江苏省扬州市梅岭中学2016-2017学年九年级上第一次月考数学试卷含答案解析

江苏省扬州市梅岭中学 2016年九年级（上）第一次月考数学试卷 (解析版 ) 一、精心选一选 1已知关于 x 的方程，（ 1） bx+c=0；（ 2） 4x=0；（ 3） 1+（ x 1）（ x+1） =0；（ 4） 3 中，一元二次方程的个数为（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 2一元二次方程 8x 1=0 配方后可变形为（ ） A（ x+4） 2=17 B（ x+4） 2=15 C（ x 4） 2=17 D（ x 4） 2=15 3一元二次方程 x2+x 1=0 的根的情况是（ ） A 有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 4如图， O 直径， 30，则 D=（ ） A 65 B 25 C 15 D 35 5在数轴上，点 A 所表示的实数为 3，点 B 所表示的实数为 a， A 的半径为 2下列说法中不正确的是（ ） A当 a 5 时，点 B 在 A 内 B当 1 a 5 时，点 B 在 A 内 C当 a 1 时，点 B 在 A 外 D当 a 5 时，点 B 在 A 外 6如图，在平面直角坐标系中，点 A、 B、 C 的坐标分别为（ 1， 4）、（ 5， 4）、（ 1，2），则 接圆的圆心坐标是（ ） A（ 2， 3） B（ 3， 2） C（ 1， 3） D（ 3， 1） 7下列命题正确的个数是（ ） （ 1）直径是圆中最大的弦 （ 2）长度相等的两条弧一定是等弧 （ 3）半径相等的两个圆是等圆 （ 4）面积相等的两个圆是等圆 （ 5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧 A 2 B 3 C 4 D 5 8如图，在平面直角坐标系 ，以原点 O 为圆心的圆过点 A（ 13， 0），直线 y=k+4 与 O 交于 B、 C 两点，则弦 长的最小值为（ ） A 22 B 24 C 10 D 12 二、细心填一填 9一元二次方程 x2=x 的解为 10若关于 x 的一元二次方程 2x 1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 11若矩形的长和宽是方程 216x+m=0（ 0 m 32）的两根，则矩形的周长为 12关于 x 的一元二次方程（ m 1） x2+x+1=0 有一根为 0，则 m= 13在实数范围内定义一种运算 “*”，其规则为 a*b=b，根据这个规则，方程（ x 1） *9=0的解为 14如图， O 的直径，弦 5，则 度 15学校课外生物小组的试验园地是长 35 米、宽 20 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图） ，要使种植面积为 600 平方米，求小道的宽若设小道的宽为 x 米，则可列方程为 16如图，以 直径的半圆 O 上有两点 D、 E， 延长线交于点 C，且有 E，若 C=20，则 度数是 17如图所示，动点 C 在 O 的弦 运动， ，连接 O 于点D则 最大值为 18如果关于 x 的一元二次方程 bx+c=0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2倍，则称这样的方程为 “倍根方程 ”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 （写出所有正确说法的序号） 方程 x 2=0 是倍根方程； 若（ x 2）（ mx+n） =0 是倍根方程，则 4mn+； 若点（ p， q）在反比例函数 y= 的图象上，则关于 x 的方程 x+q=0 是倍根方程 三、用心做一做（共 10 题，共 96 分） 19（ 10 分）解方程： （ 1） 24x+1=0 （ 2） x（ x+4） = 5（ x+4） 20（ 8 分）已知 1 是方程 x2+5=0 的一个根，求 m 的值及方程的另一根 21（ 8 分）东台市为打造 “绿色城市 ”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知 2013 年投资 1000 万元，预计 2015 年投资 1210 万元若这两年内平均每年投资增长的百分率相同 （ 1）求平均每年投资增长的百分率； （ 2）按此增长率，计算 2016 年投资额能否达到 1360 万？ 22（ 8 分）每位同学都能感受到日出时美丽的景色右图是一位同学从照片上剪切下来的画面， “图上 ”太阳与海平线交于 A B 两点，他测得 “图上 ”圆的半径为 5 厘米， 厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为 16 分钟，求 “图上 ”太阳升起的速度 23（ 10 分）在等腰 ，三边分别为 a、 b、 c，其中 a=5，若关于 x 的方程 b+2）x+6 b=0 有两个相等的实数根，求 周长 24（ 10 分）如图， O 是 外接圆， C， P 是 O 上一点 （ 1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图 和图 中 P 的平分线； （ 2）结合图 ，说明你这样画的理由 25（ 10 分）如图，四边形 