不定积分换元法【PPT课件】

2016/12/1 1 第五章 不定积分 一、原函数与不定积分概念 二、不定积分的性质 三、基本积分表 第一节 不定积分的概念和性质 2016/12/1 2 一、概念 （ 1） 问题 与反问题 ?)()( 瞬时速度已知运动方程问题：)()( 求导数：)(?)( 知瞬时速度求运动规律反问题：反求导 即：逆运算问题 如：加法与减法、乘法与除法、乘方与开方等 都是互逆的运算。 导数或微分运算的逆运算是什麽？ )()(),(),(使如何求函数已知函数即反导数或原函数 也就是： d e r i v a t i v ea n t i 2016/12/1 4 都有使一个可导函数若存在上有定义在区间设,),(.)(例如：（ 2） 原函数定义 ),(,3)( 23 ()( ()( 或.)()( 上的一个原函数在是则称 ,(323一个原函数上的在是 ,(, ),( ,(co ss i ),(,c o s)( s i n 1要分清：导函数与原函数 ! .),(s i )0(,1 还有：原函数 导函数 注 2要注意区间 ! )1,1(,112 .a r c s i n)1,1( 上的原函数是它在a r c s i n 的定义域是而 函数的原函数若存在， 则不唯一，有无穷多 ,)()( 的一个原函数是即：若,)()( 时事实上：当 结论是：函数的原函数加任意常数仍然是函数的原函数。 .,)()( ,)()( ）（则注 4 同一 函数的任何两个原函数之间，至多相差一个常数。 ,)()()( 的原函数都是、若),()()( ）为某个常数（其中则 .)()( )2.()()( 中值定理的推论原函数，结论：找到函数的一个函数。就找到了函数的全部原).(,c o ss i 的一个原函数是例如ss i ）为任意常数（其中的全部原函数。是则的一个原函数是若即：.,)()(,)()(不定积分2016/12/1 11 .)()(上的不定积分在区间称为上的原函数全体在区间函数(积分变量 积分号 记作 : 被积函数 （ 3） 不定积分的定义 ,)()( 的一个原函数是若注 ,)()( 积分常数 .),(c o ss i xx d x s i nc o )( 再例如： ？ 323.？的原函数？是 3 的原函数是 016/12/1 13 （ a）原函数的存在性问题 .)(,)(上存在原函数在区间则上连续在区间若函数 （ b）原函数的结构问题 注 1不定积分的理论问题： ()(的任意一个原函数。是其中 )()( 被积表达式 ()(注 2关于积分表达式中的 ()( 时，当 d)(d)( ()()( )( f(x) 妙用 注 3不定积分的几何意义： ()( 一条积分曲线 )(x ()(的不定积分在几何上， )( ()(到的曲线，是一簇经过上下平移得).( 率均为处的线在点称为积分曲线。这些曲 一簇 一族 一些 一片 一批 一束 一捆 一扎 一堆 一撮 一缕 一绺 一群 一组 3簇 6族 5不讲 教材 用语 页码 统计 北大张筑生 数学分析新讲 函数簇 202页 3簇 人大赵树嫄 微积分 一簇积分曲线 220页 复旦 数学分析 （ 60版） 相互平行的一簇曲线 330页 朱来义 微积分 积分曲线族 118页 6族 樊映川 高等数学讲义 （ 64版） 曲线族 338页 同济数学教研室 高等数学 （ 78版） 曲线族 242页 同济 高等数学 第五版 函数族 183页 华师大 数学分析 第三版 曲线族 179页 清华萧树铁大学数学 微积分 一族铺满整个平面的“平行”曲线 171页 南开 数学分析 李成章等 没讲 5不讲 复旦 数学分析 （ 91版）欧阳光中姚允龙 没讲 华罗庚 高等数学引论 没说几何意义 斯米尔诺夫 高等数学教程 没有明说 同济 微积分 第三版 无 we in of 家庭，氏族，族 英文注释： A 一簇 一族 一些 一批 一群 一组 族：家族、种族、属性共同的类 簇：聚集、聚集成团成堆， 一簇曲线 积分曲线是：的的过点例如：函数 )0,0(的积分曲线是：设函数 )( )(则0)0( f又 10)0( 0即1 C 1)( ).(1000)/(257总成本函数固定成本为，件元边际成本为：时的量为例：已知某种产品日产,257解 ()( 257(23 507)( 050071 0 0 0)0(又1 0 0 0 求总成本函数为1000507)( 不定积分换元法 一、第一换元法 凑微分法 二、第 二 换元法 拆微分法 一、第一换元法 凑微分法 先看一个简单例子： 计算不定积分 ： 32 + 2 + 1 d = 3 + 2 + + 如果 把上式中 的 都换 为 ,就得到： 3 + 2 + 1 d() = + + + = + + + 注意到 ： 就有： 3 + 2 + 1 d d = d 问题 1：这样做，是否正确呢？ ()d = + () = () 回顾不定积分定义 ,我们知道，如果 则有： 反之亦真 而事实上 + + + = 3 + 2 + = 3 +2 + 1 说明 确实 有： = + + + 3 + 2 + 1 d 即这种做法至少对此例来说是正确的。 问题 2：这种方法是否具有普遍性呢？ 下面我们来分析刚才的过程，并把它推广到一般形式。 