔的零售价每支应为 元； 批发价每支应为 元（用含 x、 【考点】列代数式 【专题】阅读型 【分析】 关系式为：学生数 300，学生数 +60 301 列式求值即可； 零售价 =总价 学生实有人数； 批发价 =总价 （学生实有人数 +60） 【解答】解： 由题意得： x 300， x+60 301， 241 x 300； 第 17页（共 19页） 铅笔的零售价每支应为 元； 批发价每支应为 元 【点评】找到所求量的关系式是解决本题的关键；用到的知识点为：单价 =总价 数量 27从甲地到乙地有两条公路，一条是全长 600一条是全长 480高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快 45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间 【考点】分式方程的应用 【专题】应用题 【分析】本题依据题意先得出等量关系即客车由高速公路从 的速度 =客车 由普通公路的速度+45，列出方程，解出检验并作答 【解答】解：设客车由高速公路从甲地到乙地需