接于 O，点 E 在对角线 ， C= （ 1）若 9，求 度数； （ 2）求证： 1= 2 26（ 10 分）如图，四边形 证明勾股定理时用到的一个图形， a， b， c 是 t 长，易知 ，这时我们把关于 x 的形如 的一元二次方程称为 “勾系一元二次方程 ” 请解决下列问题： （ 1）写出一个 “勾系一元二次方程 ”； （ 2）求证：关于 x 的 “勾系一元二次方程 ” 必有实数根； （ 3）若 x= 1 是 “勾系一元二次方程 ” 的一个根，且四边形 周长是 6 ，求 积 27（ 10 分）一家化工厂原来每月利润为 120 万元，从今年 1 月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本据测算，使用回收净化设备后的 1 至 x 月（ 1 x 12）的利润的月平均值 w（万元）满足 w=10x+90，第二年的月利润稳定在第 1 年的第 12 个月的水平 （ 1）设使用回收净化设备后的 1 至 x 月（ 1 x 12）的利润和为 y，写出 y 关于 x 的函数关系式，并求前 几个月的利润和等于 700 万元； （ 2）当 x 为何值时，使用回收净化设备后的 1 至 x 月的利润和与不安装回收净化设备时 （ 3）求使用回收净化设备后两年的利润总和 28（ 12 分）已知到直线 l 的距离等于 a 的所有点的集合是与直线 l 平行且距离为 a 的两条直线 图 ） （ 1）在图 的平面直角坐标系中，画出到直线 y=x+2 的距离为 1 的所有点的集合的图形并写出该图形与 y 轴交点的坐标 （ 2）试探讨在以坐标原点 O 为圆心， r 为半径的圆上，到 直线 y=x+2 的距离为 1 的点的个数与 r 的关系 （ 3）如图 ，若以坐标原点 O 为圆心， 2 为半径的圆上只有两个点到直线 y=x+b 的距离为1，则 b 的取值范围为 2016年江苏省扬州市梅岭中学九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、精心选一选 1已知关于 x 的方程，（ 1） bx+c=0；（ 2） 4x=0；（ 3） 1+（ x 1）（ x+1） =0；（ 4） 3 中，一元二次方程的个数为（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 一元二次方程的定义 【分析】 根据一元二次方程的定义逐项判断即可 【解答】 解： （ 1） bx+c=0 中 a 可能为 0，故不是一元二次方程； （ 2） 4x=0 符合一元二次方程的定义，故是一元二次方程； （ 3） 1+（ x 1）（ x+1） =0，去括号合并后为 ，是一元二次方程； （ 4） 3，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； 所以是一元二次方程的有三个， 故选 C 【点评】 本题主要考查一元二次方程的定义， 即只含有一个未知数且未知数的次数为 2 的整式方程，注意如果是字母系数的方程必须满足二次项的系数不等于 0 才可以 2一元二次方程 8x 1=0 配方后可变形为（ ） A（ x+4） 2=17 B（ x+4） 2=15 C（ x 4） 2=17 D（ x 4） 2=15 【考点】 解一元二次方程 【分析】 方程利用配方法求出解即可 【解答】 解：方程变形得： 8x=1， 配方得： 8x+16=17，即（ x 4） 2=17， 故选 C 【点评】 此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本 题的关键 3一元二次方程 x2+x 1=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 【考点】 根的判别式 【分析】 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式 =4值的符号就可以了 【解答】 解： a=1， b=1， c= 1， =42 4 1 （ 1） =5 0， 方程有两个不相等的实数根 故选 A 【点评】 总结：一元二次方程根的情况与判别式 的关系： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0方程有两个 相等的实数根； （ 3） 0方程没有实数根 4如图， O 直径， 30，则 D=（ ） A 65 B 25 C 15 D 35 【考点】 圆周角定理 【分析】 先根据邻补角的定义求出 利用圆周角定理求解 【解答】 解： 30， 80 80 130=50， D= 50=25 故选 B 【点评】 本题 利用了圆周角定理和邻补角的概念求解 5在数轴上，点 A 所表示的实数为 3，点 B 所表示的实数为 a， A 的半径为 2下列说法中不正确的是（ ） A当 a 5 时，点 B 在 A 内 B当 1 a 5 时，点 B 在 A 内 C当 a 1 时，点 B 在 A 外 D当 a 5 时，点 B 在 A 外 【考点】 点与圆的位置关系 【分析】 先找出与点 A 的距离为 2 的点 1 和 5，再根据 “点与圆的位置关系的判定方法 ”即可解 【解答】 解：由于圆心 A 在数轴上的坐标为 3，圆的半径为 2， 当 d=r 时， A 与数轴交于两点： 1、 5，故当 a=1、 5 时点 B 在 A 上； 当 d r 即当 1 a 5 时，点 B 