32 + 2 + 1 d = 3 + 2 + + ()d = + () 3 + 2 + 1 d ()()d = + () 综上所述，我们有： 定理：设函数 ()在区间 上有定义， ()在区间 上可导， ( ) ,并且 ()d = + 则有： ()()d = + 证明 ： 我们先结合开始的例题，分析定理中被积函数的特点 : 被积函数为两个函数的乘积，而且 第一个函数为 (),即函数表达式中出现 的地方 ,都是 () （特别注意 ： () 可以出现多次 ,当然也可以只出现一次）；第二个函数恰好是 () 的导数 或者是() 的导数 的常数倍 。（注意： 只出现一次）。 例 用凑微分法计算。 1. + + 1 d 问题： 填 行不行呢？ 如果填 ，怎么计算呢？ 例 用凑微分法计算。 2. + d 问题： 填 1行不行呢？ 如果填 1，怎么计算呢？ 例 用凑微分法计算。 3. 2 d 4. 1 22d 例 3. ( )d 1. + d 2. d 注：第一换元法俗称“凑微分法”。能否熟练使用这种方法，是与使用者对各种微分形式或者说各种凑微分的形式是否能熟记于心是大有关系的。 以下通过各种例子和练习题来帮助同学们来了解总结各种常见的微分形式。 另外，使用者（特别是对于初学者来说）， 除了 熟记 各种 微分形式以外还需要做一定量的练习。 例 1. ( + )d ( 0, 1) 2. 1 + d ( 0) 3. 2)d 注： + = + ( + ) 课堂或课后 练习 ： 1. d 2. d 3. 14+2 d 4. 12+2+3d 1. 2 d 2. 12 d 3. d 例 注： = () 特别地 ： = = + 2 + 5d 3. 2 32 3 + 7 3 d 2. + 1 d 例 注： ()d = d ()() d = 1()d() ()() d = ()d() 1. +d 2. +3 d 3. +1( )12 d 4. 2+14+1d ( 0) 课堂或课后 练习 ： 5. +12+ d 课堂或课后 练习 ： 6. d 7. 2 +3 3 +2 d 注： 一般地 + +d = + + ( ) + d 请大家自己确定： =?, =? 1. (1+ )2 d 3. d 2. (2+ )d 课堂或课后练习 4. d 5. d 6. d 7. d 请大家想一想，还有哪些凑微分类型？ 8. 1 2 d 9. (1 )d 10. 1 + 2 d 11. (1 + )d 被积表达式 凑微分形式 被积表达式 凑微分形式 被积表达式 凑微分形式 例 请大家注意计算过程与结果 ) 11 + d 解法 1：（利用凑微分法） 11+ d = 2d 2 = 122d = 2 + 解法 2：利用初等方法，即直接积分法 11+ d = d = 1 1 d = 1 d = + + 问题 1. 请大家仔细检查上面两种解法的结果，看哪种解法的结果是符合 题意 的 完全 结果？哪 种 解法的结果不是符合题意的完全结果 ？它改变 了积分变量的限制条件 ，因此，我们需要对其结果作出调整？ 问题 2. 怎么调整？ 解法 2： 11 + d = d = 1 1 d = 1 d = + + 解法 1： 11 + d = 2d 2 = 2 + = 122d 事实上， 只 要求出被积函数和所得结果的定义区间，就会发现解法 1的结果没有改变积分变量的限制 条件，因此解法 1的结果是 符合 题意的完全 结果 ；解法 2的结果对积分 变量增加了限制 条件 ( 2) ,这是由于解法 2将被积函数的分子、分母同乘以 1 ,因此 对积分变量 增加 了限制条件 ( 2) ,所以，需对解法 2的结果作出调整。如何调整呢？就是想办法去掉限制条件 ( 2)。 例如可作如下调整： + + = 1 + = 1 1+ + = 1+ + 这个结果与解法 1中的结果是恒等的。 注：在解题结束时，必须检查一下你的结果，看看是否是符合题意的完全结果，否则，要找出导致出现不符合 题意 的结果的原因，分析在运算过程中是否增加（或者忽略）了对积分变量的限制条件，并对结果做出相应的调整。（再注：这个 注意点不仅仅适用于第一换元法，也适用于 其他积分方法。） 二、第 二 换元法 拆微分法 上面第一换元法的实质是通过变量代换 = (),将积分 ()()d转化为 d,前提条件是积分 d较 ()()d 更容易。 而如果是积分 ()()d较积分 d更容易求出，就应该将其写为： d = ()()d 即通过变量代换 = (),将积分 d转化为 ()()d，习惯上写为 ： d = ()()d 这就是第二换元法 。 1、 定理：设函数 ()在区间 上有定义 ， ()在区间 上可导而且有反函数 ， 且 ( ) ,则当 ()d存在 (注意：此条件不能少 )， 而且 ()()d = + 则 有 ： ()d = 1() + 即 通过变量代换 = (),将积分 d：转化为 ()()d d = ()()d = 2、 分析说明 第 二 换 元 法 的 关 键 是 对 变 换 = 的选择 ， 选择的恰当和巧妙可使运算得到简化而且易于计算 ，常用的主要有三角代换和简单的无理代换 ， 有时候还可以用倒代换等 。 3、 三角代换 当被积函数的表达式中含有形 如 2 2,2 + 2,2 2 特别是 含有二次 根式 2 2, 2 + 2, 2 2 可使用如下的三角代换： 2 2 = 2 + 2 = 2 2 = 例 （ 1） . 2 2d （ 2） . 12 + 2 d （ 3） . 12 2 d （ 4） . 12 + 232d （ 5） . 1 2 2 d （ 6） . 22 + 2 2 d （ 7） . 32 2 2 d 注：在最后回代时，可通过直角三角形求所需要的三角函数 2 2 = 注：在最后回