在 A 内； 当 d r 即当 a 1 或 a 5 时，点 B 在 A 外 由以上结论可知选项 B、 C、 D 正确，选项 A 错误 故选： A 【点评】 本题考查点与圆的位置关系的判定方法若用 d、 r 分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当 d r 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上；当 d r 时，点在圆内 6如图，在平面直角坐标系中，点 A、 B、 C 的坐标分别为（ 1， 4）、（ 5， 4）、（ 1，2），则 接圆的圆心坐标是（ ） A（ 2， 3） B（ 3， 2） C（ 1， 3） D（ 3， 1） 【考点】 确定圆的条件；坐标与图形性质 【分析】 根据垂径定理的推论 “弦的垂直平分线必过圆心 ”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心 【解答】 解：根据垂径定理的推论，则 作弦 垂直平分线，交点 为圆心，且坐标是（ 3， 1） 故选 D 【点评】 此题考查了垂径定理的推论，能够准确确定一个圆的圆心 7下列命题正确的个数是（ ） （ 1）直径是圆中最大的弦 （ 2）长度相等的 两条弧一定是等弧 （ 3）半径相等的两个圆是等圆 （ 4）面积相等的两个圆是等圆 （ 5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧 A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 命题与定理；圆的认识 【分析】 利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项 【解答】 解：（ 1）直径是圆中最大的弦，正确 （ 2）长度相等的两条弧一定是等弧，错误 （ 3）半径相等的两个圆是等圆，正确 （ 4）面积相等的两个圆是等圆，正确 （ 5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，错误， 故选 B 【点评】 本题考查 了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解圆的有关定义，难度不大 8如图，在平面直角坐标系 ，以原点 O 为圆心的圆过点 A（ 13， 0），直线 y=k+4 与 O 交于 B、 C 两点，则弦 长的最小值为（ ） A 22 B 24 C 10 D 12 【考点】 圆的综合题 【分析】 易知直线 y=3k+4 过定点 D（ 3， 4），运用勾 股定理可求出 条件可求出半径 于过圆内定点 D 的所有弦中，与 直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题 【解答】 解：对于直线 y=3k+4，当 x=3 时， y=4， 故直线 y=3k+4 恒经过点（ 3， 4），记为点 D 过点 D 作 x 轴于点 H， 则有 ， ， =5 点 A（ 13， 0）， 3， A=13 由于过圆内定点 D 的所有弦中，与 直的弦最短，如图所示， 因此运用垂径定理及 勾股定理可得： 最小值为 2 =2 =2 12=24 故选： B 【点评】 本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点（ 3， 4）以及运用 “过圆内定点 D 的所有弦中，与 直的弦最短 ”这个经验是解决该选择题的关键 二、细心填一填 9一元二次方程 x2=x 的解为 ， 【考点】 解一元二次方程 【分析】 首先把 x 移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案 【解答】 解： x2=x， 移项得： x=0， x（ x 1） =0， x=0 或 x 1=0， ， 故答案为： ， 【点评】 此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是把方程的右面变为 0 10若关于 x 的一元二次方程 2x 1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 k 1 且 k 0 【考点】 根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】 根据一元二次方程的定义和 的 意义得到 k 0 且 0，即（ 2） 2 4 k （1） 0，然后解不等式即可得到 k 的取值范围 【解答】 解： 关于 x 的一元二次方程 2x 1=0 有两个不相等的实数根， k 0 且 0，即（ 2） 2 4 k （ 1） 0， 解得 k 1 且 k 0 k 的取值范围为 k 1 且 k 0， 故答案为： k 1 且 k 0 【点评】 本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根的判别式 =4 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根也考查 了一元二次方程的定义 11若矩形的长和宽是方程 216x+m=0（ 0 m 32）的两根，则矩形的周长为 16 【考点】 根与系数的关系；矩形的性质 【分析】 设矩形的长和宽分别为 x、 y，由矩形的长和宽是方程 216x+m=0（ 0 m 32）的两个根，根据一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根与系数的关系得到 x+y=8； 然后利用矩形的性质易求得到它的周长 【解答】 解：设矩形的长和宽分别为 x、 y， 根据题意得 x+y=8； 所以矩形的周长 =2（ x+y） =16 故答案为： 16 【点评】 本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为 x1+ ， x1也考查了矩形的性质 12关于 x 的一元二次方程（ m 1） x2+x+1=0 有一根为 0，则 m= 1 【考点】 一元二次方程的解 【分析】 根据一元二次方程的解的定义，将 x=0 代入原方程，列出关于 m 的方程，通过解关于 m 的方程即可求得 m 的值 【解答 】 解： 关于 x 的一元二次方程（ m 1） x2+x+1=0 有一根为 0， x=0 满足关于 x 的一元二次方程（ m 1） x2+x+1=0，且 m 1 0， 1=0，即（ m 1）（ m+1） =0 且 m 1 0， m+1=0， 解得， m= 1； 故答案是： 1 【点评】 本题考查了一元二次方程的解注意一元二次方程的二次项系数不为零 13在实数范围内定义一种运算 “*”，其规则为 a*b=b，根据这个规则，方程（ x 1） *9=0的解为 2， 【考点】 解一元二次方程 【分析】 先根据新定义得出方程，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】 解： （ x 1） *9=0， （ x 1） 2 9=0， （ x 1+3）（ x 1 3） =0， x 1+3=0， x 1 3=0， 2， ， 故答案为： 2， 【点评】 本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中 14如图， O 的直径，弦 5，则 25 度 【考点】 圆周角定理；平行线的性质 【分析】 根据圆周角定理和直角三角形两锐角互余解答 【解答】 解： 又 O 的直径， 0， 0 5 故答案为： 25 【点评】 本题主要考查直径所对的圆周角是直角，两直线平行内错角相等等性质 15学校课外生物小组的试验园地是长 35 米、宽 20 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为 600 平方米，求小道的宽若 设小道的宽为 x 米，则可列方程为 （ 35 2x）（ 20 x） =600（或 275x+100=0） 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】 把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为 600 列出方程即可 【解答】 解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（ 35 2x）米，宽为（ 20 x）米， 可列方程为（ 35 2x）（ 20 x） =600（或 275x+100=0）， 故答案为（ 35 2x） （ 20 x） =600（或 275x+100=0） 【点评】 考查列代数式；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点 16如图，以 直径的半圆 O 上有两点 D、 E， 延长线交于点 C，且有 E，若 C=20，则 度数是 60 【考点】 圆的认识；等腰三角形的性质 【分析】 利用等边对等角即可证得 C= 0，然后根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即 可求解 【解答】 解： D= C= 0， E=40， C+ E=20+40=60 故答案为： 60 【点评】 本题主要考查了三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，正确理解圆的半径都相等是解题的关键 17如图所示，动点 C 在 O 的弦 运动， ，连接 O 于点D则 最大值为 【考点】 垂径定理；勾股定理 【分析】 作 长 O 于 E，如图，根据垂径定理得到 H= ，E，再利用相交弦定理得 E=C，易得 ，当 小时， C 点运动到 H 点时， 小，所以 最大值为 【解答】 解：作 长 O 于 E，如图， H= ， E， E=C， H） =（ +=3 ， 当 小时， 大， 而 C 点运动到 H 点时， 小， 此时 ，即 最大值为 故答案为 【点评】 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧也考查了勾股定理 18如果关于 x 的一元二次方程 bx+c=0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2倍，则称这样的方程为 “倍根方程 ”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 （写出所有正确说法的序号） 方程 x 2=0 是倍根方程； 若（ x 2）（ mx+n） =0 是倍根方程，则 4mn+； 若点（ p， q）在反比例函数 y= 的图象上，则关于 x 的方程 x+q=0 是倍根方程 【考点】 一元二次方程的解 【分析】 解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断； 根据（ x 2）（ mx+n） =0 是倍根方程，且 ， 得到 = 1，或 = 4，从而得到 m+n=0， 4m+n=0，进而得到 4mn+ 4m+n）（ m+n） =0 正确； 根据点（ p， q）在反比例函数 y= 的图象上得到 ，然后解方程 x+q=0 即可得到正确的结论； 【解答】 解： 解方程 x 2=0 得： ， 1， 方 程 x 2=0 不是倍根方程，故 错误； （ x 2）（ mx+n） =0 是倍根方程，且 ， ， = 1，或 = 4， m+n=0， 4m+n=0， 4mn+ 4m+n）（ m+n） =0，故 正确； 点（ p， q）在反比例函数 y= 的图象上， ， 解方 程 x+q=0 得： ， ， 正确； 故答案为： 【点评】 本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解 “倍根方程 ”的定义是解题的关键 三、用心做一做（共 10 题，共 96 分） 19（ 10 分）解方程： （ 1） 24x+1=0 （ 2） x（ x+4） = 5（ x+4） 【考点】 解一元二次方程 【分析】 （ 1）利用配方法解一元二次方程即可； （ 2）提取公因式（ x+4）即可得到（ x+4）（ x+5） =0，再解两个一元一次方程即可 【解答】 解： 24x+1=0， 2x= ， （ x 1） 2= ， x 1= ， + ， ； （ 2） x（ x+4） = 5（ x+4） （ x+4）（ x+5） =0， x+4=0 或 x+5=0， 4， 5 【点评】 本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握解方程的一般方法步骤 20已知 1 是方程 x2+5=0 的一个根，求 m 的值及方程的另一根 【考点】 解一元二次方程 元二次方程的解 【分析】 将 1 代入原方程，可求出 m 的值，进而可通过解方程求出另一根 【 解答】 解：由题意得：（ 1） 2+（ 1） m 5=0，解得 m= 4； 当 m= 4 时，方程为 4x 5=0 解得： 1， 所以方程的另一根 【点评】 此题主要考查了一元二次方程解的意义，以及运用解的定义解决相关问题的能力 21东台市为打造 “绿色城市 ”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知 2013年投资 1000 万元，预计 2015 年投资 1210 万元若这两年内平均每年投资增长的百分率相同 （ 1）求平均每年投资增长的百分率； （ 2）按此增长率，计算 2016 年投资额能否 达到 1360 万？ 【考点】 一元二次方程的应用 【分析】 （ 1）利用 2013 年投资 1000 万元，预计 2015 年投资 1210 万元，进而得出等式求出即可； （ 2）利用（ 1）中所求，得出 2016 年投资额即可 【解答】 解：（ 1）设平均每年投资增长的百分率是 x 由题意得 1000（ 1+x） 2=1210， 解得 合题意舍去） 答：平均每年投资增长的百分率为 10%； （ 2） 1210 （ 1+10） =1331 1360， 不能达到 【点评】 此题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率问 题得出等式是解题关键 22每位同学都能感受到日出时美丽的景色右图是一位同学从照片上剪切下来的画面， “图上 ”太阳与海平线交于 A B 两点，他测得 “图上 ”圆的半径为 5 厘米， 厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为 16 分钟，求 “图上 ”太阳升起的速度 【考点】 垂径定理的应用；勾股定理 【分析】 连接 点 O 作 垂径定理求出 长，再根据勾股定理求出长，进而可计算出太阳在海平线以下部分的高度，根据太阳从所处 位置到完全跳出海平面的时间为 16 分钟即可得出结论 【解答】 解：连接 点 O 作 厘米， 厘米， 厘米， =3 厘米， 海平线以下部分的高度 =D=5+3=8（厘米）， 太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为 16 分钟， “图上 ”太阳升起的速度 = =米 /分钟 【点评】 本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 23（ 10 分）（ 2010江津区）在等腰 ，三边分别为 a、 b、 c，其中 a=5，若关于x 的方程 b+2） x+6 b=0 有两个相等的实数根，求 周长 【考点】 根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质 【分析】 若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式 =0，据此可求出 b 的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三 边长，即可求得其周长 【解答】 解： 关于 x 的方程 b+2） x+6 b=0 有两个相等的实数根， =（ b+2） 2 4（ 6 b） =0，即 b 20=0； 解得 b=2， b= 10（舍去）； 当 a 为底， b 为腰时，则 2+2 5，构不成三角形，此种情况不成立； 当 b 为底， a 为腰时，则 5 2 5 5+2，能够构成三角形； 此时 周长为： 5+5+2=12； 答： 周长是 12 【点评】 此题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加 ，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解 24（ 10 分）（ 2014东海县二模）如图， O 是 外接圆， C， P 是 O 上一点 （ 1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图 和图 中 P 的平分线； （ 2）结合图 ，说明你这样画的理由 【考点】 作图 复杂作图；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理 【分析】 （ 1）利用圆心角、弧、弦的关系，得出作法即可； （ 2）利用圆周角定理得出 = ，再利用 C，得出 ，进而得出答案 【解答】 解：（ 1）如图 ，连接 为所求角平分线； 如图 ，连接 延长，与 O 交于点 D，连接 为所求角平分线 （ 2） 直径， = ， 又 C， ， 所以 分 【点评】 此题主要考查了基本作图以及圆心角、弧、弦的关系等知识，熟练利用圆心角、弧、弦的关系得出是解题关键 25（ 10 分）（ 2015台州）如图，四边形 接于 O，点 E 在对角线 ， C= （ 1）若 9，求 度数； （ 2）求证： 1= 2 【考点】 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系 【分析】 （ 1）根据等腰三角形的性质由 C 得到 9，再根据圆周角定理得 9， 9，所以 8； （ 2）根据等腰三角形的性质由 C 得 利用三角形外角性质得 2+ 2+ 1+ 上 以 1= 2 【解答】 （ 1）解： C， 9， 9， 9， 9+39=78； （ 2）证明： C， 而 2+ 1+ 2+ 1+ 1= 2 【点评】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了等腰三角形的性质 26（ 10 分）（ 2016濉溪县三模）如图，四边形 证明勾股定理 时用到的一个图形，a， b， c 是 长，易知 ，这时我们把关于 x 的形如的一元二次方程称为 “勾系一元二次方程 ” 请解决下列问题： （ 1）写出一个 “勾系一元二次方程 ”； （ 2）求证：关于 x 的 “勾系一元二次方程 ” 必有实数根； （ 3）若 x= 1 是 “勾系一元二次方程 ” 的一个根 ，且四边形 周长是 6 ，求 积 【考点】 一元二次方程的应用；勾股定理的证明 【分析】 （ 1）直接找一组勾股数代入方程即可； （ 2）通过判断根的判别式 的正负来证明结论； （ 3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得 c 的值，根据完全平方公式求得 值，从而可求得面积 【解答】 （ 1）解：当 a=3， b=4， c=5 时 勾系一元二次方程为 3 x+4=0； （ 2）证明：根据题意，得 =（ c） 2 44 a2+b2= 24（ a2+ 4（ a b） 2 0 即 0 勾系一元二次方程 必有实数根； （ 3）解：当 x= 1 时，有 a c+b=0，即 a+b= c 2a+2b+ c=6 ，即 2（ a+b） + c=6 3 c=6 c=2 a2+b2=， a+b=2 （ a+b） 2=a2+ S 【点评】 此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题 27（ 10 分）（ 2008潍坊）一家化工厂原来每月利润为 120 万元，从今年 1 月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本据测算，使用回收净化设备后的 1 至 x 月（ 1 x 12）的利润的月平均值 w（万元）满足 w=10x+90，第二年的月利润稳定在第 1 年的第 12 个月的水平 （ 1） 设使用回收净化设备后的 1 至 x 月（ 1 x 12）的利润和为 y，写出 y 关于 x 的函数关系式，并求前几个月的利润和等于 700 万元； （ 2）当 x 为何值时，使用回收净化设备后的 1 至 x 月的利润和与不安装回收净化设备时 （ 3）求使用回收净化设备后两年的利润总和 【考点】 一元二次方程的应用 【分析】 （ 1）因为使用回收净化设备后的 1 至 x 月（ 1 x 12）的利润的月平均值 w（万元）满足 w=10x+90，所以 y=xw=x（ 10x+90）；要求前几个月的利润和 =700 万元，可令 y=700，利用方程即可解决问题 ； （ 2）因为原来每月利润为 120 万元，使用回收净化设备后的 1 至 x 月的利润和与不安装回收净化设备时 x 个月的利润和相等，所以有 y=120x，解之即可求出答案； （ 3）因为使用回收净化设备后第一、二年的利润 =12 （ 10 12+90），求出它们的和即可 【解答】 解：（ 1） y=xw=x（ 10x+90） =100x， 100x=700， 解得：